高考数学 第八章 第七节 双曲线课件 理 苏教版.ppt

第七节双曲线 1 双曲线的相关概念 1 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 在平面内 动点到两定点的距离 为一定值 这一定值一定要 两定点的距离 2 焦点 两个 称为双曲线的焦点 3 焦距 间的距离 之差的绝对值 小于 定点 两焦点 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y a或y a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 a 0 a 0 0 a 0 a c2 a2 b2 2a 2b 3 等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线 其标准方程为 0 离心率渐近线方程为y x 实轴和虚轴 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 2 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 3 方程 mn 0 表示焦点在x轴上的双曲线 4 双曲线方程 m 0 n 0 0 的渐近线方程是即 5 等轴双曲线的渐近线互相垂直 离心率等于 6 若双曲线 a 0 b 0 与 a 0 b 0 的离心率分别是e1 e2 则 此结论中两条双曲线为共轭双曲线 解析 1 错误 由双曲线的定义知 应为双曲线的一支 而非双曲线的全部 2 错误 因为 mf1 mf2 8 f1f2 表示的轨迹为两条射线 3 错误 当m 0 n 0时表示焦点在x轴上的双曲线 而m0 b 0 的渐近线方程为y 即 当 0时 m 0 n 0 的渐近线方程为即即 0 同理当 0时 仍成立 故结论正确 5 正确 等轴双曲线 x2 y2 a2 a 0 的渐近线方程为x2 y2 0即y x 显然两直线互相垂直 其实轴 虚轴长均为2a c e 6 正确 双曲线 1 a 0 b 0 的离心率e1 同理答案 1 2 3 4 5 6 1 已知平面内两定点a 5 0 b 5 0 动点m满足ma mb 6 则点m的轨迹方程是 解析 由ma mb 6 且6 ab 10 得a 3 c 5 b2 c2 a2 16 故其轨迹为以a b为焦点的双曲线的右支 方程为 1 x 3 答案 1 x 3 2 双曲线方程为x2 2y2 1 则它的右焦点的坐标为 解析 双曲线方程x2 2y2 1可化为 a2 1 b2 c2 a2 b2 c 又焦点在x轴上 右焦点坐标为答案 3 若双曲线 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的离心率为 解析 由已知得b 2a c2 a2 b2 5a2 c 离心率答案 4 已知曲线2x2 y2 6 0上一点p到一个焦点的距离为4 则它到另一个焦点的距离为 解析 曲线2x2 y2 6 0的方程可化为 所以a2 3 又因为点p到一个焦点的距离为4 所以到另一焦点的距离为4 或4 答案 4 5 已知双曲线 a 0 b 0 的虚轴长为2 焦距为则双曲线的渐近线方程为 解析 依题意知 2b 2 2c 所以b 1 因此 双曲线的渐近线方程为 答案 6 已知双曲线c a 0 b 0 的离心率e 2 且它的一个顶点到相应焦点的距离为1 则双曲线c的方程为 解析 由已知e 2 c 2a 又一个顶点到相应焦点的距离为1 即c a 1 由 得a 1 c 2 b2 c2 a2 4 1 3 双曲线c的方程为答案 考向1双曲线的定义 典例1 1 2012 辽宁高考 已知双曲线x2 y2 1 点f1 f2为其两个焦点 点p为双曲线上一点 若pf1 pf2 则pf1 pf2的值为 2 已知定点a 0 7 b 0 7 c 12 2 以c为一个焦点作过a b的椭圆 求另一个焦点f的轨迹方程 思路点拨 1 利用双曲线定义得 pf1 pf2 2a 再根据pf1 pf2及勾股定理得pf12 pf22 f1f22 2c 2 联立方程求出pf1 pf2 从而求解 2 根据椭圆的定义得出动点f满足的等式 再根据三定点间关系 得到动点f与两定点a b的差为常数 从而用定义法求轨迹方程 规范解答 1 不妨设pf1 pf2 由双曲线方程x2 y2 1知a b 1 c 由双曲线定义得pf1 pf2 2a 2 由已知条件pf1 pf2及勾股定理得pf12 pf22 f1f22 2c 2 8 上述两式 联立 解得故pf1 pf2 答案 2 由椭圆的定义知 ac af bc bf 又因为a 0 7 b 0 7 c 12 2 所以ac 13 bc 15 因此af bf 2 所以f的轨迹是双曲线的一支 其中c 7 a 1 b2 48 因此所求轨迹方程为 y 1 互动探究 本例题 1 中 pf1 pf2 改为 f1pf2 60 结果如何 解析 不妨设pf1 pf2 由双曲线方程x2 y2 1 知a b 1 c 由双曲线定义得pf1 pf2 2a 2 pf12 pf22 2pf1 pf2 4 又 f1pf2 60 由余弦定理得 pf12 pf22 pf1 pf2 f1f22 2c 2 8 得pf1 pf2 4 代入 得 pf12 pf22 4 2pf1 pf2 4 2 4 12 拓展提升 1 焦点三角形 中常用到的知识点及技巧在 焦点三角形 中 正弦定理 余弦定理 双曲线的定义是经常使用的知识点 另外 还经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立它与pf1 pf2的联系 2 利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点应特别注意定义中的条件 差的绝对值 弄清所求轨迹是整条双曲线 还是双曲线的一支 若是一支 是哪一支 并且要在其方程中准确限定变量的范围 变式备选 过双曲线x2 y2 8的左焦点f1有一条弦pq交左支于p q两点 若pq 7 f2是双曲线的右焦点 则 pf2q的周长为 解析 因为x2 y2 8 所以2a 由题设及双曲线的定义得 pf2 pf1 qf2 qf1 所以pf2 qf2 pf1 qf1 即pf2 qf2 pq 又因为pq 7 所以pf2 qf2 7 因此 pf2q的周长为pf2 qf2 pq 14 答案 14 考向2双曲线的标准方程和几何性质 典例2 1 2012 江苏高考 在平面直角坐标系中 若双曲线的离心率为则m的值为 2 2012 湖南高考 已知双曲线c a 0 b 0 的焦距为10 点p 2 1 在c的渐近线上 则c的方程为 3 2012 浙江高考改编 如图 f1 f2分别是双曲线c a 0 b 0 的左 右焦点 b是虚轴的端点 直线f1b与c的两条渐近线分别交于p q两点 线段pq的垂直平分线与x轴交于点m 若mf2 f1f2 则c的离心率是 思路点拨 1 结合c2 a2 b2及e 求解 2 利用待定系数法 先根据双曲线的几何性质 由焦距为10 求出c 5 再将p 2 1 代入渐近线方程 得a 2b 从而由a2 b2 c2 求出a b 得方程 3 利用双曲线的几何性质 结合图形的特征 通过求pq的中点 再由mf2 f1f2构建关于a b c的方程 进而求解 解析 1 c2 a2 b2 m m2 4 m2 4m 4 0 m 2 答案 2 2 的焦距为10 c 5 又双曲线渐近线方程为y 且p 2 1 在渐近线上 1 即a 2b 由 解得所以方程为答案 3 设双曲线的焦点坐标为f1 c 0 f2 c 0 b 0 b 点f1 b所在直线为双曲线渐近线方程为由得由得 线段pq的中点坐标为 由a2 b2 c2得 线段pq的中点坐标可化为直线f1b的斜率为k 线段pq的垂直平分线为令y 0 得x c m c 0 f2m 由mf2 f1f2得即3a2 2c2 答案 拓展提升 1 利用待定系数法设双曲线方程的技巧 1 当双曲线的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 mn 0 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 ab 0 这种形式在解题时更简便 2 与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为 0 再根据其他条件确定 的值 2 双曲线的几何性质的关注点 1 六点 两焦点 两顶点 两虚轴端点 2 四线 两对称轴 实 虚轴 两渐近线 3 两形 中心 顶点 虚轴端点构成的三角形 双曲线上的一点 不包括顶点 与两焦点构成的三角形 3 双曲线的离心率与渐近线斜率的关系 1 已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置 2 已知渐近线方程y mx m 0 求离心率时 当焦点不确定时 m 或m 因此离心率有两种可能 提醒 双曲线中a b c之间的关系为c2 a2 b2 不要和椭圆之间的关系混淆 变式训练 已知双曲线的渐近线方程为2x 3y 0 1 求该双曲线的离心率 2 若双曲线经过点p 2 求双曲线的方程 解析 1 当焦点在x轴上时 即所以解得当焦点在y轴上时 即所以解得即双曲线的离心率为或 2 由双曲线的渐近线方程为2x 3y 0 可设双曲线方程为4x2 9y2 0 双曲线过点p 2 4 6 9 4 12 故所求双曲线方程为4x2 9y2 12 即 考向3双曲线与直线及其他圆锥曲线的综合 典例3 1 2012 新课标全国卷改编 等轴双曲线c的中心在原点 焦点在x轴上 c与抛物线y2 16x的准线交于a b两点 ab 则c的实轴长为 2 2013 南通模拟 已知双曲线 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆c x2 y2 6x 5 0相切 且双曲线与椭圆 有相同的焦点 则该双曲线的标准方程为 思路点拨 1 设出等轴双曲线方程 与抛物线准线方程联立 求得a b两点坐标 利用ab 构建方程求解 2 先写出渐近线方程 利用其和圆相切 构建关于a b的方程 再利用与椭圆有相同的焦点得c 从而得解 规范解答 1 不妨设点a的纵坐标大于零 设c a 0 抛物线y2 16x的准线为x 4 联立得方程组解得 解得a 2 2a 4 c的实轴长为4 答案 4 2 圆c x2 y2 6x 5 0可化为 x 3 2 y2 4 所以其圆心c 3 0 半径r 2 双曲线的渐近线方程是 bx ay 0 又渐近线与圆相切 所以 又椭圆的焦点为 3 0 3 0 双曲线的焦点为 3 0 3 0 即a2 b2 c2 9 由 得b 2 c 3 a2 5 双曲线的标准方程为 答案 拓展提升 1 解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法与技巧 1 通法 将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 代入双曲线e的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的一元二次方程 解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题 2 点差法 在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时 常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程 作差后结合已知条件进行转化求解 提醒 利用点差法时 对求出的结果要验证其是否满足相交的要求 即 0 2 解决双曲线与圆 椭圆 双曲线交汇问题的两大策略 1 以图助解 数形结合 2 各个击破 变式训练 已知双曲线e的中心为原点 f 3 0 是e的一个焦点 过f的直线l与e相交于a b两点 且线段ab的中点为n 12 15 则e的方程为 解析 方法一 设双曲线的方程为 a 0 b 0 由题意知直线l的斜率为可知直线l的方程为y x 3 联立方程得整理得 b2 a2 x2 6a2x 9a2 a2b2 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 又线段ab中点n 12 15 24 5a2 4b2 又 c 3 a2 b2 9 可得a2 4 b2 5 故双曲线的方程为 方法二 设双曲线的方程为 a 0 b 0 由题意知c 3 a2 b2 9 设a x1 y1 b x2 y2 则有 两式作差得 又直线ab的斜率是所以4b2 5a2 将4b2 5a2与a2 b2 9联立 解得a2 4 b2 5 所以双曲线的方程为答案 易错误区 忽略双曲线的焦点位置致误 典例 2013 合肥模拟 已知双曲线 mn 0 的一条渐近线方程为则该双曲线的离心率e为 误区警示 本题易出现的错误是误认为焦点在x轴上 不讨论焦点位置而丢解 规范解答 当m 0 n 0时 当m 0 n 0时 故该双曲线的离心率为或答案 或 思考点评 1 双曲线的焦点与渐近线方程双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程为若焦点在y轴上 则渐近线方程为双曲线焦点位置不确定时 要分类讨论 2 巧解共渐近线的双曲线方程共渐近线的双曲线的标准方程可设为 为参数 0 再利用待定系数法求解 可避免分类讨论 1 2012 福建高考 已知双曲线的右焦点为 3 0 则该双曲线的离心率等于 解析 由已知a2 5 9 解得 a 2 又c 3 e 答案 2 2013 苏州模拟 已知双曲线 m 0 的一条渐近线方程为则m的值为 解析 由双曲线的性质知渐近线方程为 m 4 答案 4 3 2013 南通模拟 若双曲线的焦点到渐近线的距离为则实数k的值是 解析 显然 k 0 双曲线的渐近线方程为焦点坐标为由距离公式得k 8或k 1 舍去 答案 8 4 2012 天津高考 已知双曲线c1 a 0 b 0 与双曲线c2 有相同的渐近线 且c1的右焦点为则a b 解析 由题意可得解得 a 1 b 2 答案 12 5 2012 湖北高考 如图 双曲线 a 0 b 0 的两顶点为a1 a2 虚轴两端点为b1 b2 两焦点为f1 f2 若以a1a2为直径的