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二 几个函数的麦克劳林公式 第三节 一 泰勒公式 三 泰勒公式的应用 泰勒 Taylor 第三章 1 一 泰勒公式 当一个函数f x 相当复杂时 为了计算它在一点x x0 时 是比 高阶的无穷小 附近的函数值或描绘曲线f x 在一点P x0 f x0 附近 的形状时 我们希望找出一个关于 x x0 的n次多项式 函数 近似表示f x 且当 机动目录上页下页返回结束 2 首先确定多项式函数的系数 假定f x 在含有点x0的某个开区间 a b 内具有直到 这样 对Pn x 求各阶导数 然后分别代入以上等式得 即得 n 1 阶的导数 并且要求满足条件 机动目录上页下页返回结束 3 把所求得的系数代入得 其次证明 是较 显然 Rn x 在 a b 内具有直到 n 1 阶导数 且 据此重复使用洛必达法则 可推得 高阶无穷小 机动目录上页下页返回结束 4 时 是比 高阶的无穷小 即当 Rn x 于是f x 可表示 机动目录上页下页返回结束 5 一 问题的提出 机动目录上页下页返回结束 6 如下图 机动目录上页下页返回结束 7 不足之处 问题 1 精确度不高 2 误差不能估计 机动目录上页下页返回结束 8 机动目录上页下页返回结束 分析 2 若有相同的切线 3 若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1 若在点相交 9 机动目录上页下页返回结束 10 三 泰勒 Taylor 中值定理 机动目录上页下页返回结束 11 定理 泰勒 Taylor 中值定理 有 其中 则对于任一 如果f x 在含有点x0的某个开区间 a b 内具有直到 n 1 阶的导数 机动目录上页下页返回结束 12 特例 当n 0时 泰勒公式 变成拉格朗日中值定理 公式 称为f x 按 x x0 的幂展开的带有拉格朗日型 公式 称为拉格朗日型余项 余项的n阶泰勒公式 机动目录上页下页返回结束 13 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 机动目录上页下页返回结束 14 注 机动目录上页下页返回结束 15 二 几个函数的麦克劳林公式 上述公式称为f x 的麦克劳林 Maclaurin 公式 因此可令 在泰勒公式中取 从而泰勒公式变为较简单的形式 即 其中 机动目录上页下页返回结束 16 故 例1 求函数 解 因为 的n阶麦克劳林展开式 所以 机动目录上页下页返回结束 17 其中 令n 2m 于是有 例2 求函数 解 因为 的n阶麦克劳林展开式 所以 机动目录上页下页返回结束 18 类似地 可得 其中 其中 机动目录上页下页返回结束 19 其中 以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式 在应用 中经常遇到 应该熟记 机动目录上页下页返回结束 20 三 泰勒公式的应用 1 求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式 例3 求 解 因为 又 的麦克劳林展开式 机动目录上页下页返回结束 21 机动目录上页下页返回结束 22 例4 求函数 解 因为 处的泰勒展开式 机动目录上页下页返回结束 23 即 机动目录上页下页返回结束 24 解 机动目录上页下页返回结束 25 2 在近似计算中的应用 例5 利用 的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值 并估计误差 解 取n 8 进行计算得 机动目录上页下页返回结束 26 其误差 机动目录上页下页返回结束 27 五 小结 28 五 小结 29 五 小结 30 五 小结 31 五 小结 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41