第12单元-推理与证明-数学(理科)-北师版(已核).ppt

目录 第56讲基本计数原理第57讲排列 组合第58讲二项式定理第59讲随机事件的概率第60讲古典概型第61讲几何概型第62讲离散型随机变量及其分布列第63讲二项分布及其应用第64讲离散型随机变量的均值与方差 正态分布 第十单元计数原理 概率 随机变量及其分布 北师大版 本课件为 逐字编辑 课件 使用时欲修改课件 请双击对应内容 即可进入可编辑状态 在此状态下 如果有的公式双击后无法用公式编辑器编辑 请选中此公式 点击右键 切换域代码 即可进行编辑 修改后再点击右键 切换域代码 即完成修改 如有疑问欢迎致电 010 58818066 使用说明 目录 第68讲合情推理和演绎推理第69讲直接证明与间接证明第70讲数学归纳法 第十二单元推理与证明 第十二单元推理与证明 第十二单元 知识框架 第十二单元 考纲要求 1 合情推理与演绎推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 第十二单元 考纲要求 2 直接证明与间接证明 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 3 数学归纳法了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 本单元既有新课标高考独有的内容 也有大纲版中的传统内容 新增内容已成为近几年新课标高考的必考内容 高考对本单元的考查有如下特点 1 对推理与证明的考查 高考试题中已经出现过专门考查归纳推理和类比推理的试题 也出现过专门指明用反证法证明的试题 随着新课标高考的深入发展 推理与证明的考查会更加科学合理 特别在合情推理方面一定会有新的试题出现在高考试卷中 第十二单元 命题趋势 第十二单元 考纲要求 2 新课标高考对于数学归纳法的考查不多 试题从来没有以选择题 填空题的形式单独考查过 对数学归纳法的考查有时渗透在解答题特别是数列解答题中 一般比较隐蔽 难度也较大 预计2012高考将会以合情推理这部分内容为切入点 加强对学生逆向思维能力和创新能力的考查 试题可能会以新定义或信息迁移题的形式出现 1 编写意图本单元是考查学生推理创新能力的重要载体 难易度不易把握 以教材为根本 以考试大纲为准绳 在编写过程中突出了以下两个特点 1 把握基本题型 对各种基本题型进行了详细简述 目的是帮助学生构建知识体系 能针对不同的推理与证明题型灵活选择相应的方法 第十二单元 使用建议 2 体现新课标理念 编写过程中尽量体现以学生为主体 在试题的选择上 以便于学生自主学习 自主探究为出发点 培养学生的创新能力 比如合情推理这一知识点 为创新性试题的命制提供了较好的空间 对于这部分试题的选取都体现了新颖性 第十二单元 使用建议 2 教学指导尽管本单元内容突出了对学生推理与创新能力的考查 但教学中仍然要以掌握基础知识 基本方法为出发点 切不可盲目加大难度 本单元是培养学生良好思维习惯 学习和运用数学思想方法 形成数学能力的重要一环 要站在数学思想方法的高度 对多年来所学习的数学知识和数学方法做较为系统的梳理和提升 务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识 要重视对合情推理的训练 加强合情推理与演绎推理的综合运用 第十二单元 使用建议 3 课时安排本单元包含3讲和1个单元能力训练卷 建议每讲1课时 单元能力训练卷1课时 本单元共需4课时 第十二单元 使用建议 第68讲 合情推理和演绎推理 第68讲合情推理和演绎推理 第68讲 知识梳理 1 推理的概念根据一个或几个事实 或假设 得出一个判断 这种思维方式叫推理 从结构上说 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做 一部分是由已知推出的判断 叫 前提 结论 第66讲 知识梳理 2 合情推理根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出的推理叫合情推理 合情推理可分为 和 两类 1 归纳推理 由某类事物的 具有某些特征 推出该类事物的 具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 叫归纳推理 简言之 归纳推理是由 到 由 到 的推理 归纳推理 类比推理 部分对象 全部对象 部分 整体 个别 一般 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 叫类比推理 简言之 类比推理是由 到 的推理 3 演绎推理从一般性的真命题 原理或逻辑规则 出发 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理 简言之 演绎推理是由 到 的推理 第66讲 知识梳理 特殊 特殊 一般 特殊 探究点1归纳推理 第68讲 要点探究 思路 右边由两项构成 第二项前有 1 n 再对上标数字变化情况进行归纳分析 发现规律 得出结论 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 点评 应用归纳推理解题时 一是要通过观察个别情况发现某些相同的性质 二是要从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 第68讲 要点探究 变式题 第68讲 要点探究 思路 观察cos 的最高次的系数2 8 32 128 可得出m 128 4 512 进一步分析各项系数的特点与关系或利用赋值法列方程组 通过解方程组确定n p的值 答案 962 第68讲 要点探究 解析 方法一 观察等式可知 cos 的最高次的系数2 8 32 128构成了公比为4的等比数列 所以m 128 4 512 1 进一步观察 可得每一个式子右边所有系数之和为1 即有m 1280 1120 n p 1 1 整理 得m n p 162 2 再仔细观察可以发现 每一个式子右边cos2 的系数分别为2 1 2 8 2 4 18 3 6 32 4 8 则p 5 10 50 3 由上述 1 2 3 可得n 400 故m n p 962 第68讲 要点探究 探究点2类比推理 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 点评 1 一般地 类比对象的确定可以从以下两个方面来思考 从形式上去思考 如由条件的相似去类比结论的相似 由命题结论的相似类比推理方法的相似 从内容上去思考 形与形类比 数与数类比 数与形类比 式与式类比 数与式类比 运算类比 低维与高维类比 有限与无限类比 抽象与具体类比 2 几何中的类比猜想比较广泛 常常将三维空间中的对象与二维平面中的对象进行类比 二维平面中的对象与一维中的对象进行类比 如 点与线类比 线与面类比 面与体类比 平面角与空间角类比等 第68讲 要点探究 3 在进行类比推理时 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 且要注意以下两点 找两类对象的对应元素 如 三角形对应三棱锥 圆对应球 面积对应体积 平面上的角对应空间角等 找对应元素的对应关系 如 两条边 直线 垂直对应线面垂直或面面垂直 边相等对应面积相等 第68讲 规律总结 1 归纳推理归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论 破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息 从中发现一般规律 解题的一般步骤是 1 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 2 提出带有规律性的结论 即猜想 3 检验猜想 第68讲 规律总结 2 类比推理类比推理的难点是发现两类对象的相似特征 由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征 破解的方法是利用已经掌握的数学知识 分析两类对象之间的关系 通过两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征 其一般的步骤是 1 找出两类对象之间可以确切表达的相似性 或一致性 2 用一类对象的性质去推断另一类对象的性质 从而得到一个猜想 3 验证猜想 第68讲 规律总结 3 合情推理与演绎推理的区别 1 归纳推理是由特殊到一般的推理 2 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 是证明数学问题的基本推理形式 第69讲 直接证明与间接证明 第69讲直接证明与间接证明 1 直接证明直接从原命题的条件逐步推得结论成立 这种证明方法叫直接证明 直接证明有两种基本方法 分析法和综合法 1 综合法 是由原因推导到结果的证明方法 它是利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论 的证明方法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法可用框图表示为 第69讲 知识梳理 推理论证 成立 第69讲 知识梳理 2 分析法 是从 出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的 直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定义 公理 定理等 为止的证明方法 用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示为 要证明的结论 充分条件 3 综合法与分析法的辩证关系 在解决问题时 常常用分析法寻找解题思想方法 而用综合法展现解决问题的过程 即综合分析法 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 一般地 假设原命题的结论 经过正确的推理 最后得出 由此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的方法叫反证法 第69讲 知识梳理 不成立 矛盾 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 根据假设进行推理 直到推理中导出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 说明 反证法的证明过程可以概括为 否定 推理 否定 即从否定结论开始 经过正确的推理 导致逻辑矛盾 从而达到新的否定 即肯定原命题 的过程 用反证法证明命题 若p则q 的过程可以用下图所示的框图表示 第69讲 知识梳理 探究点1综合法 第69讲 要点探究 思路 运用作差法或直接运用基本不等式证明 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 变式题 第69讲 要点探究 思路 由已知等式找出三角形三边a b c的关系 再由余弦定理得出A B C之间的关系 用综合法给出证明 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 探究点2分析法 第69讲 要点探究 思路 本题结论较复杂 可先用分析法简化结论 再用分析法证明 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 点评 当要证明的不等式较复杂 两端的差异难以消除或者已知条件信息太小不知如何下手时 适时运用分析法会使问题容易获得解决 在用分析法证题时 要正确使用连接有关步骤的关键词 如 为了证明 只需证明 等 分析法是步步寻求结论成立的充分条件 有时与综合法混合使用 也叫分析综合法 第69讲 要点探究 变式题 思路 用直接法不易入手 采用分析法求证 第69讲 要点探究 探究点3反证法 第69讲 要点探究 思路 正难则反 选择反证法 利用q 0寻找矛盾 第69讲 要点探究 点评 否定性命题从正面突破往往比较困难 故用反证法比较好 第69讲 要点探究 变式题 思路 正难则反 选择反证法 因涉及方程的根 可从范围方面寻找矛盾 第69讲 要点探究 探究点4综合应用 第69讲 要点探究 思路 利用分析法寻找解题思路 用综合法加以证明 构造函数 判定函数在x 0 上的单调性 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 点评 有些数学证明题 单独运用一种证明方法很难或无法完成 此时要善于将多种证明方法混合使用 常常用分析法寻找解题思路 用综合法加以证明 本题通过对原不等式进行等价变形 找到了便于证明的不等式 然后构造函数证明不等式 综合运用了分析法 综合法和构造法 第69讲 规律总结 1 综合法证题的一般规律用综合法证明命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能想到从哪里起步 我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从而由已知逐渐引出结论 2 分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维 用分析法证题必须从结论出发 倒着分析 寻找结论成立的充分条件 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 第69讲 规律总结 3 反证法证题的一般规律反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立 反证法的主要依据是逻辑中的排中律 排中律的一般形式是 或者是A 或者是非A 即在同一讨论过程中 A和非A有且仅有一个是正确的 不能有第三种情况出现 第70讲 数学归纳法 第70讲数学归纳法 第70讲 知识梳理 1 数学归纳法 1 归纳法 由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法 通常叫做归纳法 它是人们发现规律 产生猜想的一种方法 归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法 2 数学归纳法数学归纳法是证明与正整数集有关的命题 它是在归纳的基础上进行的演绎推证 所得结论一般是正确的 第70讲 知识梳理 2 应用数学归纳法的一般步骤 1 验证n n0时 结论正确 2 假设当n k k n0 k N 命题成立 证明当n k 1时命题也成立 由 1 2 知 对于一切n n n0 n N 命题成立 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 探究点1利用数学归纳法证明等式 第70讲 要点探究 思路 归纳奠基 验证当n 2时结论成立 归纳递推 假设当n k n 2 n N 时成立 推出当n k 1时结论也成立 归纳总结 根据 1 2 可知对任意的n 2 n N 等式成立 第69讲 要点探究 第70讲 要点探究 点评 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时等式的两边变化的项 然后正确写出归纳证明的步骤 使问题得以证明 数学归纳法的证明过程中 要把握好两个关键之处 一是f n 与n的关系 二是f k 与f k 1 的关系 第70讲 要点探究 变式题 思路 本题有多种求法 归纳 猜想 证明 是其中之一 第70讲 要点探究 探究点2用数学归纳法证明不