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双曲线及其标准方程 1 椭圆的定义 模拟试验 观察思考 如图 b 当 f1m f2m 时 f1m f2m 2a 如图 a 当 f1m f2m 时 f1m f2m 2a 差 平面内与两定点f1 f2的距离的等于常数2a的点的轨迹是什么呢 上述的两条曲线放在一起我们叫它双曲线每一条叫双曲线的一支 由 可得 mf1 mf2 2a 差的绝对值 双曲线定义 平面内与两个定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数2a a 0且2a f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点f1 f2叫做双曲线的焦点 f1f2 叫做双曲线的焦距 设 f1m f2m 2a f1f2 2c 动点为m 则 双曲线 两条射线 线段f1f2的垂直平分线 双曲线标准方程推导 1 建系设标 m x y 以过点f1 f2的直线为x轴 线段f1f2的中垂线为y轴 建立直角坐标系 设m x y 是双曲线上任意一点 且f1f2 2c 则f1 c 0 f2 c 0 2 写出点m的集合 3 列出方程 4 整理化简 c2 a2 x2 b2y2 a2 c2 a2 令c2 a2 b2 双曲线标准方程 1 焦点在x轴上 2 焦点在y轴上 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c 特征 1 方程的右边是1 方程的左边是平方差的形式 2 双曲线的焦点所在的坐标轴与方程左边正项的分子相对应 c2 a2 b2 例1已知双曲线两个焦点的坐标为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点p到f1 f2的距离的差的绝对值等于6 求双曲线的标准方程 2a 6 2c 10 a 3 c 5 b2 52 32 16 例3求满足下列条件的双曲线标准方程 1 若a 6 b 3 焦点在x轴上 2 若a 过点a 2 5 焦点在y轴上 3 若a 6 c 10 焦点在坐标轴上 答案 1 2 3 x2 36 y2 9 1 x2 36 y2 64 1 x2 20 y2 16 1 x2 36 y2 64 1 或 m m 1或m 2 同为f 4 0 若为双曲线 则 2 m m 1 0 2 已知方程表示双曲线 则m的取值范围是 3 方程表示双曲线时 则m的取值范围 y c2 a2 b2 小结
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