高考数学二轮复习 专题九 第3讲 分类讨论思想配套课件 理.ppt

专题九数学思想方法 第3讲分类讨论思想 思想方法概述 热点分类突破 真题与押题 思想方法概述 1 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法 其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解 或分割 成若干个基础性问题 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 对问题实行分类与整合 分类标准等于增加一个已知条件 实现了有效增设 将大问题 或综合性问题 分解为小问题 或基础性问题 优化解题思路 降低问题难度 3 2 分类讨论的常见类型 1 由数学概念引起的分类讨论 有的概念本身是分类的 如绝对值 直线斜率 指数函数 对数函数等 2 由性质 定理 公式的限制引起的分类讨论 有的数学定理 公式 性质是分类给出的 在不同的条件下结论不一致 如等比数列的前n项和公式 函数的单调性等 3 由数学运算要求引起的分类讨论 如除法运算中除数不为零 偶次方根为非负 对数真数与底数的要求 指数运算中底数的要求 不等式两边同乘以一个正数 负数 三角函数的定义域等 4 由图形的不确定性引起的分类讨论 有的图形类型 位置需要分类 如角的终边所在的象限 点 线 面的位置关系等 5 由参数的变化引起的分类讨论 某些含有参数的问题 如含参数的方程 不等式 由于参数的取值不同会导致所得结果不同 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法 6 由实际意义引起的讨论 此类问题在应用题中 特别是在解决排列 组合中的计数问题时常用 3 分类讨论的原则 1 不重不漏 2 标准要统一 层次要分明 3 能不分类的要尽量避免或尽量推迟 决不无原则地讨论 4 解分类问题的步骤 1 确定分类讨论的对象 即对哪个变量或参数进行分类讨论 2 对所讨论的对象进行合理的分类 3 逐类讨论 即对各类问题详细讨论 逐步解决 4 归纳总结 将各类情况总结归纳 热点一由数学概念 性质 运算引起的分类讨论 热点二由图形位置或形状引起的讨论 热点三由参数引起的分类讨论 热点分类突破 热点一由数学概念 性质 运算引起的分类讨论 变式训练1 答案c 2 已知数列 an 的前n项和sn pn 1 p是常数 则数列 an 是 a 等差数列b 等比数列c 等差数列或等比数列d 以上都不对 解析 sn pn 1 a1 p 1 an sn sn 1 p 1 pn 1 n 2 当p 1且p 0时 an 是等比数列 当p 1时 an 是等差数列 当p 0时 a1 1 an 0 n 2 此时 an 既不是等差数列也不是等比数列 答案d 热点二由图形位置或形状引起的讨论 解析画出不等式组表示的平面区域 如图 当x 1时 1 y 2 有2个整点 当x 0时 0 y 3 有4个整点 当x 1时 1 y 4 有6个整点 当x 2时 2 y 5 有8个整点 所以平面区域内的整点共有2 4 6 8 20 个 答案20 2 设圆锥曲线t的两个焦点分别为f1 f2 若曲线t上存在点p满足 pf1 f1f2 pf2 4 3 2 则曲线t的离心率为 解析不妨设 pf1 4t f1f2 3t pf2 2t 若该圆锥曲线是双曲线 则有 pf1 pf2 2t 2a 变式训练2 答案d 解析若 pf2f1 90 则 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 若 f2pf1 90 则 f1f2 2 pf1 2 pf2 2 pf1 2 6 pf1 2 解得 pf1 4 pf2 2 例3 2014 四川改编 已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b r e 2 71828 为自然对数的底数 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 热点三由参数引起的分类讨论 解由f x ex ax2 bx 1 有g x f x ex 2ax b 所以g x ex 2a 因此 当x 0 1 时 g x 1 2a e 2a 所以g x 在 0 1 上单调递增 因此g x 在 0 1 上的最小值是g 0 1 b 因此g x 在 0 1 上的最小值是g 1 e 2a b 所以函数g x 在区间 0 ln 2a 上单调递减 在区间 ln 2a 1 上单调递增 于是 g x 在 0 1 上的最小值是g ln 2a 2a 2aln 2a b g ln 2a 2a 2aln 2a b g 1 e 2a b 变式训练3 1 若函数g x 过点 1 1 求函数f x 的图象在x 0处的切线方程 所以所求的切线的斜率为3 又f 0 0 所以切点为 0 0 故所求的切线方程为y 3x 2 判断函数f x 的单调性 当a 0时 因为x 1 所以f x 0 故f x 在 1 上单调递增 故f x 在 1 1 a 上单调递减 故f x 在 1 a 上单调递增 综上 当a 0时 函数f x 在 1 上单调递增 当a 0时 函数f x 在 1 1 a 上单调递减 在 1 a 上单调递增 分类讨论思想的本质是 化整为零 积零为整 用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程 明确讨论的对象和动机 确定分类的标准 逐类进行讨论 归纳综合结论 检验分类是否完备 即分类对象彼此交集为空集 并集为全集 做到 确定对象的全体 明确分类的标准 分类不重复 不遗漏 的分析讨论 本讲规律总结 常见的分类讨论问题有 1 集合 注意集合中空集 的讨论 2 函数 对数函数或指数函数中的底数a 一般应分a 1和01的讨论 等比数列中分公比q 1和q 1的讨论 4 三角函数 角的象限及函数值范围的讨论 5 不等式 解不等式时含参数的讨论 基本不等式相等条件是否满足的讨论 6 立体几何 点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论 7 平面解析几何 直线点斜式中k分存在和不存在 直线截距式中分b 0和b 0的讨论 轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论 8 排列 组合 概率中的分类计数问题 9 去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等 真题感悟 押题精练 真题与押题 1 2 真题感悟 3 当b 时 根据余弦定理有ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb 1 2 2 5 所以ac 此时 abc为钝角三角形 符合题意 当b 时 根据余弦定理有ac2 ab2 bc2 2ab bc cosb 1 2 2 1 所以ac 1 此时ab2 ac2 bc2 abc为直角三角形 不符合题意 故ac 答案b 1 2 真题感悟 3 2 2013 安徽 a 0 是 函数f x ax 1 x 在区间 0 内单调递增 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 1 2 真题感悟 3 解析当a 0时 f x ax 1 x x 在区间 0 上单调递增 当a 0时 结合函数f x ax 1 x ax2 x 的图象知函数在 0 上单调递增 如图 1 所示 1 2 真题感悟 3 当a 0时 结合函数f x ax 1 x ax2 x 的图象知函数在 0 上先增后减再增 不符合条件 如图 2 所示 所以 要使函数f x ax 1 x 在 0 上单调递增只需a 0 即 a 0 是 函数f x ax 1 x 在区间 0 内单调递增 的充要条件 答案c 1 2 真题感悟 3 3 2014 广东 设集合a x1 x2 x3 x4 x5 xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 那么集合a中满足条件 1 x1 x2 x3 x4 x5 3 的元素个数为 a 60b 90c 120d 130 1 2 真题感悟 3 解析在x1 x2 x3 x4 x5这五个数中 因为xi 1 0 1 i 1 2 3 4 5 所以满足条件1 x1 x2 x3 x4 x5 3的可能情况有 一个1 或 1 四个0 有 2种 两个1 或 1 三个0 有 2种 一个 1 一个1 三个0 有种 1 2 真题感悟 3 两个1 或 1 一个 1 或1 两个0 有 2种 三个1 或 1 两个0 有 2种 答案d 1 2 真题感悟 3 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析若a 0 则f x 在定义域的两个区间内都是常函数 不具备单调性 若a 0 函数f x 在两段上都是单调递增的 要使函数在r上单调递增 只要 a 2 e0 1 即a 1 与a 0矛盾 此时无解 若 2 a 0 则函数在定义域的两段上都是单调递减的 押题精练 1 2 3 4 5 6 要使函数在r上单调递减 只要a 2 1即a 1 即 1 a 0 当a 2时 函数f x 不可能在r上单调 综上 a的取值范围是 1 0 答案c 押题精练 1 2 3 4 5 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析当公比q 1时 a1 a2 a3 7 s3 3a1 21 符合要求 押题精练 1 2 3 4 5 6 答案c 3 抛物线y2 4px p 0 的焦点为f p为其上的一点 o为坐标原点 若 opf为等腰三角形 则这样的点p的个数为 a 2b 3c 4d 6 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析当 po pf 时 点p在线段of的中垂线上 此时 点p的位置有两个 当 op of 时 点p的位置也有两个 对 fo fp 的情形 点p不存在 事实上 f p 0 押题精练 1 2 3 4 5 6 又 y2 4px x2 2px 0 解得x 0或x 2p 当x 0时 不构成三角形 当x 2p p 0 时 与点p在抛物线上矛盾 所以符合要求的点p一共有4个 答案c 4 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换的两位同学互赠一份纪念品 已知6位同学之间共进行了13次交换 则收到4份纪念品的同学人数为 a 1或3b 1或4c 2或3d 2或4 押题精练 1 2 3 4 5 6 解析设6位同学分别用a b c d e f表示 若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换 现共进行了13次交换 说明有两次交换没有发生 此时可能有两种情况 1 由3人构成的2次交换 如a b和a c之间的交换没有发生 则收到4份纪念品的有b c两人 押题精练 1 2 3 4 5 6 2 由4人构成的2次交换 如a b和c e之间的交换没有发生 则收到4份纪念品的有a b c e四人 故选d 答案d 押题精练 1 2 3 4 5 6 5 已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 押题精练 1 2 3 4 5 6 解设数列 an 的公差为d 故an 3 n 1 4 n 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n n 求数列 bn 的前n项和sn 押题精练 1 2 3 4 5 6 解由 1 可得bn n qn 1 于是sn 1 q0 2 q1 3 q2 n qn 1 若q 1 将上式两边同乘q 得qsn 1 q1 2 q2 n 1 qn 1 n qn 两式相减 得 q 1 sn nqn 1 q1 q2 qn 1 押题精练 1 2 3 4 5 6