全等三角形中与中点有关的辅助线.doc

关于中点辅助线的做法：倍长中线；三线合一；中位线；斜边中线1. 已知在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CEAB于E，F为AD中点，试探究EFD于AEF之间的数量关系并证明你的结论。2. 已知，在ABC中，B=2C，M是BC中点，ADBC于D，求证：解法（一）：类倍长中线法：如图1，延长EF交CD延长线于点M，连接CF（斜边中线）解法（二）：直角梯形中位线，如图2，取EC中点M，连接FM，FC，易证FMEC，又M是EC中点，FM平分EFC（三线合一）解法（一）：斜边中线：如图1，取AB中点E，连接ED，EM，由已知，EDB=B=2，EM为ABC的中位线，EMAC，EMD=C=，解法（二）：如图2，中位线，斜边中线：取AC中点E，连接EM，ED。3. 如图，在五边形ABCDE中，ABC=AED=90，BAC=EAD，F是CD中点，求证BF=EF.4. 如图，在ABC内取一点P，使PBA=PCA，做PDAB于D，PEAC于E，求证DE的垂直平分线必经过BC的中点M.解法（一）：中位线+斜边中线构造全等：如图1，分别取AC、AD中点M、N，连接FM、FN、BM、EN，则由已知可证明FMBENF（SAS）解法（二）：中位线：如图2，延长CB到P，使PB=BC，延长DE到Q使QE=ED，连接PD、CQ、AP、AQ。则BF、EF分别为PCD、QCD的中位线，BF=PD，EF=CQ，只需证明PD=CQ，由已知可证PADCAQ（SAS）解法：中位线+斜边中线造全等：分别取BP、CP中点F、G，连接MF、MG、DF、EG、DM、EM，由已知可证DFMMGE（SAS）（其中1=2由平行四边形对角相等得到）5. 向ABC外构造等边三角形ABD和ACE，P是AD的中点，N是CE的中点，BM=3MC，求证：PN=2MN.6. 如图，BD=DC=DA，C=2B，求证：A=120-B.解法：中位线+三线合一造全等：分别取BC、AC的中点Q、R连接QR、QE、RE、AN，易证：MN=QE，问题转化为证明PN=QE，由已知可证明PANQRE（SAS）解法（一）：三线合一：如图1，连接AD，做C的平分线交AD于M，过点D做DNAB于N，有由已知可得BDNCDM（AAS），又DM=AD（三线合一）又DN=AD，DAN=30，A=DAN+DAC=30+90-=120-解法（二）：如图2，做C的平分线交AB于M，连接DM，BC，由已知可证BDMCDM（SSS），CDMCAM（SAS），则BMD=CMD=CMA=60，A=180=60-=120-解法（三）：如图3，二倍角模型（关键词：翻折，等边三角形）：将ABD沿AB翻折至ABD，连接DD交AB于点M，易证DBDACD（SAS），DD=AD，又AD=AD，ADD是等边三角形，MAD=30，MAC=30+=120-二倍角模型典型题（2010北京）25问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA探究DBC与ABC度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ；可得到DBC与ABC度数的比值为_ ；（2） 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明解：（1）当BAC=90时，BAC=2ACB，ACB=45，在ABC中，ABC=180-ACB-BAC=45，ACB=ABC，AB=AC（等角对等边）；当DAC=15时，DAB=90-15=75，BD=BA，BAD=BDA=75，DBA=180-75-75=30，DBC=45-30=15，即DBC=15，DBC的度数为15；DBC=15，ABC=45，DBC=15，ABC=45，DBC：ABC=1：3，DBC与ABC度数的比值为1：3 （2）猜想：DBC与ABC度数的比值与（1）中结论相同 将ABD沿AC的中垂线l翻折，得到CKD，此时KCA=BAC=2BCA，达到了将BCA翻折的效果，连接KB，则l是KB的中垂线，又l是AC的中垂线，BKAC，由已知可得KDB是等边三角形，1=60-6，2=120-BAC=120-25=120-26=21证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作BKAC交CK于点K，连接DK四边形ABKC是等腰梯形，CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD，KD=BD=BA=KCBKAC，ACB=6，BAC=2ACB，且KCA=BAC，KCB=ACB，5=