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高三数学培优专题5：三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1在ABC中， 分别是内角的对边，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1) 求角A的大小；（2）求的最大值.变式1：已知向量，且，其中是ABC的内角，分别是角的对边.(1) 求角的大小；（2）求的最大值.解：由，得a+bc=ab=2abcosC所以cosC=，从而C=60故=sin(60+A)所以当A=30时，的最大值是变式2已知半径为R的圆O的内接ABC中，若有2R（sinAsinC）=（ab）sinB成立，试求ABC的面积S的最大值。解：根据题意得： 2R()=(ab)*化简可得 c=a+bab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135A)=(sin(2A+45)+10A135 452A+45315 当2A+4590即A=15时，S取得最大值。类型二：利用重要不等式来解决例2（13年重庆中学）在中，角A,B,C的对边分别为且.（1）若，且，求的值（2）求的面积的最大值。解（1）由余弦定理， ，又，解方程组得或 (舍) （2）由余弦定理， ，又即时三角形最大面积为变式3在ABC中，角A,B,C的对边是a,b,c, ABC的外接圆半径R=,且（1）求B和b的值； （2）求ABC面积的最大值解：由已知，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosBsinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,边b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(当且仅当a=b时取等号)即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)三角形得面积s=acsinB*9*sin60=三角形得面积的最大值是变式4：ABC中，若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 答案：解法1.由a=2,c=1,
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