动物群落的稳定发展.doc

目录摘要.2问题重述.3问题假设.3符号说明.3问题分析.4 4.1问题一.4 4.2问题二.5 4.3问题三.8 4.4问题四.10模型评价.11参考文献.12附件.13C题 动物群落的稳定发展摘要：通过模型建立讨论了大象群落的稳定发展问题。对于问题一，我们利用所给数据，分析近两年来大象群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得到年龄在2到60 岁之间大象的总数，并且求出存活率为：98.9718%；根据假设公园内2 岁到60 岁之间的大象占总大象的比例等于运出2到60 岁之间的大象占总移出大象的比例，通过该关系得到这个象群当前年龄结构。对于问题二，建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，运用第一问求出的各年龄段大象的存活率以及繁殖率，求解当前大象群落对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知：如果不进行避孕注射该大象种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立一个方程。 对于问题三， 我们假设每年大象头数稳定增长，在每年的年末移出50300头大象，就可以控制大象的头数稳定在11000 头，根据Leslie模型，就可以算出特征值，并求出此时11-60岁象群的繁殖率。根据需要避孕母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件可以得到关于移出头数、避孕母象头数和繁殖率的关系方程组，进而得出转移多少大象到别处所对应的避孕母象头数。 对于问题四，假设被转移的大象只考虑处于160岁之间，这样可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少；仍然按照解决第二问的模型，只需将不同的各年龄段大象的存活率代入以繁殖率为未知数的方程，求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。关键字：差分；Leslie矩阵；线性方程组问题重述：位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头某种野生动物。管理者要求维持这个11000头该动物的稳定群落且发现在过去的20年中，整个该动物群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头数量，其中每年大约有近600头到800头是被转移的。要控制现在的数量就使用了避孕注射法。注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕。动物的性别比接近于1：1，新出生的幼仔的性别比也在1：1左右。该群落中雌性动物在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均每3.5年产下一个幼仔，直到60岁左右。注射避孕药的动物通常在3.5年中求偶一次。新生的幼仔中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超过95%，并且这个存活率在各个年龄段都是相同的，一直到60岁左右。根据信息解决以下问题：1. 探讨该动物年龄在2岁到60岁之间的合理的存活率的模型，推测这个动物群落的当前的年龄结构。2. 估计每年在该群落中有多少雌性动物要注射避孕药，可以使群落固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，估计这种不确定性的影响。3. 假如每年转移50至300头此动物到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？4. 如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量该动物的死亡），那时重新壮大该动物群的能力如何？问题假设：1：大象群落的性别比例始终保持1：1，新出生幼象性别比也在1:1；2：公园里没有偷猎者的存在；3：考虑1-60岁年龄段的象，大象在70岁的死亡率为100%；4：大象群落的年龄结构基本保持稳定；5：母象的生育年龄均从11岁开始，新生幼象存活率为75%，其后各年龄段都超过95%；6：在没有人为干预情况下，每年要减少600-800头象才能使象群稳定。符号说明：第i年的大象总数a每年移走的大象数1-60岁大象的成活率x每年打避孕药的成熟母象数第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量LLeslie矩阵b保持大象数量不变的繁殖率没有采取避孕的繁殖率n象群在灾难中的存活率每年避孕母象头数t象群恢复到灾难前水平需要的时间象群灾难恢复期的增长率一年中大象头数（i=0表示0岁大象头数，i=1表示1-60岁大象头数，i=2表示61-70岁大象头数）第i年龄组的存活率第k年第i年龄组的大象数目问题分析：4.1问题一根据题中所给的近两年从这个地区运出的大象的大致年龄和性别统计表，可以分析出近两年的大象群落的情况，如各年龄段的大象的存活率及大象群落的当前的年龄结构等。模型的建立与求解：利用matlab画出题中所给数据的经验函数分布图，如图一所示。用直线对上面的离散图像进行拟合，得到拟合直线方程：y=24.5168x-13.3277大象在各年龄段的分布率不变。拟合直线的斜率为24.5168，得到M0=24.5168。在样本中共有大象1498头。大象可以生育的时限为50年；只有母象有繁育能力，而母象数量占总数的一半，综上可得1-60岁年龄段大象数为。母象平均每3.5年产下一头幼象，新生幼象存活率为75%，得到一年后新增幼象数,为保持象群数量稳定，可得到等式,其中，为1-60岁大象的成活率，700为每年移走的大象头数。解得=0.975959，即当2-60岁之间象的存活率为97.5959%时，象群稳定。将模型推广，得到计算任意第i年的大象总数通用模型，即，其中，Mi为第i年的大象总数；a为每年移走的大象数；x为每年打避孕药的成熟母象数。化简得：.4.2问题二在不将大象移走，也不考虑猎杀的情况下，象群要想稳定在11000头左右，就必须给母象注射避孕药。（1）应用差分方程先讨论两种注射方案：方案一：隔年注射。即第i年为x1头母象注射避孕药，而第i+1年不注射，第i+2年依然为x1头母象注射避孕药，以此类推。此方案下，为让象群稳定在11000头，可根据公式计算出每次注射的大象数目x1，方程为。解得x3267。即每次要为3267头母象注射。画出变化曲线如图2所示。此注射方案下，随着时间增加，大象数目逐渐减少，50年后，大象数目为10990头，与目标11000相差10头，因此注射方案稳定有效。方案二：年年注射。即第i年为x2头母象注射避孕药，第i+1年仍为x2头，从第二年开始不能繁育的大象数目变为2x2头。根据之前的模型，得到如下关系：其中，当i=0时，Mi+1=11000. 根据以上公式，画出这种方案下大象头数随着时间的变化曲线，如图3所示。 图2方案一中变化曲线 图3方案二中变化曲线 通过matlab可以求得x21684，即在年年注射的方案下，要维持群落稳定，每年需要对1684头母象注射避孕药。观察图4发现，随着时间增加，大象数目首先保持不变，接着急速增加，最后慢慢回落。50年后，大象数目为11312头，比理想11000多313头，但随着时间的继续增加，象群会持续缓慢减少，所以这一注射方案可视为保持象群稳定。 图四 （2）应用Leslie矩阵求解问题：记时段k第i年龄组的大象数量为Mi（k），k=0，1，2，i=1，2，n,第i年龄组的繁殖率为，即第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i年龄的存活率为，我们这里假设和不随时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。和可由统计资料获得。Mi（k）的变化规律由以下的基本事实得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之和，即 时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即 记时段k种群按年龄组的分布向量为 由繁殖率和存活率构成的矩阵为 由第一问的求解知道，0 岁的大象的存活率为75%；1-60 岁大象的存活率为98.96656%；根据假设61-70 岁大象头数是线性递减的，而且所有的大象最多只能活到70 岁，所以易求出61-70 岁的存活率为90%；11-60 岁大象的繁殖率为14.48% 根据上面的L 矩阵所建立的若不进行避孕注射，得到一个新的Leslie矩阵： 用matlab求得特征根为1.0414，即如果没有环境等限制，不进行避孕注射，该大象种群将无限增长，因此需要进行避孕注射。要保持种群稳定，须使得特征根满足：其中 因此有 解这个方程要求大象种群的稳定，繁殖率应为b=0.0377 保持大象种群数目不变的繁殖率b与没有哦采取避孕时的繁殖率b有一定的差距，所以需要避孕掉具有的繁殖率母象所生的幼象。假设每年避孕头大象，由于一次注射可以使得一头成熟母象在两年内不会受孕，所以每年实际有头大象处于避孕期。由表可知，1-10岁的大象占1-60岁大象的比例为（67/622+169/876）/2=15.0382%这样根据需要避孕掉具有繁殖率母象所生的幼象数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这样条件得到一个方程： 解得分析不确定因素的影响：最初几年避孕母象发情期增多，与未避孕母象产生竞争求偶的公象，使部分能怀孕的母象不能怀孕。而避孕的母象每月发情一次，扰乱正常求偶的母象，这样会造成未避孕母象的繁殖率出现下降，避孕母象数量减少。 随时间增长，在方案一下，若持续使用避孕药，会使象的年龄结构发生变化，象的结构呈老龄化，因此随时间增长，要保证象群稳定，避孕药的使用量必定会逐年减少直至禁用。 1-60岁大象的成活率对于应采取避孕的母象的头数影响很大，如图四所示，当 1-60岁大象的成活率从0.95变化到1时，相对应的采取避孕的母象的头数将近变化了1200头左右，显然，这个影响是比较大的。4.3问题三：由于每年转移50 至300 头象，我们认为这种转移是随机的，即转移大象的年龄结构和群落的年龄结构保持一致，同时被移走的大象中也包含注射过避孕药的母象。对于题目中所给的每年移出50-300 头大象，我们认为是稳定后每年的增长率为：50/11000-300/11000，在年终移出多余的300 头大象，刚好使得大象的总数控制在11000 左右，即为：0.004545-0.02727。 当象群趋于稳定状态时，设 Leslie 矩阵的特征值是r，则各年龄的大象数会近似地按照r-1 的比例增长，所以说，此时可得，r 的范围即为：1.004545-1.02727求出繁殖率b 的范围： 对于此式，根据Leslie 矩阵的性质可知：所以有： 将r 的值的范围带入上式，通过MATLAB 可以解得，b 的范围为：0.0398-0.1013。保持大象种群数量不变的繁殖率b 与没有采取避孕时的繁殖率 b 有一定的差距，所以需要避孕掉具有 (b -b)繁殖率母象所生的幼象。假设每年要避孕 n0 头大象，由于一次注射可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以每年实际上共有2n0头大象处于避孕期。这样根据需要避孕掉具有繁殖率母象所生的幼象的数目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这个条件得到一个关于b和n0的关系等式：根据以上分析，我们可以得到关于移出头数n避孕母象头数n0和繁殖率b的关系方程组：经MATLAB编程可以得移出头数与需要避孕头数的关系图右：具体数据表示如下：移出头数5060708090100110120130140150160170避孕头数1278126012401219119911781156113411101086106210371012移出头数180190200210220230240250260270280290300避孕头数986960933905877848819788757726693660626由上图可以发现，随着迁出头数的增加，需要避孕母象头数在不断减少，显然这是符合实际的，也间接验证了我们所得到的结果的合理性。4.4问题四：本题提出象群遭遇一场灾难而导致大量的象死亡，不得不突然停止注射避孕药。所以发生灾难的当年有部分成熟母象是没有处在生育期的，因为前二年和前一年注射避孕药的母象不能怀孕，所以我们可以考虑发生灾难后，大象的繁殖数量与当年的死亡数量的大小关系，若大象繁殖数量大于死亡数量，则说明象群还能重新壮大，尤其到发生灾难后二年时，成熟母象都可进入生育期，这样大象每年繁殖的数量将会增加，更有利于象群的壮大；若大象繁殖数量小于死亡数量， 我们要继续考虑发生灾难后二年的情况，再作比较。在灾难过后，大象繁殖的限制因素都已不存在（诸如偷猎、转运、注射避孕药等），象群可看作自由繁殖， 即增长率不变。为了简化模型，我们假设大象是随机死亡的，即灾难不改变象群的年龄结构。设象群灾难恢复期的增长率为，象群恢复到灾难前水平需要的时间为t，象群在灾难中的存活率为n，每年避孕母象的头数为n0,受灾后，我们认为象群性别比仍然为1:1,而且出生的幼象性别比也为1:1,各个年龄阶段的死亡率与发生灾难前相同，且象群数量的恢复期内不受到环境的限制，故认为象群可看作自由繁殖，即灾难恢复期每年增长率保持不变。于是，分析得到如下等式：象出生数量=（X1/2-n0）*n*0.0238象死亡数量=（X0*（1-p0）+X1*（1-p1）+X2*（1-p2）*n发生灾难后，若大象繁殖数量大于死亡数量，则说明象群还能重新壮大，尤其到发生灾难后第二年时，成熟母象都可进入生育期，这样大象每年繁殖的数量将会增加，更有利于象群的壮大；若大象繁殖数量小于死亡数量，我们则要继续考虑发生灾难后第二年的情况，再作比较。根据以上模型，可以直接算得：，由于象群在受灾后环境容量还未达到饱和，故象群灾难恢复期的增长率、象群恢复到灾难前水平需要的时间t 及象群在灾难中的存活率为a 之间是呈指数形式11000=11000*a*（1+）t从图像可以看出：当存活率为0.7时，恢复时间为10年；当存活率为0.5时，恢复时间为19年；当存活率为0.2时，恢复时间为44年，这些都是比较符合实际情况的，因为存活下来的大象头数足够多，而且恢复期内增长不受到环境的限制；但是当存活率仅为0.001时，恢复时间显然已经超过100年，这很显然是不符合实际的，因为存活率为0.001时，存活下来的大象很少，根据实际情况，这些象很容易受到外界因素稍微变化的影响而导致灭亡。 所以，该图像能够大体的反映出象群的恢复时间随灾难存活率的变化规律，由于没有过多关于象群生存法则的资料，我们只能有一个定性的概念，并不能具体计算出灾难存活率大于多少时，才能使得象群有足够的能力恢复，这也是我们这个模型有待改进的地方。模型评价： （1）本文解决问题的模型都是比较简单的，但是这并不影响得到的结果的准确性，因为这些简单的模型都有很强的理论依据； （2）在求解第二问的时候，充分利用Leslie 矩阵稳定性理论来求解应该让多少母象进行避孕注射，这些理论在差分方程中都是经典的理论，经得起许多事实的考验； （3）合理的利用象群数量在11000头左右这一数据，运用优化的方法求解，而不是将每年的大象头数固定在11000头。模型需要改进的地方： （1）因为假设了大象性别是严格地1：1 关系，而实际中不一定那么地严格是这样，所以如果能够把各个年龄段大象的性别比例分别计算，那么模型的结果可能更接近实际；（2）第二、三、四问的模型的准确性主要依赖于第一问模型的准确性，如果第一问模型结果误差很大，则后面三个模型误差也会很大；（3）第四问中的模型不能够准确的给定该象群经过灾难后能恢复的临界的存活率，使得结果不尽完美。 （4）在问题二中，我们认为在注射避孕药过程中，种群结构不发生改变，但事实上种群结构是会发生变化的，若按照我们的注射方案，最后会导致种群老龄化问题的出现。参考文献：1 Jesse Crossen，Aaron Hertz，Danny Morano，A Computational Solution for Elephant Overpopulation，The UMAP Journal，21卷第3期，2000。 2 郑谏，当代数学的若干理论与方法，华东理工大学出版社，2002。 3 戴明强，李卫军，杨鹏飞，数学模型及其应用，科学出版社，2007。 4 张志涌，精通MATLAB6.5版，北京航空航天大学出版社，2005。 5 刘卫国，MATLAB程序设计与应用，高等教育出版社，2006。附件（程序）：问题一：图一：x=1:1:60;y=0 20 41 57 73 93 135 158 213 235 284 300 337 369 385 420 432 474 513 535 562 582 582 597 630 648 664 667 689 698 714 735 756 778 798 813 836 862 882 910 950 976 1010 1039 1061 1089 1107 1161 1197 1241 1257 1279 1310 1342 1359 1385 1407 1442 1478 1498;plot(x,y,*);A=polyfit(x,y,1)plot(x,y,*,x,polyval(A,x),r); syms x %声明符号变量，注意变量间必须用空格分开 fx=1.06364*(1.06364*11000-0.214286*x)-0.214286*x-11000 %建立符号函数 solve(fx) %求方程fx=0的符号解 fx = 3970970206818964721/2748779069440000 - (398306602575912739383*x)/900719925474099200000 ans = 1301207517370438359777280/398306602575912739383x=sym(1301207517370438359777280/398306602575912739383)double(x) x = 1301207517370438359777280/398306602575912739383 ans = 3.2668e+003问题二：图二： y=11000 10999.97 10999.93 10999.90 10999.86 10999.82 10999.77 10999.72 10999.68 10999.62 10999.57 10999.51 10999.45 10999.38 10999.31 10999.23 10999.15 10999.06 10998.96 10998.87 10998.76 10998.65 10998.54 10998.41 10998.28 10998.14 10997.98 10997.82 10997.65 10997.47 10997.23 10997.07 10996.85 10996.62 10996.37 10996.11 10995.83 10995.53 10995.21 10994.87 10994.52 10994.13 10993.73 10993.30 10992.84 10992.35 10991.83 10991.28 10990.69 10990.07; x=1:50; plot(x,y,.) 图三：y=11000 11339.18 11339.09 11339.00 11338.90 11