（试题 试卷 真题）第9讲 不等式的性质与证明

第9讲 不等式的性质与证明一、考点要求1理解不等式的性质及证明2掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，并会加以灵活应用若R，则若，则如果，都是正数，则（课本P11习题6.2第3题）以上各式中当且仅当时等号成立3掌握证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法，此外还有反证法、放缩法、换元法、判别式法、构造法等，这些方法要根据不等式的结构特点，灵活运用4不等式常常与函数、数列、三角、解析几何等知识结合起来综合考查，以体现学科内部各知识块间的综合运用二、基础过关11(04 湖南)设，且，则的取值范围是（ B ）A， B， C， D，解：，0，解得6，舍，故选B2设，且，都是正数），则的取值范围是（ D ）A， B， C， D，解法1 特值法，取得，故选D解法2 直接法，故选D3设且，则四个数，中最小的数是（ ） A B C D解：选B4设且，下列不等式正确的是（ ）A BC D解：选C5（2002北京文）数列由下列条件确定：，N*（1）证明：对于2，总有；（2）证明：对于2，总有证明：（1）及知，从而N， 当2时，成立（2）当2时，0， 当2时，成立6已知数列的通项为，前项的和为，且是与2的等差中项，数列中，b1=1，点，在直线上（1）求数列、的通项公式，；（2）设的前n项和为, 试比较与2的大小（3）设=，若对一切正整数，Z）恒成立，求的最小值分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识略解：（1）， （2）=1+3+5(2n-1)=n2， ，（3）= ， ， -得 ，又，满足条件的最小整数三、典型例题例1 若a0，b0，a3+b3=2求证2，1分析：由条件a3+b3=2及特征的结论2的结构入手，联想它们之间的内在联系，不妨用作差比较法或均值不等式或构造方程等等方法，架起沟通二者的“桥梁”本题证法较多证法1 (作差比较法)a0，b0，a3+b3=2，=a3+b3+3ab2-8=3=0，即 23又，22，1证法2 (适当配凑，综合法)a0，b0，a3+b3=2，2=a3+b3=，6，8=3a2b+3ab2+a3+b3=，2(以下略)证法3 (构造方程)设a，b为方程x2-mx+n=0的两根则a0，b0，m0，n0且=m2-4n0 2=a3+b3=mm2-3n， 将代入得 ，即0，0，即2，22m，4m2，又m24n，44n，即n11说明：认真观察不等式的结构，从中发现与已学知识的内在联系，就能较顺利地找到解决问题的切入点证法4 (反证法)假设2，则a3+b3=2(22-3ab)因为a3+b3=2，22(4-3ab)，因此1 另一方面，2=a3+b3=2ab，1 于是与矛盾，故2(以下略)说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证明方法都是证明不等式的常用方法证法5 (平均值不等式综合法)a0，b0，a3+b3=2，1又，2，1说明：充分发挥“1”的作用，使其证明路径显得格外简捷、漂亮证法6 （利用进行证明）0，对任意的非负实数，有，1，即2（以下略）例2 对于在区间，上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有1，则称与在区间，上是接近的，否则是非接近的设与，是区间，上的两个函数 （1）求的取值范围；（2）讨论与在区间，上是否是接近的分析 高考题中常常出现和高中知识有关的新的定义，本题中定义了两个函数在区间上接近的定义，解题时必须先搞懂两个函数在区间上接近的定义对数的运算是学生的一个薄弱环节，本题涉及到对数的运算二次函数的最值 问题也是重点内容之一解：（1）且，当，时，要使函数有意义，即 要使函数有意义，即R 由和得，即为的取值范围（2）要判断与在区间，上是否是接近的，只须检验在区间，上是否 恒成立，设1，则1，即1 设，抛物线开口向上，且对称轴为，函数在区间，上是增函数设，则，设，则在区间，上是减函数，式成立的充要条件是：，当，时，与在区间，上是接近的；当，时，与在区间，上是非接近的例3 (2002 江苏)己知，函数（1）当时，若对任意R都有1，证明：；（2）当时，证明：对任意，1的充要条件是；（3）当1时，讨论：对任意，1的充要条件证明：（1）依题意，对任意，都有，1，（2）充分性：，对任意，即又，a，对任意，即1，1必要性：对任意，1，即，.又，1，1，即1，综上，对任意的，1的充要条件是（3），1时，对任意，即 又由1知1，即1，即 而当时，1，在，上，函数是增函数，在时取最大值1，1，1时，对任意，1的充要条件是例4 已知nN，n1求证分析:虽然不等式是关于自然数的命题，但观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用放缩法或构造数列的方法进行证明证明1：设，2，N，证明2：设， 则问题转化为证明： ，只需证明数列是递增数列即可设，则 即，说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决四、热身演练1设，R，且，则下列结论中正确的是（ ） A B C D解：选A2设，且，则的最小值为（ ）A B C或 D不存在解：（换元法）设，则，即，（舍），故选 B3设实数，满足，当0时，的取值范围是（ ） A， B， C， D，解：（三角换元）设，故选C4点在直线上，与圆分别相切于，两点，为圆的圆心，则四边形的面积的最小值为（ ）A24 B16C8 D4解：（数形结合，将问题转化为只须的面积最小）要使四边形的面积最小，只须的面积最小，只须点到点距离最小故最小值为，故， 故选C5已知直线：与曲线C：有公共点，则的取值范围是（ ）A， B，C， D，解：（数形结合，不等式、直线与圆的简单应用，利用图形直接观察，大大减小了计算量，这类方法是解决选择题和填空题的首选方法）直线可化为，直线恒过定点曲线C可变形为，是以点为圆心，2为半径的圆的左半圆 由左图可知应选D6已知函数，当时，的最小值是 （ ）A B C D解：（利用函数在，上是增函数求函数的最值）当时，在，上是增函数，当时，故选D注意下面的解法是错误的，当且仅当，即时等号成立但是1，这个最小值是取不到的7命题“”是命题“”成立的 条件解：，得不到，但由，可得到，命题“”是命题“”成立的充分不必要条件8已知，R）给出下列不等式：； ；其中一定成立的不等式是 （注：把成立的不等式的序号都填上）解：（，（这是绝对值不等式的重要性质，必须熟练地掌握），是正确的，正确令，满足条件，但，不能成立，是错误的9设集合，若，且对中的其它元素，总有，则=_ _分析：读懂并能揭示问题中的实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有ca”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)在时的最小值（1）当1时，所以当时，（2）当1y3时，所以当y=1时，=4而，因此当时，有最小值，即说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的属性，然后结合条件，揭示其本质即求集合M中的元素满足关系式“，”的所有点中横坐标最小的值10设等差数列a的首项，则它的前 项的和最大？分析：要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列解：设等差数列a的公差为d，由得，数列是递减数列，存在N，使0，且 ，数列的前6与7项和相等且最大说明：很多数学问题可归结为解某一不等式(组)正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到正确结论的关键11(2004年全国卷IV)已知数列的前项和满足（1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析 本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力解：（1）由，得由，得由，得（2）当时，有， ， 经验证也满足上式，所以 ，N（3）证明：由通项公式得当3且为奇数时， 当为偶数时，当为奇数时，所以对任意整数，有12（2002理）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆由题意得，即，令60，解得上式的右边是关于的减函数，且时，上式右边趋于，故要对一切自然数满足60，应有，即每年新增汽车不应超过万辆13已知函数（1