高考数学 第七章 第三节 直线与平面垂直课件 理 苏教版.ppt

第三节直线与平面垂直 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义 条件 一条直线a与一个平面 内的 直线都垂直 结论 直线a与平面 记作 任意一条 互相垂直 a 2 有关概念 垂线 直线a叫做平面 的垂线 垂面 平面 叫做直线a的垂面 垂足 垂线和平面的交点 3 重要结论 过一点 直线与已知平面垂直 过一点 平面与已知直线垂直 有且只有一条 有且只有一个 4 直线与平面垂直的判定和性质定理 两条 相交直线 a m a n m n m n a a b 2 点面 线面距离 1 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线 的距离 叫做这个点到这个平面的距离 2 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行 这条直线上 到这个平面的距离 叫做这条直线和这个平面的距离 这个点和垂足间 任意一点 3 直线与平面所成的角 1 预备概念 斜线 一条直线与一个平面 但不和这个平面 这条直线叫做这个平面的斜线 斜足 斜线与平面的交点 斜线段 斜线上一点与 间的线段 叫做这个点到平面的斜线段 相交 垂直 斜足 2 定义 平面的一条斜线与它在这个平面内的 所成的 叫做这条直线与这个平面所成的角 如图 斜线ap与平面 所成的角是 3 线面角 的范围 0 特别地 当直线与平面平行或在平面内时 规定直线与平面所成的角为 当直线与平面垂直时 规定直线与平面所成的角为 射影 锐角 pao 0 的角 直角 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 直线l与平面 内的无数条直线都垂直 则l 2 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 3 如果平面 的一条斜线l与平面 内的直线m垂直 则斜线l在平面 内的射影也与直线m垂直 4 如果直线l m与平面 所成的角相等 那么l m 解析 1 错误 直线l与平面 内的无数条直线都垂直时 直线l与平面 可平行 可相交 直线l也可在平面 内 2 正确 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 3 正确 记斜线l与其射影所确定的平面为 则m 故l的射影与m垂直 4 错误 如圆锥的每一条母线与底面所成的角都相等 但它们相交 答案 1 2 3 4 1 设a b c表示三条不同的直线 表示两个不同的平面 则下列命题中正确的是 填序号 1 2 3 4 解析 由a b a可得 b与 的位置关系有 b b b与 相交 所以 4 不正确 答案 1 2 3 2 如图所示 已知 abc为直角三角形 其中 acb 90 m为ab的中点 pm垂直于 abc所在平面 那么线段pa pb pc的长度关系为 解析 由已知可得am bm cm 因为pm 平面abc 所以 pma pmb pmc 90 所以 pam pbm pcm 所以pa pb pc 答案 pa pb pc 3 设l m是两条不同的直线 是一个平面 有下列两个命题 若l m 则l m 若l m 则l m 则其中正确的命题是 填序号 解析 正确 若l 则l与 内的任意一条直线垂直 错误 若l m 则l与m平行或异面 答案 4 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 其大小为 d1b与平面abcd所成的角的正弦值为 解析 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 cb1c1 其大小为45 连结bd 则d1b与平面abcd所成的角为 d1bd 其正弦值为答案 cb1c145 考向1直线与平面垂直的判定 典例1 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 pb bc pa ab 1 求证 pc 平面bde 2 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 3 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 思路点拨 1 利用线面垂直的判定定理证明 2 证明bd 平面pac即可 3 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的长度 规范解答 1 de垂直平分线段pc pb pc de pc be pc 又be de e pc 平面bde 2 bd dq 由 1 得 pc bd pa 底面abc pa bd 又pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq 3 pa ab 2 pb bc ab bc ac pc 4 ce 2 且 cde cpa 由 2 可知 bd de vb ced vc bde s bde ce 互动探究 本例 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 如何证明 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 拓展提升 判定线面垂直的四种方法方法一 利用线面垂直的判定定理 方法二 利用 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 方法三 利用 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则与另一个也垂直 方法四 利用面面垂直的性质定理 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现出 平面中的两条相交直线 这一条件 变式备选 如图 已知四棱锥p abcd中 底面abcd是直角梯形 ab dc abc 45 dc 1 ab 2 pa 平面abcd pa 1 1 求证 ab 平面pcd 2 求证 bc 平面pac 3 若m是pc的中点 求三棱锥m acd的体积 解析 1 由已知底面abcd是直角梯形 ab dc 又ab 平面pcd cd 平面pcd ab 平面pcd 2 在直角梯形abcd中 过c作ce ab于点e 则四边形adce为矩形 ae dc 1 又ab 2 be 1 在rt bec中 abc 45 ce be 1 cb ad ce 1 则ac ac2 bc2 ab2 bc ac 又pa 平面abcd pa bc 又pa ac a bc 平面pac 3 m是pc的中点 m到平面acd的距离是p到平面acd距离的一半 考向2直线与平面垂直的性质 典例2 2013 苏州模拟 如图 dc 平面abc eb dc ac bc eb 2dc p q分别为ae ab的中点 1 证明 pq 平面acd 2 证明 dp 平面abe 思路点拨 1 根据三角形中位线的性质和公理4推导pq dc 2 由于可证dp cq 所以要证dp 平面abe可转化为证明cq 平面abe 规范解答 1 因为p q分别为ae ab的中点 所以pq eb 又dc eb 因此pq dc 又pq 平面acd dc 平面acd 从而pq 平面acd 2 如图 连结cq 因为q为ab的中点 且ac bc 所以cq ab 因为dc 平面abc eb dc 所以eb 平面abc 因此cq eb 又因为ab eb b 所以cq 平面abe 由 1 有pq dc 又pq eb dc 所以四边形cqpd为平行四边形 故dp cq 因此dp 平面abe 拓展提升 线面垂直性质的重要应用 1 当直线和平面垂直时 则直线与平面内的所有直线都垂直 给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法 2 当两条直线与同一个平面垂直时 这两条直线平行 给我们提供了证明线线平行的方法 变式训练 如图 几何体abcdpe中 底面abcd是边长为4的正方形 pa 平面abcd pa eb 且pa 2be 1 求证 bd 平面pec 2 若g为bc上的动点 求证 ae pg 证明 1 连结ac交bd于点o 取pc的中点f 连结of ef eb pa 且eb pa 又of pa 且of pa eb of 且eb of 四边形ebof为平行四边形 ef bd 又 ef 平面pec bd 平面pec bd 平面pec 2 连结bp eba bap 90 eba bap pba bea pba bae bea bae 90 pb ae pa 平面abcd pa 平面apeb 平面abcd 平面apeb bc ab 平面abcd 平面apeb ab bc 平面apeb bc ae 又 bc pb b ae 平面pbc g为bc上的动点 pg 平面pbc ae pg 满分指导 垂直关系综合问题的规范解答 典例 14分 2012 广东高考 如图所示 在四棱锥p abcd中 ab 平面pad ab cd pd ad e是pb的中点 f是dc上的点且df ab ph为 pad中ad边上的高 1 证明 ph 平面abcd 2 若ph 1 ad fc 1 求三棱锥e bcf的体积 3 证明 ef 平面pab 思路点拨 规范解答 1 由于ab 平面pad ph 平面pad 故ab ph 1分 又 ph为 pad中ad边上的高 故ad ph 2分 ab ad a ab 平面abcd ad 平面abcd ph 平面abcd 4分 2 由于ph 平面abcd e为pb的中点 ph 1 故e到平面abcd的距离h ph 5分又因为ab cd ab ad 所以ad cd 6分故 7分因此 8分 3 过e作eg ab交pa于g 连结dg 由于e为pb的中点 g为pa的中点 9分 ad pd 故 dpa为等腰三角形 dg ap ab 平面pad dg 平面pad ab dg 10分又 ab pa a ab 平面pab pa 平面pab dg 平面pab 12分 又 geab dfab gedf 四边形dfeg为平行四边形 故dg ef ef 平面pab 14分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 南京模拟 已知直线m n和平面 则m n的一个必要非充分条件可以是 解析 若m n 则m n与平面 所成的角相等 反之若m n与平面 所成的角相等 m与n不一定平行 所以m n的一个必要非充分条件可以是m n与平面 所成的角相等 答案 m n与平面 所成的角相等 答案不惟一 2 2012 浙江高考改编 已知矩形abcd ab 1 bc 将 abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折 在翻折过程中以下说法正确的是 1 存在某个位置 使得直线ac与直线bd垂直 2 存在某个位置 使得直线ab与直线cd垂直 3 存在某个位置 使得直线ad与直线bc垂直 4 对任意位置 三对直线 ac与bd ab与cd ad与bc 均不垂直 解析 若存在某个位置 使得ac bd 作ae bd于e 则bd 平面aec 所以bd ec 在 abd中 ab2 be bd be 而在 bcd中 bc2 be bd be 两者矛盾 故 1 错误 若存在某个位置 使得ab cd 又因为ab ad 则ab 平面acd 所以ab ac 即ac 1 故 2 正确 4 错误 若存在某个位置 使得ad bc 又因为ad ab 则ad 平面abc 所以ad ac 而斜边cd小于直角边ad 矛盾 故 3 错误 答案 2 3 2013 扬州模拟 如图 四边形abcd为正方形 在四边形adpq中 pd qa 又qa 平面abcd qa ab pd 则pq与平面dcq所成角的大小为 解析 方法一 qa 平面abcd qa cd 由四边形abcd为正方形知dc ad 又qa ad为平面pdaq内两条相交直线 cd 平面pdaq cd pq 由题易知四边形pdaq为直角梯形 在直角梯形pdaq中可得dq pq 则pq qd 又cd qd为平面dcq内两条相交直线 pq 平面dcq 方法二 qa 平面abcd qa 平面pdaq 平面pdaq 平面abcd 交线为ad 又四边形abcd为正方形 dc ad dc 平面pdaq 可得pq dc 由题易知四边形pdaq为直角梯形 在直角梯形pdaq中可得dq pq 则pq qd 又cd qd为平面dcq内两条相交直线 pq 平面dcq 答案 90 4 2012 浙江高考 如图 在侧棱垂直底面的四棱柱abcd a1b1c1d1中 ad bc ad ab ab ad 2 bc 4 aa1 2 e是dd1的中点 f是平面b1c1e与直线aa1的交点 1 证明 ef a1d1 ba1 平面b1c1ef 2 求bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值 解析 1 由ad bc bc b1c1 ad a1d1 可得a1d1 b1c1 又b1c1 aa1d1d ad 平面aa1d1d b1c1 平面aa1d1d 又平面b1c1e 平面aa1d1d ef b1c1 ef 又a1d1 b1c1 ef a1d1 在rt fa1b1和rt a1b1b中 rt fa1b1 rt a1b1b a1fb1 ba1b1 a1fb1 a1b1f 90 ba1b1 a1b1f 90 ba1 b1f 由ad ab可得b1c1 a1b1 又b1c1 bb1 b1c1 面a1b1ba 又ba1 面a1b1ba 可得ba1 b1c1 又ba1 b1f 且b1f b1c1 b1 ba1 平面b1c1ef 2 设a1b b1f o 连结c1o 由 1 可知bc1与平面b1c1ef所成的角为 bc1o 在rt a1b1b中 bb12 bo ba1 即解得bo bc1与平面b1c1ef所成的角的正弦值为 1 如图 o为正方体abcd a1b1c1d1的底面abcd的中心 则在过正方体两个顶点的直线中与b1o垂直的是 解析 易知a1c1 平面bb1d1d 又b1o 平面bb1d1d a1c1 b1o 同理可证ac b1o ac 平面bb1d