福建省闽清县天儒中学九年级数学下册 27.2.3 相似三角形应用举例课件 （新版）新人教版.ppt

相似三角形应用举例 相似三角形的判定 1 通过平行线 2 三边对应成比例 3 两边对应成比例且夹角相等 4 两角相等 相似三角形的性质 1 对应边的比相等 对应角相等 2 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比都等于相似比 3 周长的比等于相似比 4 面积的比等于相似比的平方 回顾 乐山大佛 世界上最高的树 红杉 台湾最高的楼 台北101大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度 世界上最宽的河 亚马孙河 怎样测量河宽 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题 27 2 3相似三角形应用举例 利用三角形的相似 可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题 下面请看几个例子 例4 据史料记载 古希腊数学家 天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理 在金字塔影子的顶部立一根木杆 借助太阳光线构成两个相似三角形 来测量金字塔的高度 如图 如果木杆ef长2m 它的影长fd为3m 测oa得为201m 求金字塔的高度bo 解 太阳光是平行的光线 因此 bao edf 因此金字塔的高为134m 如图 如果木杆ef长2m 它的影长fd为3m 测oa得为201m 求金字塔的高度bo 又 aob dfe 900 abo def a f e b o 还可以有其他方法测量吗 一题多解 abo aef ob 平面镜 6m 1 2m 1 6m 物1高 物2高 影1长 影2长 测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度 通常用 在同一时刻物高与影长成正比例 的原理解决 方法归纳 人教版八年级上册p41 测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 例2 请设计一个利用相似来测量河宽的方案 方法1 如左图 bd 120米 dc 60米 ec 50米 求ab 方法2 如右图 bd 60米 bc 30米 ec 120米 求ab 解 因为 adb edc abc ecd 90 所以 abd ecd 答 两岸间的大致距离为100米 此时如果测得bd 120米 dc 60米 ec 50米 求两岸间的大致距离ab 方法一 例2 如图 为了估算河的宽度 我们可以在河对岸选定一个目标作为点a 再在河的这一边选点b和c 使ab bc 然后 再选点e 使ec bc 用视线确定bc和ae的交点d 方法二 我们在河对岸选定一目标点a 在河的一边选点d和e 使de ad 然后选点b 作bc de 与视线ea相交于点c 此时 测得de bc bd 就可以求两岸间的大致距离ab了 此时如果测得de 120米 bc 60米 bd 50米 求两岸间的大致距离ab 请同学们自已解答并进行交流 测距的方法 测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 2 如图 铁道口的栏杆短臂长1m 长臂长16m 当短臂端点下降0 5m时 长臂端点升高m 8 例3 教学楼旁边有一棵树 数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高 课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹竿的影长是0 9米 但当他们马上测量树高时 发现树的影子不全落在地面上 有一部分影子落在教学楼的墙壁上 他们测得落在地面的影长2 7米 落在墙壁上的影长1 2米 请你和他们一起算一下 树高多少米 图11 变式 如图 小明想测量一颗大树ab的高度 发现树的影子恰好落在土坡的坡面cd和地面cb上 测得cd 4m bc 10m cd与地面成30度角 且测得1米竹杆的影子长为2米 那么树的高度是多少 为了测量路灯 os 的高度 把一根长1 5米的竹竿 ab 竖直立在水平地面上 测得竹竿的影子 bc 长为1米 然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米 bb 再把竹竿竖立在地面上 测得竹竿的影长 b c 为1 8米 求路灯离地面的高度 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题 例6己知左 右并排的两棵大树的高分别是ab 8m和cd 12m 两树的根部的距离bd 5m 一个身高1 6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进 当他与左边较低的树的距离小于多少时 就不能看到右边较高的树的顶端点 分析 如图 设观察者眼睛的位置 视点 为点f ef近似为人的身高 画出观察者的水平视线fg 它交ab cd于点h k 视线fa fg的夹角 afh是观察点a的仰角 能看到c点 类似地 cfk是观察点c时的仰角 由于树的遮挡 区域 和 都在观察者看不到的区域 盲区 之内 再往前走就根本看不到c点了 解 如图 假设观察者从左向右走到点e时 他的眼睛的位置点f与两棵树的顶端点a c恰在一条直线上 由此可知 如果观察者继续前进 即他与左边的树的距离小于 m时 由于这棵树的遮挡 右边树的顶端点c在观察者的盲区之内 观察者看不到它 奇思妙想 液面 b c a 木棒 如何来测量液面的高度呢 提供工具 木棒 足够长 刻度尺 d 若有一瓶牛奶 喝了一部分 如何来测量出剩余牛奶液面的高度呢 小小实践家 液面 b c a 木棒 a b c d e g d 小小实践家 液面 b c a 木棒 a b c d e g b c a e d 若小明在测量时 将木棒一不小心滑到了底面的d处 那又该如何测量呢 如果木棒底端在瓶底上的任意处 是否都可测量呢 李巍同学在回家的路上发现了如图两根电线杆ab cd 分别在高10m的a处和15m的c处有两根钢索将两杆固定 求钢索ad与钢索bc的交点m离地面的高度mh h 自主练习 1 相似三角形的应用主要有两个方面 1 测高 测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 不能直接使用皮尺或刻度尺量的 不能直接测量的两点间的距离 测量不能到达顶部的物体的高度 通常用 在同一时刻物高与影长成比例 的原理解决 2 测距 课堂小结 2 解相似三角形实际问题的一般步骤 1 审题 2 构建图形 3 利用相似解决问题 随堂练习 1 铁道口的栏杆短臂长1m 长臂长16m 当短臂端点下降0 5m时 长臂端点升高 m 8 2 某一时刻树的影长为8米 同一时刻身高为1 5米的人的影长为3米 则树高为 4 3 abc是一块锐角三角形余料 边bc 120毫米 高ad 80毫米 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在bc上 其余两个顶点分别在ab ac上 这个正方形零件的边长是多少 解 设正方形pqmn是符合要求的 abc的高ad与pn相交于点e 设正方形pqmn的边长为x毫米 因为pn bc 所以 apn abc所以 4 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例 在某一时刻 有人测得一高为1 8米的竹竿的影长为3米 某一高楼的影长为90米 那么高楼的高度是多少米 示意图 已知线段 已知角 未知量 答案 测量物高 测量距离 q 8 例2如图 在矩形abcd中 ab 6米 bc 8米 动点p以2米 秒的速度从点a出发 沿ac向点c移动 同时动点q以1米 秒的速度从点c出发 沿cb向点b移动 设p q两点移动t秒 0 t 5 后 四边形abqp的面积为s平方米 求出面积s与时间t的关系式 b c d p a 6 q 8 例2如图 在矩形abcd中 ab 6米 bc 8米 动点p以2米 秒的速度从点a出发 沿ac向点c移动 同时动点q以1米 秒的速度从点c出发 沿cb向点b移动 设p q两点移动t秒 0 t 5 后 四边形abqp的面积为s平方米 求出面积s与时间t的关系式 b c d p a 6 e 探究 在p q两点移动的过程中 cpq与 abc能否相似 若能 求出此时点p的位置 若不能 请说明理由 探究 在p q两点移动的过程中 四边形abqp与 cpq的面积能否相等 若能 求出此时点