江苏省苏州市2011届迎二模六校联考数学试题.doc

江苏省苏州市2011届迎二模六校联考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合A=x|x|0，则AB= 2. 已知复数z=2i，则的虚部为 3. 某社区对居民进行世博会知晓情况的分层抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人.若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数是 4. 连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为 (结果用数值表示)5. 若双曲线经过点(3,)，且渐近线方程是y=x，则这条双曲线的方程是 6. 若不等式0成立的一个充分非必要条件是x0,且a2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c的最小值为 12. 若过点A(a,a)可作圆x2y22axa22a3=0的两条切线，则实数a的取值范围是 13. 设首项不为零的等差数列an前n项之和是Sn,若不等式an2+a12,对任意an和正整数n恒成立,则实数的最大值为 14. 已知函数f(x)=ax22x, g(x)=, 若存在x0, 使得f(x0)是f(x)的最大值, g(x0)是g(x)的最小值,则这样的整数对(a,b)为 二、解答题：（本大题共6个小题，共90分）A1B1C1ABCD1DEF第15题15. (本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, A1C1B1D1, E,F分别是AB, BC的中点.(1)求证：EF平面A1BC1；(2)求证：平面D1DBB1平面A1BC1.16（删） (本小题满分14分) 在ABC中，点M是BC的中点，AMC的三边长是连续三个正整数，tanCtanBAM=1(1)判断ABC的形状；(2)求BAC的余弦值。17. （删）(本小题满分14分)在数列an中, a1=1, an+1=1, bn=,其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式an；(2)若数列cn满足：bn= (-1)n (nN*),求数列cn的通项公式；18(本题满分16分)已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且圆C在点P处的切线的斜率为1.(1)试求圆C的方程；(2)若点A、B是圆C上不同的两点，且满足=，yxCQPO第18题R试求直线AB的斜率；若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在y轴上的截距的范围。19. (本题满分16分) 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(RtFHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，记BHE=.(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域；(2)若sin+cos=，求此时管道的长度L；(3)问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.20. (本题满分16分)已知函数f(x)=x(xa)(xb),点A(m, f(m)，B(n, f(n)(1)设b= a,求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的导函数f(x)满足：当|x|l时，有| f(x)|恒成立，求函数f(x)的表达式；(3)若0ab,函数f(x)在x=m和x=n处取得极值,且a+b2.问：是否存在常数a、b,使得=0? 若存在,求出a,b的值；若不存在,请说明理由数学附加题 注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABDCEFO（第21A题）A选修41：（几何证明选讲）如图，AD是BAC的平分线，O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EFBCB选修42：(矩阵与变换) 已知a，bR，若矩阵M= 所对应的变换把直线l：2xy=3变换为自身，求a，b的值C选修44：(坐标系与参数方程) 将参数方程(t为参数)化为普通方程D选修45：(不等式选讲)已知a，b是正数，求证(a)(2b)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E(X)；（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E(X)的概率ABCA1B1C1D（第23题）23在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ACBCAA12，D为侧棱AA1的中点（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；（2）求二面角B1DCC1的平面角的余弦值参考答案一、填空题1、x|-1x2 2、 3、80 4、 5、 6、7、 8、 9、(0, 10、 11、4 12、 13、 14、(-1,-1) (-1,3)A1B1C1ABCD1DEF第15题二、解答题：（本大题共6个小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15、(本小题满分14分)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, A1C1B1D1,E,F分别是AB, BC的中点.()求证：EF平面A1BC1；()求证：平面D1DBB1平面A1BC1.15解：（）连接AC，则ACA1C1，而E, F分别是AB, BC的中点，所以EFAC，则EFA1C1，又平面A1BC1，EF平面A1BC1故EF平面A1BC17分（）因为BB1平面A1B1C1D1, A1C1平面A1B1C1D1所以BB1A1C1，又A1C1B1D1，BB1 B1D1= B1, BB1 ,B1D1平面D1DBB1则A1C1平面D1DBB1 12分又平面A1BC1，所以平面D1DBB1平面A1BC114分16(本小题满分14分) 在ABC中，点M是BC的中点，AMC的三边长是连续三个正整数，tanCtanBAM=1(1)判断ABC的形状；BAMC(2)求BAC的余弦值。答案：（I）设则由tanCtanBAM=1得1分ABM中，由正弦定理得同理得3分6分即当时，与AMC的三边长是连续三个正整数矛盾， ，ABC是等腰三角形。8分 （II）在直角AMC中，设两直角边分别为由得n=4，10分由余弦定理或二倍角公式得或14分17(本小题满分14分)在数列an中, a1=1, an+1=1, bn=,其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式an；(2)若数列cn满足：bn= (-1)n (nN*),求数列cn的通项公式；解：（1）证明：数列bn是等差数列3分 5分由 7分(2) (nN*),(n2),10分 -得：(n2),(n2), 12分当时，c1=6满足上式(nN*)14分18(本小题满分16分)已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且圆C在点P处的切线的斜率为1.（1）试求圆C的方程；（2）若点A、B是圆C上不同的两点，且满足=，试求直线AB的斜率；若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在y轴上的截距的范围。18.（1）设圆方程为，则圆心，且PC的斜率为-12分所以5分解得，所以圆方程为7分（2）=，所以AB斜率为110分设直线AB方程为，代入圆C方程得设，则原点O在以AB为直径的圆的内部，即14分整理得，16分19(本题满分16分) 如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(RtFHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，记BHE=.（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域；（2）若sin+cos=，求此时管道的长度L；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.解：（1）EH=，FH= 2分 EF= 4分由于BE=10tan10, AF=10 故tan,5分L=+，,.6分(2) sin+cos=时，sincos=,8分L=20(+1);10分(3)L=+=10() 设sin+cos=t 则sincos=12分由于,，所以t=sin+cos=sin(+), 14分L=在, 内单调递减，于是当t=时，即=,=时L的最大值20(+1)米. 15分答：当=或=时所铺设的管道最短，为20(+1)米.16分20(本题满分16分)已知函数f(x)=x(xa)(xb),点A(m, f(m)，B(n, f(n)(1)设b= a,求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的导函数f(x)满足：当|x|l时，有| f(x)|恒成立，求函数f(x)的表达式；(3)若0ab,函数f(x)在x=m和x=n处取得极值,且a+b2.问：是否存在常数a、b,使得=0? 若存在,求出a,b的值；若不存在,请说明理由20.（1） 令， 得：，2分当时， （表可删）所求单调增区间是， 单调减区间是（，）当时，所求单调增区间是， 单调减区间是（，）当时， 所求单调增区间是5分（2） 当时，恒有 8分即得此时，满足当时恒成立10分（3）存在,使得=0 若=0，即由于，知 由题设，是的两根 ， 12分代入得：，14分当且仅当时取“” 又， ， 16分附加题参考答案及评分标准 21A选修41：几何证明选讲证明：如图，连结DF因为BC与圆相切，ABDCEFO所以CDFDAF4分因为EFD与EAD为弧DE所对的圆周角，所以EFDEAD又因为AD是BAC的平分线，故EADDAF 8分所以CDFEFD，所以EFBC 10分B选修42：矩阵与变换解：（方法一）在直线l上取两点(，0)，(0，3)因为 ， ，6分因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(，b)，(3a，9)仍在直线l上代入直线方程得解得 10分（方法二）设(x，y)为直线l上任意一点，则 ， 3分因为M对应的变换把直线变换为自身，所以点(xay，bx3y)仍在直线l上，代入直线方程得：2(xay)(bx3y)3， 7分化简得(2b)x(2a3)y3，又直线l：2xy3，所以解得 10分C选修44：坐标系与参数方程解：（方法一） 因为(t)2(t)24， 5分 所以()2()24 8分 化简得普通方程为1 10分 （方法二） 因为，所以t， 5分 相乘得1 8分化简得普通方程为1 10分D选修45：不等式选讲证明：（方法一） 因为a，b是正数，利用均值不等式， (a)(2b)2ab2 5分 (2ab)2所以 (a)(2b) 10分 （方法二） 因为a，b是正数，利用柯西不等式，(a)(2b)()2()2()2()2 5分 ()2()2所以(a)(2b) 10分22解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7随机变量X的概率分布为X34567P3分因此X的数学期望E(X)(3467)55 5分（2）记“一次操作所计分数X不大于E(X)”的事件记为C，则P(C)P(“X3”或“X4”或“X5”) 7分设四次操作中事件C发生次数为Y，则YB(4，) 则所求事件的概率为P(Y2)1C()3C()4. 10分23解：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系Cxyz则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），