线代数复习题A包含答案.doc

一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 2 2 分 共分 共 2020 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或未选均无 分 分 1 1 设 设 A A 是是 3 3 阶方阵 且阶方阵 且 A 2 A 2 则 则 A A B B A A 6 6B B 2 2 C C 2 2D D 6 6 2 2 排列 排列 5314253142 的逆序数的逆序数 5314253142 A A A A 7 7B B 6 6 C C 5 5D D 4 4 3 3 设矩阵 设矩阵A A的伴随矩阵的伴随矩阵A A 则 则A A 1 1 B B 43 21 A A B B 12 34 2 1 43 21 2 1 C C D D 43 21 2 1 13 24 2 1 4 4 设 设 1 1 2 2 3 3线性相关 则以下结论正确的是 线性相关 则以下结论正确的是 D D A A 1 1 2 2一定线性相关一定线性相关 B B 1 1 3 3一定线性相关一定线性相关 C C 1 1 2 2一定线性无关一定线性无关 D D 存在不全为零的数 存在不全为零的数 k k1 1 k k2 2 k k3 3使使 k k1 1 1 1 k k2 2 2 2 k k3 3 3 3 0 0 5 5 设 设 1 1 2 2是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 Ax bAx b 的解 的解 是对应是对应 齐次方程组齐次方程组 Ax 0Ax 0 的解 则的解 则 Ax bAx b 必有一个解是 必有一个解是 D D A A B B 21 21 C C D D 21 21 3 2 3 1 6 6 若齐次线性方程组 若齐次线性方程组的基础解系的基础解系 0 0 0 963 42 321 3 2 1 x x x t 含有两个解向量 则含有两个解向量 则t t C C A A 2 2B B 4 4 C C 6 6D D 8 8 7 7 设 设A A 则以下向量中是 则以下向量中是A A的特征向量的是的特征向量的是 496 375 254 A A A A 1 1 1 1 1 1 T TB B 1 1 1 1 3 3 T T C C 1 1 1 1 0 0 T TD D 1 1 0 0 3 3 T T 8 8 设矩阵 设矩阵A A 则 则A A是 是 A A 2 1 2 3 2 3 2 1 A A 正交矩阵 正交矩阵B B 正定矩阵 正定矩阵 C C 对称矩阵 对称矩阵D D 反对称矩阵 反对称矩阵 9 9 设 设 3 3 阶矩阵阶矩阵 A A 的三个特征值是的三个特征值是 1 1 0 0 2 2 相应的特征 相应的特征 向量依次为向量依次为 令 令 P P 则 则 P P 1 1AP AP 1 1 1 1 0 1 0 1 1 110 101 111 B B A A B B 0 2 1 1 0 2 C C D D 0 1 2 2 0 1 1010 设 设 1 1 2 2是矩阵是矩阵A A的属于特征值的属于特征值 的特征向量 则的特征向量 则 以下结论正确的是 以下结论正确的是 B B A A 1 1 2 2是是 对应的特征向量对应的特征向量 B B 2 2 1 1是是 对应的特征向量对应的特征向量 C C 1 1 2 2一定线性相关一定线性相关 D D 1 1 2 2一定线性无关一定线性无关 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2020 分 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 1111 矩阵 矩阵A A 的秩为的秩为 2 2 21101 5421 4321 1212 417 52 04 10 31 411 012 1313 设 设 A A 则 则 A A 1 1 10 43 3 1 30 41 1414 设向量组 设向量组 1 1 2 2 s s线性无关 且可以由向量线性无关 且可以由向量 组组 1 1 2 2 t t线性表出 则线性表出 则 s s 与与 t t 的大小关系为的大小关系为 ts 1515 设 设A A为为 m nm n 矩阵 且矩阵 且A A的的 n n 个列向量线性无关 则矩个列向量线性无关 则矩 阵阵A AT T的秩为的秩为 n n 三 计算题三 计算题 1616 6 6 分 计算行列式分 计算行列式的值 的值 0b0a a0b0 0a0b b0a0 解解 222 22 22 32 1 00 0 0 00 0 01 001 01 001 01 00 0 00 0 ba bababa baababba bba aba baba bbba ba baba ba bba baab baa ba bba baab baa ba ba b ab a ba ba bba abba aba baba A 1717 6 6 分 用克莱姆法则求解方程组分 用克莱姆法则求解方程组 32 22 132 321 32 321 xxx xx xxx 解 由于系数矩阵 A 有 05 112 210 321 det det A 所以方程组有唯一解 10 113 212 321 det det 1 A 0 132 220 311 det det 2 A 5 312 210 121 det det 3 A 1 det det 3 0 det det 2 det det 3 2 2 1 1 A A x A A x A A x 1818 8 8 分 设分 设A A B B为为 3 3 阶矩阵 且它们满阶矩阵 且它们满 7 1 4 1 3 1 足足A A 1 1B B 6 6E E B B 求 求B B 解 解 1 2 3 7 1 4 1 3 1 6 7 3 4 3 2 6 6 7 3 4 2 3 7 6 4 3 3 2 6 60 6 B EA EA ABAB AEBEAA ABAB 的逆存在经验证 1919 1010 分 设分 设 求矩阵 求矩阵 410 130 213 A 0 1 3 4 1 3 B 方程方程XBAX2 的解矩阵的解矩阵 X X 解 解 13 22 31 04 11 33 210 110 211 2 2 110 120 101 2 2 01 2det 210 110 211 2 2 2 BEAx EA EAEA EA EA BxEA xBAx 的逆存在 的逆 2020 1010 设向量组 设向量组 1 1 1 1 0 0 0 0 T T 1 1 1 2 2 1 1 1 1 T T 0 0 1 1 1 1 1 1 T T 2 3 1 1 3 3 2 2 1 1 T T 2 2 6 6 4 4 1 1 T T 试求向量组 试求向量组 4 5 的秩及其一个极大线性无关组 的秩及其一个极大线性无关组 为一个极大线性无关组 即 解 令向量组 换位与 3 00000 33000 42110 21011 00000 11110 42110 21011 11110 42110 42110 21011 11110 42110 63121 21011 321 2343 23 12 4321 aaa Ar A A rrrr rr rr aaaa 2121 1010 分 设矩阵分 设矩阵A A 求可逆方阵 求可逆方阵P P 使 使 324 010 223 P P 1 1AP AP为对角矩阵 为对角矩阵 解 解 1 1 1 120 002 111 101 0 424 020 222 0 1 201 021 0 224 000 224 0A E 1 1 1 1 0 1 1 324 010 223 det 32 1 32 1 3 2 T 1 321 2 APP P A x xAE x x AE T T 则有 令 可对角化线性无关 得基础解系即 带入 得基础解系 得带入 由特征方程 2222 1010 分 用正交变换化二次型分 用正交变换化二次型 f xf x1 1 x x2 2 x x3 3 2 2 为标准型 并写出所用的正交变换 为标准型 并写出所用的正交变换 32 2 3 2 2 2 1 xx4x3x3x 321 2 3 2 2 2 1 T 3 3 3 T 2 2 2 1 1 1 T 2 22 32 1 11 21 33 T 1 11 21 22 11 T 3 T 21 321 52 1 1 0 2