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高二数学奥赛讲义一、整除1. 整数的简单性质（1）素数与合数；仅有1和它本身这两个正因数且大于1的整数叫素数（或质数），一个正整数除1和它本身以外，还有其他正因数的数叫做合数，1既不是素数也不是合数.正整数=1素数合数.（2）互素；如果两个整数与没有共同的素因数，则称与互素，记为（，）=1.（3）设a为大于1的整数，则a的大于1的最小因数一定是素数.（4）设a为大于1的整数，若对所有不大于的素数，有？（表示a不被整除），则a是素数.2.整数的奇偶性（1）能被2整除的数称偶数，可表示为的形式；不能被2整除的数称为奇数，可表示为的形式.（2）奇数与偶数的性质：奇数偶数；奇数个奇数之和为奇数，偶数个奇数之和这偶数，奇数加偶数为奇数，偶数加偶数为偶数；两数和与两数差的奇偶性相同；积为奇数的充要条件是各个因数均为奇数；偶数与任何整数的乘积都为偶数；个偶数的积为的倍数.3. 带余除法若是两个整数，则一定有且只有两个整数，使得成立. 时，称整除，记作.（1）若两个整数与被除的余数相同，则，则与被除的余数相同；（2）n个连续整数中有且仅有一个是n的倍数；（3）设b是整数，则任意个整数中，至少有两个数被b除的余数相同.4. 整除的性质设为的最大公因数，记为的最小公倍数，记为，整除有以下性质；（1）若；（2）若；（3）若（4）若（5）若（6）若（7）若；（8）若则；（9）若且是的公因数，则（10）；（11）；（12）若为素数，例1.证明：对于任何自然数,数都不能分解成若干个连续的正整数之积.例2. 设是1，2，7的一个排列，求证： 必是偶数.例3. 若三个大于3的素数满足关系式例4. 试求出所有的正整数，其中的因数.例5. 设是正整数，能被24整除，求所有这样的的个数.二、同余定义设是一个给定的正整数，如果两个整数除所得的余数相同，则称对模同余，记为同余的基本性质（1）反身性：.（2）对称性：若，则.（3）传递性：若.（4）若（5）若（6）若.（7）若（8）若（9）若（10）完全平方数模4同余于0或1；模8同余于0，1或4；模3同余于0或1；模5同余于0，1或-1，完全立方数模9同余于0，1或-1，整数的四次方模16同余于0，1.例1. 求的个位数字是？例2.若，且都是完全平方数，那么必为40的倍数.例3. 设具有下列两条性质；（1）对任何恒有（2）.证明：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数字的平方和为一个定值.例4. 写出所有的由3个素数组成公差为8的等差数列.三、抽屉原理抽屉原理又称为鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法.定理1 把个元素分成n个集合，其中必有一个集合至少含有个元素.定理1还有无限形式，但不管是有限还是无限形式，我们考虑的总是元素多的集合，其实元素少的集合有时也很有用，所以抽屉原理还有另一种形式；定理2 把个元素分成n个集合，其中必有一个集合至多含有个元素.我们将从数论、集合、几何、三角不等式证明等来说明抽屉原理的应用.利用抽屉原理解题，关键是构造合适的抽屉.例1. 设为无理数.证明：对任意的正整数n，存在整数，满足例2. 求所有的正整数n，使得集合的任意35元子集至少存在两个不同的元素a.b满足例3. 设有六个点，每两点之间用红色或蓝色线段相连，且任意三点不共线，求证：总可以找到三个点，以这三点构成的三角形的三边涂有相同的颜色.例4. 在中，求证：变式：在中，求证：四、客斥原理客斥原理，又称为包容排斥原理或逐步淘汰原理.顾名思义，即先计算一个较大集合的元素的个数，再把多计算的那一部分去掉.它由英国数学家J.J.西尔维斯特首先创立.当是有限集合A的一个分划，即这时我们有这实际上是组合计数中的加法原理.但当时，又该如何计数呢？这就有下面的所谓的容斥原理.容斥原理设为集合A的有限子集，其元素个数分别为，则由集合知识，有从而容斥原理还有另一种表现形式容斥原理可用数学归纳法证明.对于n=2的情形，可以用组合恒等式证明中的“贡献法”来证明。所谓贡献法，就是要计算可以考虑所有元素对的贡献；如果，则x对的贡献为1，否则贡献为0，这样只要考虑每个元素对等式的左右两端的贡献是否相等.容斥原理是解决有限集合计数问题的重要原理之一，也常常用在重复组合、不定方程的解、错位排列、禁位排列等计数问题上.用容斥原理解决这些问题的关键是用集合语言或符号语言将所要解决的问题表示出来.例1. 用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成比20000大并且百位数不是3的没有重复数字的五位数的个数.例2. 从自然数列1，2，3，4，5，中依次划去3的倍数和4的倍数，但是其中凡是5的倍数均保留. 划完后剩下的数依次构成一个新的数列：求例3. 在一次数学演讲中，有5个数学家打瞌睡.每人恰好睡了两次.每两个人都在某时刻同时瞅着了. 求证：一定存在某个时刻有三个人同时睡着了.例4. 求满足的方程的整数解的个数.例5. 的一个错位排列是的一个排列，使得.用表示的错位排列的个数.证明：例6. 有8个孩子坐在旋转木马上，如果让他们交换位置，使得每一个孩子的前边都不是原来在他前面的那个孩子，问有多少种不同的方法？五、圆的有关定理圆中的相关知识主要有：1. 圆的对称性，垂径定理；2. 与圆有关的角；圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角.3. 切线的判定与性质；4. 圆幂定理；5. 正弦定理以及在其后几节中出现的许多定理.圆中的基本问题：1. 证明角相等或计算角度、弧长；2. 证明线段相等或线段成比例或计算线段长度、图形面积；3. 证明图形相似；4. 证明各个几何图形的位置关系（如共线，共点，共圆，平行，垂直等）.解决这些基本问题的常用方法，通常是：（1）可以通过证明三角形全等或相信；（2）可以利用圆周角、弦切角等与圆有关的角的关系进行转化；（3）可以利用圆幂定理；（4）转化为三角计算.例1. 如图27-1，设I为的内心，射线AI，BI，CI分别交的外接圆于点D，E，F，求证：例2. 如图27-2，过外一点P作的一条切线PC和一条割线PAB，已知这两条线均在PO的同一侧，Q为C在PO上的射影，求证：QC平分例3. 如图27-5，切正三角形ABC的边BC于点D，分别交边AB于点M，交边AC于点P，Q，求证：BD+AM+AN=CD+AP+AQ.例4. 如图27-6，P为外的一点，作的两条切线PA，PB与任一割线PCD，证明：（1） （2）例5. 如图27-13，与相交于A，B两点，的一条弦CD切于点E，且AE与切于点A，求证：.例6. 如图27-16，的两条弦AC，BD交于点K，设M，N分别为的外心，证明：四边形OMKN是平行四边形.例7. 如图27-18，半圆的直径为AB，C为OB上一点，过点C且垂直于AB的直线交半圆于点D，与半圆内切于点F，与CD切于点E，与CB切于点G. 证明为等腰三角形.例8. 如图27-19，中，D为BC中点，点M在边BC上，且满足，若的外接圆与AB的另一交点为K，的外接圆与边AC的另一交点为L，求证：六、共圆如果有四点或四个以上的点在同一个圆上，就是共圆问题.点共圆问题出现的形式一般有两种；一是以点共圆作为证题目的；二是以点共圆作为解题手段，即作出辅助圆来汇聚条件、揭露隐含、转化所证结论的作用.证明四点共圆的常用方法1. 注意圆的定义；证明几个点与某个定点距离相等；2. 如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；3. 证明凸四边形有一组对角互补（或外角等内对角）.4. 证明这四点可以满足圆幂定理（相交弦定理、割线定理、切割线定理的逆定理）.5. 其他方法共圆的作用；1.利用多点共圆找出角度或者是三角形边长之间的等量关系；（证角相等、垂直、线段相等）2.利用四点共圆证明多点共圆.例1. 如图28-1，设圆和圆相交于点M和P，圆的弦MA和圆相切于点M，圆的弦于圆相切于点M，在直线MP上截取PH=MP. 证明：M，A，H，B四点共圆.例2. 在锐角中，M，N分别是高线的中点，AM与，AN与分别交于点P，Q.证明：（1）M，N，P，Q四点共圆；（2）若B，C，P，Q四点共圆，则是等腰三角形.例3. 在ABC中，交AC于D，如图28-10，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足，M是AC中点，E是BC中点. 若的外接圆O与AC的另一个交点为H. 求证：O，H，E，M四点共圆.例4. 如图13，在圆内接中，AB=AC，经过A任作二弦AE，AQ且AE交直线BC于D，AQ交直线CB于P. 求证：P，Q，D，E四点共圆.例5. 如图28-17，给定凸四边形ABCD，P是平面上的动点，令.求证：当达到最小值时，P，A，B，C四点共圆.例6. 如图28-19，已知D，E，F分别是三边AB，BC，CA上的点，且AD=AF，BD=BE，DE=DF.设I是的内心，过点A作外接圆的切线与BI交于点K，若AK=AD，证明：AK=EK.例7. （九点圆定理）三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连结线段的中点，这九点共圆.已知：在中，H是垂心，L，M，N分别为BC，CA，AB的中点，D，E，F分别是三高之垂足，P，Q，R分别是AH，BH，CH的中点，求证：L，M，N，D，E，F，P，Q，R九点共圆.七、共线点与共点线（一）点共线共线，指的三个及以上的点在同一条直线上. 多点共线可化归为三点共线问题. 证明三点A、B、C共线的方法很多，常从以下几个方面考虑：1. 从角考虑：如图29-1，设B在线段XY上，证明（对顶角相等的逆定理）.而在图29-2中，应改为证明.2. 从线考虑：证明AB，AC与同一条直线平行（或垂直）；或证明AB+BC=AC.3. 从有关结论考虑：梅涅劳斯（Menelaus）定理、Simson线等；4. 从形考虑：证A，B，C三点所成的三角形面积为零；可利用位似；5. 从方法上考虑；可考虑反证法、同一法、解析法等.（二）线共点共点，指n条（）直线经过同一点.多直线共点可化归为三线共点问题.证明几条直线共点，常用的方法有：1. 设其中两条直线相交于点A，然后证明A在其他直线上，即化为证明A与在其他直线上的两个点共线.2. 先找出其中某两线的交点所具有的性质（例如经过某个特殊点），证明其余的点也具有这个性质.3. 利用Ceva定理等结论证明共点.4. 利用已证的共点线. 例如得用三角形的“五心”及三个圆的根轴是共点线.5. 证明两个图形是位似图形，则对应点连线共点.例1. 设四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB=BC，CD=CA，设的边AB，CD上的高线分别为DN，BK.证明：N，O，K三点共线.例2. 西姆松定理：过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线称为西姆松线）.已知：P为的外接圆上任意一点，P在三边上的射影为L，M，N，证明L，M，N共线.例3. 设P为内一点，且满足，M，N分别是边AC，BC的中点. 若BP=2PM，证明：A，P，N三点共线.例4. 设AD，BE，CF为的三条高，从点D引AB，BE，CF，AC的垂线DP，DQ，DR，DS，垂足分别为P，Q，R，S，求证：P，Q，R，S四点共线.例5. 帕普斯（Pappus, 约3世纪）定理，设是直线上三点，是直线上三点. 交于L，与交于M，与交于N，求证：L，M，N三点共线.例6. 设四边形ABCD外切于圆O，对角线AC和BD的中点分别为MN. 求证：M，N，O三点共线.例7. 证明帕斯卡定理：圆内接交边形三对对边（所在直线）的交点共线.例8. 设P为内任一点，作射线AL、BM、CN，使例9. 在中，为其外心，分别是边BC，CA，AB的中点.已知，点分别使得成立.证明：直线三线共点.例10. 如图29-27，设P为内任一点，在形内作射线AL，BM，CN，使得，求证：AL，BM，CN三线共点.八、 图论（1）图 由一个点集V以及连结其中某些点对的线段(可以是曲线)集E组成的图形称为图，记为G（V，E)，其中，V中的点称为图G的顶点(点)，E中的线段称为图G的边，有n个顶点的图称为n阶图，对图G中任一点v，所连的边数称为点v的度，记作，显然 .一正则图 每个顶点的度数都为的图称为一正则图 无向图 每一条边都是无向的图称为无向图 有向图 每一条边都是有方向的图称为有向图 简单图 无环和重边的无向图称为简单图 完全图 任意一个顶点都与其他所有顶点相连的简单图称为完全图因此一个n阶完全图()有条边 竞赛图 有向完全图称为竞赛图，其中每条边均有一个起点和一个终点对于图中的每一点，以为起点的边的数目称为点的出度，记为；以为终点的边的数目称为点的人度，记为显然，对于n阶竞赛图的每一个顶点，都有 二部图 可将图的顶点分划成两个子集，每个子集中的任意两个点是不相连的 n部图 可将图的顶点分划成n个两两不交子集，图中任意一条边的两个顶点属于两个不同的子集 对于部图，若每个点均与其他子集中的所有点都相连，则称为完全部图 对于图G，若任意两点，且存在一条到的路，则称G是连通的若G是连通的，且不存在圈，则称G为一棵树容易得出，若图G的顶点数为n，且为一棵树，则G含有n-1条边 定理：图G为二部图当且仅当图G中不存在奇圈(长度为奇数的圈) 在图论中，我们主要研究的是点与边之间的关系在解决一些实际问题时，我们常常先是通过类比的方法，将问题中的实体抽象成图的顶点，再将它们之间的关系抽象成边，最后将所要研究的问题转换成研究图的性质在图论问题的处理上，反证法、归纳法、极端(极值)法是常用的方法本讲中，我们将主要介绍两类特殊图的应用：二部图(咒部图)、完全图例1.将凸n边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形.对是由顶点引出的蓝色边的条数.求证：.例2. 45个校友聚会，在这些人中，任意两个熟人数目相同的校友互不相识. 问在参加校友聚会的人中，认识熟人最多的人的数目是多少？例3. 已知一个有限图G，设是图G中的3阶完全图的个数，是图G中的4阶完全图的个数.求最小的常数c，使得对于每个图G，有.图论2对象M是图G的边子集，且M中的任意两条边不相邻（即没有公共顶点0.）Euler（欧拉）环游（一笔画问题） 从某一顶点出发，经过图G所有边恰好一次，并回到原来的顶点，这样的图也称为Euler图.容易得出：一个连通图G是Euler图当且当图G没有度数为奇数的顶点.Hami