高中物理竞赛辅导讲义-第8篇-稳恒电流.pdf

1 高中物理竞赛辅导讲义 第 8 篇 稳恒电流 知识梳理 一 基尔霍夫定律 适用于任何复杂电路 1 基尔霍夫第一定律 节点电流定律 流入电路任一节点 三条以上支路汇合点 的电流强度之和等于流出该节点的电流强 度之和 即 I 0 若某复杂电路有 n 个节点 但只有 n 1 个独立的方程式 2 基尔霍夫第二定律 回路电压定律 对于电路中任一回路 沿回路环绕一周 电势降落的代数和为零 即 U 0 若某复杂电路有 m 个独立回路 就可写出 m 个独立方程式 二 等效电源定理 1 等效电压源定理 戴维宁定理 两端有源网络可以等效于一个电压源 其电动势等于网络的开路端电压 其内阻等于 从网络两端看除源 将电动势短路 内阻仍保留在网络中 网络的电阻 2 等效电流源定理 诺尔顿定理 两端有源网络可等效于一个电流源 电流源的电流 I0等于网络两端短路时流经两端点 的电流 内阻等于从网络两端看除源网络的电阻 三 叠加原理 若电路中有多个电源 则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时 在 该支路产生的电流之和 代数和 四 Y 电路的等效代换 如图所示的 a b 分别为 Y 网络和 网络 两个网络中的 6 个电阻满足一定关系 时完全等效 1 Y 网络变换为 网络 122331 12 3 R RR RR R R R 122331 23 1 R RR RR R R R 122331 31 2 R RR RR R R R 2 网络变换为 Y 网络 1231 1 122331 R R R RRR 2312 2 122331 R R R RRR 3123 3 122331 R R R RRR 2 五 电流强度与电流密度 1 电流强度 1 定义式 q I t 2 宏观决定式 U I R 3 微观决定式 IneSv 2 电流密度 在通常的电路问题中 流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了 但在讨论大块 导体中电流的流动情况时 用电流强度描述就过于粗糙了 这是因为电流在截面上将会有 一个强弱不同的分布 而且各点的电流方向可能并不一致 为了 精细 地描述导体中各 点电流的大小和方向 引入电流密度 记为 j 电流密度是一个矢量 1 电流密度大小 I j S S 是垂直电流方向的面积 2 电流密度方向 在导体中各点 电流密度方向与该点电流的方向相同 六 电阻定律与欧姆定律 1 电阻定律 L R S 电阻率 与导体材料和温度有关 与导体的形状尺寸无关 在温度变化范围不大时 电阻率与温度间存在线性关系 0 1 t 其中 0是 0 时的电阻率 是 t 时的电阻率 是电阻率温度系数 在一段不大 的温度间隔内可视为常量 实验得 金属导体 0 碳 0 2 欧姆定律 U I R 欧姆定律描述一段长度和截面积均为有限大小的导体的导电规律 它被广泛应用于直 流电路和交流电路的分析之中 然而 在某些情况下 这种描述显得过于粗糙 需要逐点 分析电流密度 j 和电场强度 E 的关系 对于各向同性导体 这个关系可以从上式导出 设想在载有稳恒电流的各向同性导体内取一长度为 l 垂直截面积为 S 的小电流管 只要 l 和 S 足够小 就可以忽略垂直截面积 S 沿电流管的微小变化 与此同时 只要 电流管足够小 管内的电流场和导体元均可近似视为均匀的 U I R Ij S UE l ll R SS 式中 1 称为电导率 由以上各式得到 jE 上式称为欧姆定律的微分形式 七 物质的导电性 1 金属的导电性 2 液体的导电性 3 法拉第电解第一定律法拉第电解第一定律 电解质导电时 在极板处析出物质的质量 m 与通电时间 t 和电 流强度 I 成正比 或者说与通过电解液的电量 q 成正比 即 m KIt Kq 式中 K 是比例恒量 称为电化当量电化当量 单位是 kg C 即通过 1 库仑电量时极板处析出的 物质的质量 K 值大小与被析出物质种类有关 可根据 m K It 由实验测定 法拉第电解第二定律法拉第电解第二定律 物质的电化当量 K 跟它的化学当量 M n 成正比 即 M K Fn 式中 F 称为法拉第恒量法拉第恒量 对任何物质都相同 实验测得 F 9 65 104 C mol M 为该 物质的摩尔质量 n 为化合价 联立两条定律的表达式 得到 M mq Fn 当 M m n 时 F q 所以 法拉第恒量可以理解为 析出物质的数值等于化学当时 需要通过电解质的电量 3 气体的导电性 4 真空中的电流 5 半导体导电 6 超导现象简介 例题选讲 1 如图所示的电路中 已知电源电动势 E1 3 0V E2 1 0V 内阻 r1 0 50 r2 1 0 电 阻 R1 4 5 R2 10 0 R3 19 0 R4 5 0 求电路中三条支路上的电流强度 2 如图所示的电路中 已知电源电动势 E 1 5V 电源内阻 r 0 1 电阻 R1 1 R2 1 6 R3 R5 2 R4 1 2 试求总电流及各分支电流 E1 E2 R4 R2 R1 R3 r2 r1 E r R1 R2 R4 R3 R5 4 3 如图所示电器中 E1 4 0V E2 1 0V R1 10 R2 20 R3 30 电源内阻不计 电 容 C 500 F 求电容 C 电荷量 4 正四面体 ABCD 每条边的电阻均为 R 取一条边的两个顶点 如图中 A B 问整个 四面体的等效电阻 RAB为多少 5 如图所示的电路中 12 个相同的电阻阻值均为 R 试求 a b 两端的等效电阻 Rab为多 少 6 有 7 根电阻均为 R 的电阻丝 连成如图所示的电阻网络 试求 A B 两点之间的等效 电阻 R R R R R R R A B A B D C a b c d e f j h i E1 E2 R2 R1 R3 C 5 7 如图所示的有限网络电路中 除最后一只电阻为 Rx外 其余电阻阻值都是 R 那么要 使 A B 两点间的等效电阻与网络级数 n 无关 Rx为多大 8 如图所示的无限网络 R0 3R 其他每根电阻丝均为 R 求 A B 间的电阻 RAB 9 用均匀电阻线作成的正方形回路 由九个相同的小正方形组成 小正方形每边的电阻 均为 R 1 在 A B 两点间接入电池 其电动势 E 内阻可忽略 求流过电池的电流强度 2 若用导线 不计导线电阻 连接 C D 两点 求通过此导线的电流 10 一无限平面导体网络 它由相同的正方形网眼组成 如图所示 所有正方形的每边均 为阻值等于 R 的电阻丝 1 求结点 A B 间的电阻 2 若仅将 A B 间的一根电阻丝换成阻值为 3R 的电阻 则 A B 间的电阻为多大 A B R R R R R R R R R R Rx n A B R0 A B C D A B 6 11 有一无限平面导体网络 它由大小相同的正六边形网眼组成 如图所示 所有六边形 每边的电阻均为 r 求结点 a b 间的电阻 Rab 12 一根均匀导线的电阻为 1000 允许通过的最大电流为 1A 在电网电压为 220V 时 如何利用这根导线做成一个功率尽可能大的电热器 并求出最大功率 13 由 6 个未必相同的电阻和电压 U 10V 的直流恒压电源构成的电路如图 a 所示 其 中电源输出电流 I0 3A 若如图 b 所示 在电源右侧并联一个电阻 电阻记为 Rx 则 电源输出电流 I 5A 今将此电源与电阻 Rx串联后 改接在 C D 两点右侧 如图 c 所 示 试求电源输出电流 I A B C D U Rx A B C D U I0 I0 A B C D U Rx I I a b c a b c 7 14 如图所示电路 电源内阻不计 1 求流过电阻 R 的电流 I I 的方向如何由 R1和 R2的相对大小而定 2 设 R1 R R2 R1 R R 写出 I 的近似式 精确到小量 R R 的一次方 15 电阻丝无穷网络如图所示 每两个结点之间的电阻丝的电阻都是 r 试求 A B 两点 之间的等效电阻 RAB 16 设在桌面上的固定孤立接线柱数为 1 4 个 2 5 个 3 n 个 任意两个接线柱间均接入电阻值同为 r 的电阻 求接线柱 1 和 2 间的等效电阻为多大 R1 R2 R2 R1 R U r r r r r r A B r r r r r r r r r 8 17 三只相同的金属圆圈 两两正交地连成如图所示的形状 若每一只金属圈原长的电阻 为 R 试求图中 A B 两点间的等效电阻 RAB 18 如图所示 12 个阻值都是 R 的电阻 组成一立方体框架 试求 AC 间的电阻 RAC AB 间的电阻 RAB与 AG 间的电阻 RAG A B A B C D E F G H 9 19 田字形电阻丝网络如图所示 每小段电阻丝的电阻均为 R 试求网络中 A B 两点间 的等效电阻 RAB 20 如图所示 一个原来用 12 根相同的电阻丝构成的立方体框架 每根电阻丝的电阻均 为 r 现将其中一根拆去 求 A B 两点间的电阻 RAB A B a b B A d c C D 10 21 如图所示是一个无限大导体网络 它由无数个大小相同的正三角形网眼构成 小三角 形每边的电阻均为 r 求把该网络中相邻的 A B 两点接入电路中时 AB 间的电阻 RAB 22 由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列 n 1 时 正方形网络边 长为 L n 2 时 小正方形网络的边长为 L 3 n 3 时 最小正方形网络的边长为 L 9 当 n 1 2 3 时 各网络上 A B 两点间的电阻分别为多少 A B L A B A A B B n 1 n 2 n 3 11 23 如图所示的无限旋转内接正三角形金属丝网络是由一种粗细一致 材料均匀的金属丝 构成 其中每一个内接正三角形的顶点都在外侧正三角形三边中点上 已知最外侧三角形 边长为 l 单位长度金属丝的电阻为 r0 求网络中 AB 间的电阻 RAB 24 如图所示的平面电阻丝网络中 每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为 r 试求 A B 两点间的等效电阻 B A A B 12 25 半径为 R 的薄壁球形导体 球心在 O 点 球面上有三点 A B 和 C 三条球半径 OA OB 和 OC 相互垂直 球面上 A B 两点连有细导线 并由这两根细导线接至电源 已知通 过电源的电流 I0进入球面 A 点 再由球面 B 点流出 如图所示 求 C 点处的电流密度 在 球面上垂直于电流方向单位长度线段上流过的电流 26 如图所示 一长为 L 的圆台形均匀导体 两底面半径分别为 a 和 b 电阻率为 试 求它的两个底面之间的电阻 27 一铜圆柱体半径为 a 长为 l 外面套一个与它共轴且等长的铜筒 筒的内半径为 b 在柱与筒之间充满电阻率为 的均匀物质 如图所示 求柱与筒之间的电阻 L a b l a b O B A I0 I0 C 13 28 将两相同截面积的碳棒和铁棒串联起来 复合棒的总电阻不随温度变化 问这两棒的 长度之比为多少 已知 0 时碳的电阻率为 3 5 10 5 m 铁的电阻率为 8 9 10 8 m 碳 的电阻温度系数为 5 10 4 铁的电阻温度系数为 5 10 3 29 用万用表欧姆挡在室温 20 下测量一只 220V 15W 白炽灯的钨丝电阻约为 300 冷电阻 已知钨的电阻率温度系数为 4 5 10 3 试估算这只灯泡在点亮时灯丝 的温度 30 电线被风吹断 一端触及地面 从而使 200A 的电流由接触点流入地内 如图所示 设地面水平 土地的电导率 10 2S m 西门子 米 一个人从远处走近输电线接地端 定义左 右两脚间 约 0 6m 的电压为跨步电压 试求距离高压线触地点 1m 和 10m 处的 跨步电压 I 14 31 在封口的毛细管内有两段水银柱 它们被一小滴 HgI2电解质溶液隔开 如图所示 毛 细管的内径 d 0 3mm 管子与电阻 R 390k 的电阻器串联 再接到电动势 E 10V 的电池 上 试问经过多少时间液滴沿标尺移动一个刻度 32 如图所示 电源电动势 E1 6V E2 3V 内阻 r1 2 r2 1 D 为理想二极管 R 为 可变电阻 画出 R 两端电压随电流变化的函数曲线 伏安曲线 并求出 R 上消耗的最大 功率 33 如图 a 所示 电阻 R1 R2 1k 电动势 E 6V 两个相同的二极管 D 串联在电路中 二极管的 ID UD特性曲线如图 b 所示 试求 1 通过二极管的电流 2 电阻 R1消耗的功率 R 1cm E E1 E2 r2 r1 D A B R 1 E R2 D D R1 UD V ID mA 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 15 34 如图所示 6 个相同的伏特表相互连接 并与电压恒定的电源相连 有一个伏特表的 电压示数为 Ux 6V 其余伏特表的示数各是多少 35 在如图所示的网络中 仅知道部分支路上电流值及其方向 某些元件参数和支路交点 的电势值已标在图上 请利用所给的有关数