高一英才数学第二讲三角函数线与三角恒等式.doc

2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）三角函数线与同角三角比关系一、基础复习练习1若角的终边与168角的终边相同，则在0360内终边与角的终边相同的角的集合为_2已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_3如果一扇形的圆心角为120，半径等于 10 cm，则扇形的面积为_4、若扇形所在的圆的半径是R，且扇形的周长为一定值c(c0),当圆心角为多少弧度时，扇形的面积最大？二、任意角三角比1.任意角三角比的定义：设角a是一个任意角，将角a置于平面直角坐标系中，角a的顶点与原点O重合，a的始边与x轴的正半轴重合，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）,有点P到原点的距离 ：则我们规定：注意：三角比有意义的角的取值范围。2.三角比的符号：（为了方便记忆，可以归纳为一个图） 即：一全二正弦,三切四余弦3.三角比的取值范围：例1. 等于（ ）A. B. C. D. 例2、已知R，化简：的结果组成的集合是 .例3点P从(1,0)出发，沿圆心在原点的单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_练习. 已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）A. B. C. D. 例4设角属于第二象限，且，则角属于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限练习设为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是_tansincoscos2例5、已知角的终边上的一点P的坐标为(，y)(y0)，且siny，求cos，tan的值练习已知角的终边过点P(a，|a|)，且a0，则sin的值为_例6设角的终边经过点P(6a，8a)(a0)，则sincos的值是_例7（1）已知点P(sin，cos)落在角的终边上，且0,2)，则的值为_（2）已知角的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线ykx上，若sin，且cos1，则在第几象限？（2）若sin+cos-1，则在第几象限？（3）若-1sin+cos1，则在哪些象限？（4）若sin+cos=1，则终边在哪？例10、若，试判断cos(sin) sin(cos)的符号。例11、角的终边上的点P与点A（a.b）关于x轴对称（ab0）,角的终边上的点Q与A点关于直线y=x对称，求sinsec+tancot+seccsc的值。练习1、设是第二象限角，试比较的大小。练习2(2015年浦东新区高三一模)设函数（）.（1）设且，试比较与的大小；（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.对任意都有成立；对任意都有成立；若关于的不等式在有解，则的取值范围是.四、任意角的三角比转化为0的三角比来求1、解决问题的关键：因为角的六个三角比只与的终边有关，所以当两个角的终边的位置相同时，这两个角的同名三角比是相等的。2、 解决问题-诱导公式一：， 。其中。3 应用例12、判断下列角的正弦，余弦、正切和余切值的符号。（1）495；（2）。练习. 给出下列各函数值：；tan(-10)；. 其中符号为负的有（ ）A. B. C. D. 例13、根据下列条件确定是第几象限的角：（1）sin0；（2）sincos0。练 1 根据下列条件确定是第几象限的角：（1）coscot0；（2）0。练 2 已知是第三象限角，（1）若，试确定的终边位置；（2）若cos20，试确定2的终边位置。例14、求下列各三角比：（1）sin1470；（2）cos()；（3）tan。五、同角三角比的关系 1回忆六个三角比的定义设P是角终边上一点，那么(指以下各式都有意义的)。2、同角三角比的三种关系八个关系式(1)倒数关系：。sincoscottansec1csc(2)商的关系：。(3)平方关系：。这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。可以用右图表示出来。 3各关系式成立的条件 (1)上述八个关系式中，只有是绝对恒等式，其余七个关系式只当的取值使关系式的两边都有意义时才能成立使三角比有意义的的取值在上节已经学过，对七个关系式中的每一个等式，分别只有一个限制条件如关系式从等式左边看有；从等式右边看有，就是所以这个关系式的限制条件只一个：今后用到这八个关系式时，所需的限制条件都不再另加说明 (2)各个关系式中出现的三角比不同，但是角都是同角，所以称为同角三角比关系式 (3）由定义给出的六个三角比是相互独立的，同角三角比的八个关系式反映了它们之间的内在联系和规律这八个关系式中，三个倒数关系及是最基本的，其余三个可以由这五个公式推导出来 （4）同角三角比的基本关系式是三角恒等变形的重要公式之一，应该熟练掌握和运用4、应用一：知道角的一个三角比，求角的其他三角比例15、已知，且在第四象限，求角的其他三角比的值。例16 、已知，求和。练习、已知，求。例17、已知角的终边不在坐标轴上，求的值。例18、已知sin+cos=，求下列各式的值。（1）sincos；（2）sin-cos；练习1、已知sin+cos=，求下列各式的值。（1）tan+cot；（2）sec+csc；（3）sin3+cos3；（4）sin4+cos4。练习2：下列命题中的的取值能使有关三角比有意义，对正确的命题在圆括号画“” 对错误的画“” （ ）（2）如果在第二象限，则。 （ ）（3） （ ）（4） （ ）（5） （ ）（6） （ ）（7） （ ）（8） （ ） 2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）课后作业一 选择题。 1已知角的终边过点P ，则下列各式中正确的是（ ）A B C D 2下列各式中正确的是（ ）A B C D 3下列命题中正确的是（ ）A 角与2k+（kZ）是相等的角 B 钝角是第二象限角C 小于90的角是锐角 D 钝角的补角是第一象限角4把1485化成2k+（ kZ）的形式是（ ）A B C D 5已知圆的半每径为1，弧长为3.2的圆弧所对的圆心角的弧度数是（ ）A 3.2 B 3.2 C 6.4 D 6.46点P 是角终边上的一点，且 ，则b的值是（ ）A 3 B C 3 D 57在ABC中，若最大的一个角的正弦值是 ，则ABC是（ ）A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形8若是第四象限角，则 是（ ）A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角9已知 ，则是（ ）A 第一象限角 B 第一或第二象限角 C 第三象限角 D 第二或第三象限角二填空题。1 与 终边相同的最小正角是_；与75终边相同的角的集合是_。2 15=_弧度； =_度。3 时钟的分针走了1小时10分，它所转过的角度是_度，是_弧度。4 填入不等号：（1） ；（2） ；（3） ；（5） 。5 角的终边经过点P ，则（1） ；（2） 。6 函数 的图象过点 ，则当 时，x的取值范围是_。7 已知与50的终边相同，且 ，则是_。8 函数 的定义域是_。9 。10 是角终边上的一点，且 。三解答题。1 已知角的终边落在第一和第三象限的角平分线上，求的六个三角函数值。2 一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长和扇形的面积。老师讲义2015年冬季高一英才数学第二讲（20150202）三角函数线与同角三角比关系一、基础复习练习1若角的终边与168角的终边相同，则在0360内终边与角的终边相同的角的集合为_答案：56，176，2962已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_答案：1或4；解析：设扇形的圆心角为 rad，半径为R，则，解得1或4.3如果一扇形的圆心角为120，半径等于 10 cm，则扇形的面积为_答案： cm2解析：S|r2100(cm2)4、若扇形所在的圆的半径是R，且扇形的周长为一定值c(c0),当圆心角为多少弧度时，扇形的面积最大？解析：2R+R=c,当且仅当R=c/4时“=”成立，即=2时“=”成立。二、任意角三角比1.任意角三角比的定义：设角a是一个任意角，将角a置于平面直角坐标系中，角a的顶点与原点O重合，a的始边与x轴的正半轴重合，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）,有点P到原点的距离 ：则我们规定：注意：三角比有意义的角的取值范围。2.三角比的符号：（为了方便记忆，可以归纳为一个图） 即：一全二正弦,三切四余弦3.三角比的取值范围：例1. 等于（ B ）A. B. C. D. 例2、已知R，化简：的结果组成的集合是 .答案：-2，0，4。例3点P从(1,0)出发，沿圆心在原点的单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_解析：由于点P从(1,0)出发，顺时针方向运动弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(cos，sin)，即Q(，)答案：(，)练习. 已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ A ）A. B. C. D. 例4设角属于第二象限，且，则角属于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限答案：C；解析： 当时，在第一象限；当时，在第三象限；而，在第三象限；练习设为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是_tansincoscos2解析：为第四象限角，则为第二、四象限角，因此tan0时，点P(a，a)在第一象限，sin；当a0，cos0知角在第四象限，tan1，0,2)，.答案：（2）已知角的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线ykx上，若sin，且cos0，cos0.x0，rx，且k0.sin，又sin.，k2.答案：2练习、(1)角的终边上一点P(4t，3t)(t0)，求2sincos的值；(2)已知角的终边在直线yx上，用三角函数定义求sin的值解：(1)根据题意，有x4t，y3t，所以r5|t|，当t0时，r5t，sin，cos，所以2sincos.当t0时，r5t，sin，cos，所以2sincos.(2)设P(a，a)(a0)是角终边yx上一点，若a0，则是第三象限角，r2a，此时sin；若a0，则是第一象限角，r2a，此时sin.三、三角函数线1、 有向线段：如果线段MN的方向与坐标轴的正方向一致，就规定这条线段是正的，否则，就规定它是负的如图621中的MN5，NM一5，PQ3，QP一3 图62-1 2、三角比的几何表示三角函数线，如图62-2，设任意角的顶点O，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点过P作轴的垂线，垂足为M；过A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴(为什么?)设它与角的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二，三象限时)相交于点T. 图62-2显然，线段OM，线段MP=y。于是，根据正弦、余弦函数的定义有。 这两条与单位圆有关的有向线段MP，OM分别叫角的正弦线、余弦线 类似地，我们把AT看作有向线段，根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有 称有向线段AT为的正切线，AT在x轴上方为正，在轴下方为负当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在y轴上，余弦线变成一个点，正切线不存在我们把这三条与单位圆有关的线段MP、OM、AT通称为角三角函数线。3、应用例8、（1）设为锐角，证明：。（2）设(0,/2),比较cot，-，cos的大小。（3）设为锐角，证明：。证明（1）如图62-3中，设单位圆与角的终边交于P，与轴交于A。过P作PMOA，与M，过A作AT/轴与OP交于T，利用三角函数线：，又，即。 图62-3（2）令=-，则（0，），cot=tan(-)=tan，cos=sin(-)=sin，由（1）：sintan，得cos-1，则在第几象限？（2）若sin+cos-1，则在第几象限？（3）若-1sin+cos1，则在哪些象限？（4）若sin+cos=1，则终边在哪？解：（1）结合三角函数线，知在第一象限。（2）结合三角函数线，知在第三象限。（3）结合三角函数线，知在第二、四象限。（4）在坐标轴上。设问：倒过来是否成立？（成立）例10、若，试判断cos(sin) sin(cos)的符号。解析：QII或QIV；若QII，0sin1/2, -/2-1cos0, sin(cos)0cos(sin) sin(cos)0;若QIV，-/2-1sin0,0cos10, sin(cos)0cos(sin) sin(cos)0;例11、角的终边上的点P与点A（a.b）关于x轴对称（ab0）,角的终边上的点Q与A点关于直线y=x对称，求sinsec+tancot+seccsc的值。解析：P(a,-b),Q(b,a).设，则。练习、设是第二象限角，试比较的大小。解析：是第二象限角，当k=2n时为第一象限角，当k=2n+1时为第三象限角，练习(2015年浦东新区高三一模)设函数（）.（1）设且，试比较与的大小；（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.对任意都有成立；对任意都有成立；若关于的不等式在有解，则的取值范围是.解：（1）方法一（作商比较）：显然，于是. 1分因为.2分又.3分所以.即.4分方法二（作差比较）：因为.1分又.2分 . 即.4分（2）结论正确，因.6分结论错误，举反例: 设.（利用计算器）等8分（， 均可）.结论正确，由知在区间上是减函数.所以，又，所以的值域为.要使不等式在有解，只要即可.10分四、任意角的三角比转化为0的三角比来求1、解决问题的关键：因为角的六个三角比只与的终边有关，所以当两个角的终边的位置相同时，这两个角的同名三角比是相等的。3、 解决问题-诱导公式一：， 。其中。4 应用例12、判断下列角的正弦，余弦、正切和余切值的符号。（1）495；（2）。解：（1）495=360+135，此角为第二象限的角。sin4950，cos4950，tan4950，cot4950。（2），此角为第三象限的角。sin()0，cos()0，cot()0。本题可结合三角函数线解决，以巩固三角函数线与函数符号之间的联系。练习. 给出下列各函数值：；tan(-10)；. 其中符号为负的有（ ）A. B. C. D. 答案：C ； ；例13、根据下列条件确定是第几象限的角：（1）sin0；（2）sincos0。解：（1）因为sin0，所以是第一象限的角或第三象限的角，于是是第三象限的角。（2）因为sincos0，所以有sin0且cos0或sin0且cos0且cos0，可知角是第一象限的角；由sin0且cos0，可知角是第三象限的角。于是是第一象限的角或第三象限的角。练 1 根据下列条件确定是第几象限的角：（1）coscot0；（2）0。解：（1）因为cos和cot异号，所以是第三或第四象限的角。（2），所以tan与sin异号，所以在第二、三象限。coscot0，所以cos与cot同号，所以在第一、二象限，所以是第二象限的角。练 2 已知是第三象限角，（1）若，试确定的终边位置；（2）若cos20，试确定2的终边位置。解：是第三象限角，(2k-，2k-)（kZ），(k-，k-)（kZ），（1）当k为偶数时，设k=2n，则(2n-，2n-)（nZ），此时在第四象限，sec0；当k为奇数时，设k=2n+1，则(2n+，2n+)（nZ），此时在第二象限，sec0；所以在第二象限且(2n+，2n+)（nZ）。（2）（略，由学生完成）。例14、求下列各三角比：（1）sin1470；（2）cos()；（3）tan。解：（1）sin1470=sin(4360+30)=sin30=0.5；（2）cos()=cos(-4)=cos=；（3）tan=tan(8+)=tan=。五、同角三角比的关系 1回忆六个三角比的定义设P是角终边上一点，那么(指以下各式都有意义的)。2、同角三角比的三种关系八个关系式(1)倒数关系：。sincoscottansec1csc(2)商的关系：。(3)平方关系：。这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。可以用右图表示出来。 3各关系式成立的条件 (1)上述八个关系式中，只有是绝对恒等式，其余七个关系式只当的取值使关系式的两边都有意义时才能成立使三角比有意义的的取值在上节已经学过，对七个关系式中的每一个等式，分别只有一个限制条件如关系式从等式左边看有；从等式右边看有，就是所以这个关系式的限制条件只一个：今后用到这八个关系式时，所需的限制条件都不再另加说明 (2)各个关系式中出现的三角比不同，但是角都是同角，所以称为同角三角比关系式 (3）由定义给出的六个三角比是相互独立的，同角三角比的八个关系式反映了它们之间的内在联系和规律这八个关系式中，三个倒数关系及是最基本的，其余三个可以由这五个公式推导出来 （4）同角三角比的基本关系式是三角恒等变形的重要公式之一，应该熟练掌握和运用4、应用一：知道角的一个三角比，求角的其他三角比例15、已知，且在第四象限，求角的其他三角比的值。分析：学习了已知角的一个三角比及所在的象限，求其他五个三角比的值，需要利用公式求，求sin据代数运算意义，sin两个互为相反数的平方根，再由条件在第四象限，确定sin只取一个负根解：由可得，因为在第四象限，所以sin0,于是有，例16 、已知，求和。分析：仅知道角的一个三角比这个条件，因此它求得的每一个三角比都有符号相反的两个值解：，因为，所以在第一象限或在第三象限。 当在第一象限时，有且，所以 当在第三象限时，有且，所以练习、已知，求。分析：仅知道角的一个三角比这个条件，因此它求得的每一个三角比都有符号相反的两个值解：，因为，所以在第二象限或在第四象限当在第二象限时，有 当在第四象限时，有且，所以。例17、已知角的终边不在坐标轴上，求的值。分析：根据角的一个三角比，去求它的其他三角比时，如果知道它所在的象限，则其他三角比可以惟一确定；如果它所在的象限不确定，则应根据它的终边的所有可能的情况分别求出其他的三角比。 一般地，若已知sin，先求cos；已知cos，先求sin；已知tan，先求sec；已知cot，先求csc即先用平方关系，然后由商数关系和倒数关系就很容易求出其余三角比的值注意根号前正负号的选取解：（1） 当为第一象限或第四象限角时，得。（2） 当为第二象限或第三象限角时，得。例18、已知sin+cos=，求下列各式的值。（1）sincos；（2）sin-cos；解：（1）(sin+cos)2=，即1+2sincos=，可得sincos=。（2）(sin-cos)2=1-2sincos=，sin-cos=。练习1、已知sin+cos=，求下列各式的值。（1）tan+cot；（2）sec+csc；（3）sin3+cos3；（4）sin4+cos4。解：（1）tan+cot=-4。（2）sec+csc=。（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2+cos2-sincos)=。（4）sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=。练习2：下列命题中的的取值能使有关三角比有意义，对正确的命题在圆括号画“” 对错误的画“” （ ）（2）如果在第二象限，则。 （ ）（3） （ ）（4） （ ）（5） （ ）（6） （ ）（7） （ ）（8） （ ） 解：5、应用二：化简三角比式例19 已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）的值。解：（1）（2）。（3）=说明：（3）我们采用了“无中生有”法。例20 化简。例22 当，化简。例23、已知，若是第二象限角，则实数a= 1/9 .解析：(舍).例24、若，则m和n就满足的关系式是( B ).A.m2=n B. C. D. 答案：B；解析：.练习、已知且，则 .答案：.例25、已知，求的最大值.答案：当且仅当例26、设是第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sin、cos是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根？若存在，请求出实数m；若不存在，请说明理由。解析：(舍去)当m=2时=9m2-16m-8=-40,故这样的m不存在。练习、设(0,2)，而sin、cos是关于x的方程x2-kx+k+1=0的两个根，求k和值.解析：k2-2k-3=0k=3(舍去)或k=-1, 6、应用三证明三角恒等式 例9、证明下列恒等式分析：在证明三角恒等式时，都是按由繁到简的原则，利用化简的方法达到证明的目的，其第(1)题因为左边较繁，所以对左边化简得到右边，同时又告诉我们化简的另一标准是结果尽量化成积的形式第(2)题是当求证式两边都比较繁时，就分别从两边化简得到同样的积的结果，从而“左右” （2）利用“求差法”证明：由于要使分子、分母共同参与运算，因此利用“求差法”即“左一右=o”