高考数学 第六章 第四节 基本不等式的应用课件 理 苏教版.ppt

第四节基本不等式的应用 考向1与基本不等式相关的范围问题 典例1 1 2013 盐城模拟 若m 1 1 1 a b c 1 a b c均大于0 则m的取值范围是 2 已知a b r a b a2 b2 24 则a b的取值范围是 思路点拨 1 把 1 a b c 代入 再由基本不等式可求结果 2 利用求解 规范解答 1 a b c 1 m 答案 8 2 a2 b2 2ab 当且仅当a b时取 2 a2 b2 a b 2 即a2 b2 a b 2 当且仅当a b时取 24 a b a2 b2 a b 2 当且仅当a b时取 即 a b 2 2 a b 48 0 解关于a b的二次不等式 得 8 a b 6 a b的取值范围是 8 6 答案 8 6 拓展提升 常见的求参数取值范围的关注点利用 ab a b r 求最值时 要注意和a b为定值时 平方和a2 b2有最小值 平方和a2 b2为定值时 和a b有最大值 提醒 应用时注意不等号的方向 变式训练 已知a b为正数 ab a b 3 求ab的范围 解析 ab a b 3 3 ab 3 0 3或 1 舍去 ab 9当且仅当a b 3时取 ab的范围是 9 考向2基本不等式的实际应用 典例2 某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房 由于地理位置的限制 房子侧面的长度x不得超过5m 房屋正面的造价为400元 m2 房屋侧面的造价为150元 m2 屋顶和地面的造价费用合计为5800元 如果墙高为3m 且不计房屋背面的费用 当侧面的长度为多少时 总造价最低 思路点拨 用长度x表示出造价 利用基本不等式求最值即可 但要注意变量x的取值范围为0 x 5 判断函数取最小值时的x是否在定义域内 若不在定义域内 不能用基本不等式求最值 可以考虑单调性 规范解答 设总造价为y 由题意可得 y 3 2x 150 400 5800 900 x 5800 0 x 5 由基本不等式得y 900 x 5800 5800 13000 元 当且仅当x 即x 4时取等号 故当侧面的长度为4米时 总造价最低 互动探究 本例中 若要求房子侧面的长度x不得少于5m 那么侧面的长度为多少时 总造价最低 解析 设总造价为y 由题意可得 y 3 2x 150 400 5800 900 x 5800 x 5 由于y 900 1 令y 0得x 4 x 4舍去 所以函数在 4 上单调递增 于是当x 5时 y取得最小值13180元 拓展提升 注意变量的取值范围在利用基本不等式解决实际应用问题时 一定要注意问题中所涉及变量的取值范围 即函数的定义域 分析在该范围内是否存在使基本不等式的等号成立的变量值 若存在 则可利用基本不等式求解 若使基本不等式的等号成立的变量值不在函数定义域内 则应利用导数研究函数的单调性 根据单调性求最值 变式备选 某种汽车 购车费用为10万元 每年的保险费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 解析 由于 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 可知汽车每年维修费构成以0 2万元为首项 0 2万元为公差的等差数列 因此 汽车使用x年时总的维修费用为万元 设汽车的年平均费用为y万元 则有当且仅当 即x 10时 y取得最小值 答 汽车使用10年时 它的年平均费用最少 考向3基本不等式与其他知识的综合应用 典例3 1 2013 苏州模拟 已知向量a x 1 2 b 4 y 若a b 则16x 4y的最小值为 2 已知函数f x log2 k x 4 2 1恒过一定点p 且点p在直线 2 a 0 b 0 上 则3a 2b的最小值为 思路点拨 1 利用向量垂直的充要条件 数量积为0 得到x y满足的等式 利用幂的运算法则将待求的式子变形 利用基本不等式求出式子的最小值 注意检验等号何时取得 2 求得p点坐标代入直线方程 再用 1 的代换转化为基本不等式求解 规范解答 1 a b a x 1 2 b 4 y 4 x 1 2y 0 即4x 2y 4 16x 4y 24x 22y 当且仅当24x 22y 即4x 2y 2时取等号 故答案为8 答案 8 2 由函数f x log2 k x 4 2 1可知 当x 4时 f x 2 即p点坐标为 4 2 又p在直线 2 a 0 b 0 上 故 2 即 1 3a 2b 3a 2b 8 等号当且仅当3a2 4b2 即时取得 答案 互动探究 若本例 2 中函数改为f x 2k x 1 1 其余条件不变 又将如何求解 解析 由f x 2k x 1 1可知图象恒过定点p 1 2 依题意 p在直线上 故即 3a 2b 等号当且仅当时取得 所以3a 2b的最小值为 拓展提升 1 函数中应用基本不等式求最值的类型 1 以指数 对数函数为载体构建条件 应用基本不等式求最值 2 以二次函数为载体 结合根的分布 定义域 值域构建条件 应用基本不等式求最值 3 以高次函数为载体 结合导数构建条件 应用基本不等式求最值 2 基本不等式在其他数学知识中的应用以函数 方程 立体几何 解析几何 数列等知识为载体考查基本不等式求最值 是本部分中常见题型 其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式 同时要注意基本不等式的使用条件 变式备选 若直线2ax by 2 0 a 0 b 0 被圆x2 y2 2x 4y 1 0截得的弦长为4 则的最小值是 解析 圆x2 y2 2x 4y 1 0即 x 1 2 y 2 2 4 圆心为 1 2 半径为2 设圆心到直线2ax by 2 0的距离等于d 则由弦长公式得即直线2ax by 2 0经过圆心 2a 2b 2 0 a b 1 则当且仅当a b时等号成立 故式子的最小值为4 答案 4 满分指导 基本不等式与数列的综合应用 典例 16分 设各项均为正数的数列 an 的前n项和为sn 已知2a2 a1 a3 数列 是公差为d的等差数列 1 求数列 an 的通项公式 用n d表示 2 设c为实数 对满足m n 3k且m n的任意正整数m n k 不等式sm sn csk都成立 求证 c的最大值为 思路点拨 规范解答 1 由题意知 d 0 2分3 d 2 a1 2d 2 化简 得 a1 2 d d2 0 d a1 d2 4分 d n 1 d nd sn n2d2 5分当n 2时 an sn sn 1 n2d2 n 1 2d2 2n 1 d2 适合n 1的情形 故所求an 2n 1 d2 7分 2 由 d及 n 1 d 得d 0 sn n2d2 于是 对满足题设的m n k m n 有sm sn 9分所以所以c的最大值为 11分 另一方面 任取实数a 设k为偶数 令m k 1 n k 1 则m n k符合条件 且sm sn m2 n2 d2 d2 k 1 2 k 1 2 d2 9k2 4 12分于是 只要即当k 时 sm sn d2 2ck2 csk 所以满足条件的c 从而 15分所以c的最大值为 16分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 徐州模拟 若x y是正数 x a b y四个数成等差数列 x m n y四个数成等比数列 则的取值范围是 解析 根据题意 x a b y四个数成等差数列 则a b x y x m n y四个数成等比数列 则mn xy 则又由x y是正数 可得都是正数 则当且仅当x y时取等号 即的最小值为4 其取值范围是 4 答案 4 2 2012 陕西高考改编 在 abc中 角a b c所对边长分别为a b c 若a2 b2 2c2 则cosc的最小值为 解析 cosc 当且仅当a b时 cosc取最小值答案 3 2013 淮安模拟 已知a 0 b 0 若不等式恒成立 则m的最大值为 解析 a 0 b 0 又 5 5 4 9 当且仅当 即a b时取 号 m的最大值为9 答案 9 4 2013 盐城模拟 已知函数f x loga x 1 1 a 0 a 1 的图象恒过点a 若点a在直线mx y n 0上 则4m 2n的最小值为 解析 由题意a 2 1 2m 1 n 0 2m n 1 4m 2n 22m 2n 当且仅当22m 2n 2m n 时取等号 答案 1 若 是 对 正实数x 2x c 的充要条件 则实数c 解析 若c0 c 2x 根据