高考数学 第三章 第二节 同角三角函数关系及诱导公式课件 理 苏教版.ppt

第二节同角三角函数关系及诱导公式 1 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 2 商数关系 sin2 cos2 1 2 诱导公式 sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos sin sin tan tan tan tan 判断下面的结论是否正确 请在括号中打 或 1 sin sin 成立的条件是 为锐角 2 终边相同的角的同一三角函数值相等 3 六组诱导公式中的角 可以是任意角 4 若cos n n z 则cos 5 诱导公式的记忆口诀中 函数名不变 符号看象限 中符号与 的大小无关 6 若 k z 则 解析 1 错误 sin sin 公式成立的条件是 为任意角 2 正确 由诱导公式 一 可知或由三角函数的定义可得 3 错误 对于正 余弦的诱导公式 可以为任意角 而对于正切诱导公式 k k z 4 错误 当n为偶数时 cos n cos 当n为奇数时 cos n cos cos cos 5 正确 诱导公式中符号看象限中的符号是把任意角 都看成锐角时原函数值的符号 因而与 的大小无关 6 正确 答案 1 2 3 4 5 6 1 已知则cos 解析 sin 3 sin sin 答案 2 解析 答案 3 点a sin2012 cos2012 在直角坐标平面上所在的象限是 解析 sin2012 sin 6 360 148 sin 148 sin148 0 cos2012 cos 6 360 148 cos 148 cos148 0 故点a在第三象限 答案 第三象限 4 已知 解析 tan 3 tan 3 原式答案 7 5 已知角 终边上一点p 4 3 则的值为 解析 原式 p 4 3 tan 故原式 答案 考向1同角三角函数关系式的应用 典例1 1 2012 辽宁高考改编 已知sin cos 0 则sin 2 已知tan 3 则4sin2 3sin cos 5cos2 3 2013 淮安模拟 已知 0 tan 2 则2sin cos 思路点拨 1 利用平方关系与已知条件联立得方程组可解 2 将所求式子分母看作 1 利用平方关系将 弦 化 切 代入已知可求 或将分母看成 1 化成弦再利用 切 化 弦 代入可求 3 由商数关系及平方关系 求得sin cos 再利用诱导公式化简后代入已知求解 规范解答 1 由得sin2 sin 2 1 得sin 答案 2 4sin2 3sin cos 5cos2 方法一 上式可化为 又 tan 3 式 方法二 由tan 3 得即sin 3cos 代入上式可得 答案 3 由tan 2 得sin 2cos 又sin2 cos2 1 故4cos2 cos2 1 所以所以所以答案 0 拓展提升 求解关于sin cos 的齐次式问题的关注点 1 如果三角函数式不是关于sin cos 的齐次式 可通过化简转化为齐次式 2 若cos 0 可用cosn n n 除之 这样可以将被求式化为关于tan 的表达式 可整体代入tan m 从而完成被求式的求值运算 3 注意1 sin2 cos2 的应用 变式训练 已知 1 求sinx cosx的值 2 求tanx的值 解析 1 由sinx cosx 平方得sin2x 2sinxcosx cos2x 即2sinxcosx sinx cosx 2 1 2sinxcosx 又 x 0 sinx 0 cosx 0 sinx cosx 0 故sinx cosx 2 由 1 得sinx cosx 故由得 考向2利用诱导公式求值或求角 典例2 1 已知则 2 已知 0 tan 3 a 0 且a 1 则cos 3 已知tan 2 sin cos 0 则 思路点拨 1 利用诱导公式及同角三角函数关系求得 2 利用诱导公式及对数运算可得tan 再利用同角三角函数关系求sin 进而可解 3 先利用诱导公式对原式进行化简 再根据tan 2 结合 的范围和同角三角函数关系求解 规范解答 1 由sin cos 2 得 sin cos 即tan 又 答案 2 由已知得tan 即故cos 3sin 又sin2 cos2 1 即10sin2 1 又 0 sin 答案 3 原式 tan 2 0 为第一象限角或第三象限角 又sin cos 0 为第三象限角 由得cos sin 代入sin2 cos2 1 解得sin 答案 互动探究 把本例 3 的已知条件改为 tan 3 sin cos 0 再求所给式子的值 解析 tan 3 sin cos 0 为第一象限角 得cos sin 代入sin2 cos2 1 解得 sin 故原式 拓展提升 利用诱导公式解题的原则和步骤 1 原则 负化正 大化小 化到锐角为终了 能求值的则求值 2 步骤 提醒 应用诱导公式时不要忽略了角的范围和三角函数的符号 变式备选 已知sin a a 1 a 0 求的值 解析 考向3利用诱导公式化简或证明 典例3 1 2 已知 为第三象限角 化简f 若求f 的值 思路点拨 1 利用诱导公式转化可解 2 直接利用诱导公式化简约分 利用 为第三象限角及同角三角函数关系的变形式得f 的值 规范解答 1 原式答案 1 2 f sin 从而sin 又 为第三象限角 即f 的值为 互动探究 将本例 1 化简式变为如何化简 解析 原式 tan 拓展提升 1 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 1 思路 分析结构特点 选择恰当公式 利用公式化成单角三角函数 整理得最简形式 2 要求 化简过程是恒等变形 结果要求项数尽可能少 次数尽可能低 结构尽可能简单 能求值的要求出值 2 三角恒等式证明的原则及常用方法 1 原则 化繁为简 变异为同 2 常用方法 从左向右证或从右向左证 两边向中间证 证明一个与原等式等价的式子 从而推出原等式成立 变式备选 1 化简 2 求证 对于任意的整数k 解析 1 原式 2 当k为偶数时 设k 2n n z 则原式 当k为奇数时 设k 2n 1 n z 则原式故对任意的整数恒成立 考向4诱导公式在三角形中的应用 典例4 在 abc中 sin 3 a sin a 求 abc的三个内角 思路点拨 由已知条件可确定角a 从而确定角b 角c 规范解答 由sin 3 a sin a 得sina cosa 即tana 1 又 0 a 又由得cos又0 b 故故所以 abc中 拓展提升 1 诱导公式在三角形中应用的步骤第一步 先利用诱导公式化简整理得三角函数的关系式 第二步 利用化简后的已知条件确定某一个角的三角函数值 第三步 利用三角形中角的范围确定角 第四步 得出结论 2 三角形中的诱导公式在三角形abc中常用到以下结论 sin a b sin c sinc cos a b cos c cosc tan a b tan c tanc 3 三角形中的隐含条件 变式训练 在三角形abc中 1 求证 2 若cos a sin b tan c 0 求证 三角形abc为钝角三角形 证明 1 在 abc中 a b c 2 若cos a sin b tan c 0 或 角b与角c中有一角为钝角 故 abc为钝角三角形 易错误区 整体代换思想不明致误 典例 2013 扬州模拟 已知函数f x asin x bcos x 且f 4 3 则f 2013 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 代入f 4 3后不会利用诱导公式转化或转化错误 2 将f 2013 代入后得出关系式 不会利用整体代换思想导致误解 规范解答 f 4 asin 4 bcos 4 asin bcos 3 f 2013 asin 2013 bcos 2013 asin bcos asin bcos asin bcos 3 f 2013 3 答案 3 思考点评 与函数有关的三角函数问题解题策略 1 一般是先化简函数关系式 如利用诱导公式或同角三角函数关系化简后再求值 2 对于本例这种有条件的求值问题 应先利用已知条件整理化简得出关系式 然后整体代换得所求 1 2013 常州模拟 已知 为第四象限角 且sin 则tan 解析 由得 cos 又 为第四象限角 故sin 故答案 2 2013 苏州模拟 已知且f cosa 其中a为 abc的内角 则a 解析 由已知可得故cosa 又因为a为 abc的内角 故a 答案 3 2013 徐州模拟 解析 原式答案 4 2013 扬州模拟 已知0 且tan 则sin cos 解析 由tan 得tan 0 又sin2 cos2 1 得 答案 5 2013 连云港模拟 已知sinx siny 则siny cos2x的最大值为 解析 由sinx siny 得siny sinx 由 1 sinx 1 得 sinx 1 故siny cos2x sinx 1 sin2x sin2