相交线问题中的探索与猜想型试题举例.doc

探索与猜想猜想是一种高层次的思维活动，是数学发现过程中的一种创造性思维“观察、归纳、猜想”型探索性问题，使学生以“数学家”的角色，置身于猜想、发现的情境之中，这类问题对开拓思维，培养创新意识和探索能力大有裨益例1 根据题意，完成下列填空：如图1，与是同一平面内的两条直线，它们有一个交点如果在这个平面内，再画 图1第3条直线，那么这3条直线最多可有_个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有_个交点；由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有_个交点（为大于1的整数）条直线最多可有_个交点（用含的式子表示）解：（1）画图观察图2（2）列表归纳直线条数23456增加点数12345点的个数1361015？（3）归纳与猜想：当时，；当时，；当时，；当时，；于是，可猜想条直线最多可有交点个数为：=+=1+2+3+4+=我们不妨难证一下公式的正确性，当时，=10，与上面得到的结果是一致的！于是，当=6时，=15个交点例2 如图3，两条直线、相交于点O，共可组成4对对顶角如果经过点O再画第三条直线，那么这三条直线共可组成_对对顶角；如果经过点O再画第四条直线，那么这四条直线共可组成_对对顶角由此我们可以猜想：（2）条直线相交于一点共可组成_对对顶角 解：（1）画图观察 图3（2）列表归纳直线条数23456增加直线条数12345对顶角的对数26122030？（3）归纳与猜想：当时，；当时，；当时，；当时，；于是，可猜想条直线最多可有交点个数为：=+=2+4+6+8+=21+2+3+4+=2=最后，请同学们思考：（2）条直线相交于一点共可组成_对邻补角，还等什么呢，赶快动手试一试吧！探索规律 解决问题我们知道两条直线相交得到的四个角中，有一个公共顶点，而没有公共边的两个角叫做对顶角.识别对顶角要把握三点：（1）有两条直线相交得到的；（2）有一个公共的顶点；（2）两个角之间没有公共边.一、探索规律我们知道两条直线交于一点，可以得到两对对顶角.如图1，1和3、2和4.在条件较少的条件下，找对顶角还比较容易.但当三条直线或三条以上直线的直线相交于一点时，如图2、图3，要找图中的所以的对顶角，并做到不重复、不遗漏，可能大家感到有点困难了.那么如何得到多条直线相交于一点得到的对顶角的对数呢？ 图1 图2 图3我们现在来探究一下：观察图2可知,当有两条直线相交时,可以得到两组对顶角.当有三条直线a、b、c相交于一点时,其中a与b、a与c、b与c两两相交，可以得到6对对顶角；如图3四条直线相交于一点时，即a与b、a与b、a与d、b与c、b与d、c与d两两相交，其中每两条直线相交可得两对对顶角，所以共得到12对对顶角.由此可以看出，直线的条数与对顶角的对数有下列关系： 当2条直线相交于一点时，可得2(2-1）=2对对顶角；当3条直线相交于一点时，可得3(3-1）=6对对顶角；当4条直线相交于一点时，可得4(4-1）=12对对顶角；当5条直线相交于一点时，可得5(5-1）=20对对顶角；依次类推：当n条直线相交于一点时，可得n(n-1）对对顶角.（n是大于1的整数）.二、应用举例 有了上面的规律，我们可以解决一些复杂图形中的对顶角的对数问题.例1 如果有10条直线都经过一点O，那么可以得到多少对以0为顶点的对顶角？析解：根据规律：当n条直线相交于一点时，可得n(n-1)对对顶角,所以当n=10时,可得10(10-1)=90对对顶角.例2如图4,直线AB、CD、EF、MN相交于一点0，直线PQ与它们分别相交与点R，S，G，H.则图中共有多少对对顶角.析解：图中4条直线相交于一点0，所以以O为顶点的对顶角有4(4-1)=