高中数学 第一节 坐标系课件 新人教A版选修44.ppt

选修4 4坐标系与参数方程第一节坐标系 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 2 极坐标系与点的极坐标 1 极坐标系 在平面内取一个定点o 叫做 自极点o引一条射线ox 叫做 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 就建立了极坐标系 2 点的极坐标 对于极坐标系所在平面内的任一点m 若设 om 0 以极轴ox为始边 射线om为终边的角为 则点m可用有序数对 表示 极轴 极点 3 极坐标与直角坐标的互化公式 设点p的直角坐标为 x y 它的极坐标为 则相互转化公式为x y 2 tan cos sin x2 y2 3 直线的极坐标方程 1 特殊位置的直线的极坐标方程 cos sin 2 一般位置的直线的极坐标方程 若直线l经过点m 0 0 且极轴到此直线的角为 直线l的极坐标方程为 sin 0sin 0 4 半径为r的圆的极坐标方程 1 特殊位置的圆的极坐标方程 2rcos r 2rsin 2rcos 2rsin 2 一般位置的圆的极坐标方程 圆心为m 0 0 半径为r的圆的极坐标方程为 2 2 0 cos 0 02 r2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在极坐标系中 点m的坐标是惟一的 2 极坐标系所在平面内的点与极坐标是一一对应的关系 3 三角函数是联系极坐标与直角坐标的纽带 4 椭圆伸缩变换后仍是椭圆 解析 1 错误 极坐标系中的点 当 0 2 时 除极点外 点m的极坐标是惟一的 当 r时 点m的极坐标不惟一 2 错误 建立极坐标系后 给定 就可以在平面内惟一确定一点m 反过来 给定平面内一点m 它的极坐标 r 却是不惟一的 所以二者不能建立一一对应关系 3 正确 由转化公式 根据任意角的三角函数的定义及其基本关系式 诱导公式 可以把二者联系起来 4 错误 变换系数 与 的值 伸缩后有可能为圆 答案 1 2 3 4 考向1伸缩变换公式及其应用 典例1 若函数y f x 的图象在伸缩变换 x 2x y 3y求函数y f x 的最小正周期 作用下得到曲线的方程为y 3sin x 思路点拨 求出函数y f x 的解析式 再求最小正周期即可 规范解答 设函数y f x 的图象上任意一点p的坐标为 x y 在伸缩变换 作用下得到点p的对应点的坐标为p x y 将代入曲线方程y 3sin x 得y sin 2x 即f x sin 2x 所以函数y f x 的最小正周期为 互动探究 本例中 若改为 函数y sin 2x 的图象在伸缩变换作用下得到曲线的方程为y 3sin x 求 和 的值 解析 设函数y sin 2x 的图象上任意一点为p x y 在伸缩变换 的作用下得到曲线的对应点为p x y 则将其代入y 3sin x 得 y 3sin x y sin x 依题意 得 1 2 2 3 拓展提升 求伸缩变换的曲线方程的解题思路 1 曲线的伸缩变换是通过曲线上每一点的坐标的伸缩变换实现的 解题时需要区分变换前的点p的坐标 x y 与变换后的对应点p 的坐标 x y 再利用伸缩变换公式建立联系即可 2 若已知变换前与变换后的曲线方程 则可以确定伸缩变换公式 可以由相等函数的关系求 的值 变式备选 求正弦曲线y sinx按变换后的函数的值域 解析 设点p x y 为正弦曲线y sinx上的任意一点 在变换的作用下 点p x y 对应到点p x y 即代入y sinx得所以y 3sinx 即y 3sinx 所以函数的值域为 3 3 考向2点的极坐标与直角坐标的转化 典例2 1 已知点m的极坐标为 2 求点m的直角坐标 2 若 0 0 2 求直角坐标为 1 的点m的极坐标 思路点拨 1 由公式计算点m的直角坐标 2 由公式计算点m的极坐标 规范解答 1 由公式得 点m的直角坐标为 2 由公式得 点在第四象限 且 0 2 点m的极坐标为 2 拓展提升 直角坐标化为极坐标的不惟一性 1 根据终边相同的角的意义 角 的表示方法具有周期性 故点m的极坐标 的形式不惟一 即一个点的极坐标有多种表达形式 当限定 0 0 2 时 除极点外 点m的极坐标是惟一的 极点o的极坐标为 0 为任意值 但一般取 0 即极点的极坐标为 0 0 2 把点的直角坐标化为极坐标时 求极角 应注意判断点p所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出角 提醒 若没有特别要求 求出 0 2 内的主值角即可 变式训练 若 0 r 求直角坐标 1 1 的极坐标 解析 由公式得 点 1 1 在第三象限 2k k z 所以点 1 1 的极坐标为k z 考向3求曲线的极坐标方程 典例3 1 2012 上海高考改编 如图 在极坐标系中 过点m 2 0 的直线l与极轴的夹角若将l的极坐标方程写成 f 的形式 求f 2 2012 江苏高考 在极坐标系中 已知圆c经过点圆心为直线与极轴的交点 求圆c的极坐标方程 思路点拨 1 先求直线的直角坐标方程 再化为极坐标方程 也可以利用正弦定理直接求直线的极坐标方程 2 先求出圆的直角坐标方程 再化为极坐标方程 也可以直接根据圆的半径与位置求圆的极坐标方程 规范解答 1 方法一 在平面直角坐标系中 直线的倾斜角为故直线的斜率为直线又过点 2 0 所以直线的方程为由公式得即 cos sin 2 化简 得 sin 1 即为所求 方法二 设直线上的任一点的极坐标为p 因为所以 opm 根据正弦定理得即即 2 方法一 点化为直角坐标为p 1 1 直线的直角坐标方程为与x轴 极轴 的交点坐标为c 1 0 圆c的半径为pc 1 圆c的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 即x2 y2 2x 化为极坐标方程为 2cos 方法二 圆心为直线与极轴的交点 令 0 得 1 圆c的圆心坐标为 1 0 圆c经过点 圆c的半径为 圆c经过极点 所以圆c的极坐标方程为 2cos 拓展提升 求曲线方程的方法步骤 1 求曲线方程 首先要根据条件建立适当的平面直角坐标系 或极坐标系 2 设出曲线上任意一点的坐标为m x y 找出此动点满足的几何条件 最后通过代数变换化简方程即可 提醒 在平面直角坐标系中 求曲线的轨迹方程的方法有直译法 定义法 相关点法 在极坐标系中 求曲线的极坐标方程以上几种方法仍然是适用的 变式训练 如图 点a在直线x 3上移动 点o p a按顺时针方向排列 等腰 opa的顶角 opa为求点p的轨迹方程 用极坐标表示 解析 以o作为极点 ox轴的正方向为极轴 建立极坐标系 则直线x 3的极坐标方程为 cos 3 设a 0 0 p 点a在直线 cos 3上 0cos 0 3 opa为等腰三角形 且 opa poa 0 0 代入 得即为所求 考向4极坐标方程化为直角坐标方程 典例4 1 2012 安徽高考 在极坐标系中 求圆 4sin 的圆心到直线 r 的距离 2 从极点o作射线 交直线 cos 3于点m p为射线om上的点 且 om op 12 若有且只有一个点p在直线 sin cos m上 求实数m的值 思路点拨 1 化极坐标方程为直角坐标方程 计算点到直线的距离 2 化极坐标方程为直角坐标方程 利用直线与曲线的位置关系解决 规范解答 1 圆的极坐标方程 4sin 化为直角坐标方程为x2 y 2 2 4 圆心为 0 2 直线 r 的直角坐标方程为x y 0 所以圆心到直线的距离是 2 设点p 则由 om op 12 得所以即 4cos 0 化为直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 化 sin cos m为直角坐标方程为y x m 0 因为有且只有一个点p在直线上 所以y x m 0和 x 2 2 y2 4 x 0 相切 即或过原点 即m 0 综上所述 或m 0 拓展提升 直线与圆的位置关系设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则 变式训练 2013 唐山模拟 在极坐标系中 曲线c1的方程为 2sin 曲线c2的方程为 sin 4 以极点为原点 极轴方向为x轴正方向建立直角坐标系xoy 1 求曲线c1 c2的直角坐标方程 2 设a b分别为c1 c2上的动点 求 ab 的最小值 解析 1 曲线c1的极坐标方程化为 s