垂径定理及其推论

28.1.2垂径定理及推论的教学设计活动一：画一个圆，并把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：活动二：在刚才的O内画一条弦AB和一条直径CD，使CDAB，垂足为E，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：垂径定理：1、图形语言2、文字语言：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。3、几何语言：ABCD于E ，AB是O的直径 CE=DE，ACAB，BCBD练习1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。 （ ） （ ） （ ）垂径定理的几个基本图形 定理中垂直于弦的直径，可以是直径、半径、也可以是过圆心的直线或线段。2、请画图说明垂径定理的条件和结论。 条件 结论 AB为直径 AB平分弦CD 点A平分弧CAD点B平分弧CD 过圆心 平分弦垂直于弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧推论： 知其二可推其三 注意：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧活动三：例题与练习例1：如图，圆的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ） A4 B6 C7 D8 变式1：在O中，已知AB等于8，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，求圆的直径 。变式2：在O中，已知直径为10，弦AB等于8，求圆心O到弦AB的距离OM的长 。 例1图 例2图例2：如图，已知：O 中， AB为 弦，D为 AB 中点， OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O 的半径OA. 变式1：已知：O中，AB为弦，C为弧AB中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求O的半径OA. 变式2：已知：O中，AB为弦，D为AB中点，OC交AB于D ，AB=6cm ，O的半径OA为5，求CD的长。变式3：已知：O中，AB为弦，D为AB中点，OC交AB 于D ，CD =1cm ，O的半径OA为5，求AB的长。例3：如图，用 AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高求主桥拱半径R的长？（保留一位小数） （AB37.4m，CD7.2m）解：活动四：小结 1、垂径定理 2、垂径定理的推论 3、辅助线作法 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。活动五：课堂小测1、如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中错误的是（ ）ACE=DE B= CBAC=BAD DACAD (1) (2) (3)2、如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D83、如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是AABCD BAOD=BOD C= DPO=PD4、P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_5、已知：如图，若以O为圆心作一个O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点。求证：ACBD。变式1：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式2：隐去