全国大学生数学建模获奖储油罐论文.pdf

储油罐的变位识别与罐容量标定模型储油罐的变位识别与罐容量标定模型储油罐的变位识别与罐容量标定模型储油罐的变位识别与罐容量标定模型 摘要 本文利用公式推导 误差分析以及优化求解等方法对储油罐进行变位识和 罐容量的标定 问题一 运用几何关系和积分建立了油罐储油量V与高度H 纵向倾斜角 之间的函数关系 HV 在 0 和 1 4 的情况下 根据实验数据中的油位 高度 分别求出油罐无变位和变位时的 HV 与实验数据比较 发现变位后误 差为 4 7 引入修正因子对现有模型进行修改 误差降低至 1 以下 根据优化 后的模型 计算出倾斜角为 1 4 的纵向变位时的高度间隔为 1cm 的罐容表 见 表 1 问题二 基于问题一 考虑到有横向偏转角 对两端为球冠体的储油罐 用积分的方法建立储油量V与油位高度H 纵向倾角 横向偏转角 之间的 函数模型 HV 并设定 的初始范围均为 0 5 0 以 0 01 0 的步长循环将 代入函数模型 HV 得到函数模型 HV 并将实验所得数据代入 HV 得到一组理论值 理 v 以 2 vvE 理 为函数目标 得到最恰当的 值分别 为 00 3 4 3 2 由此得到变位后的油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值 见表 2 关键词 变位识别罐容表标定函数积分 一 问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐 并且一般都有与之配套的 油位计量管理系统 采用流量计和油位计来测量进 出油量与罐内油位高度 等数据 通过预先标定的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系 进行实 时计算 以得到罐内油位高度和储油量的变化情况 许多储油罐在使用一段时间后 由于地基变形等原因 使罐体的位置会发生 纵向倾斜和横向偏转等变化 以下称为变位 从而导致罐容表发生改变 按照 有关规定 需要定期对罐容表进行重新标定 题目给出了一种典型的储油罐尺寸 及形状示意图 其主体为圆柱体 两端为球冠体 并给出了罐体纵向倾斜变位的 示意图和罐体横向偏转变位的截面示意图 请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题 1 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响 利用给出的小椭圆型储油罐 两 端平头的椭圆柱体 示意图 分别对罐体无变位和倾斜角为 4 10的纵向变位 两种情况做了实验 实验数据如附件1所示 请建立数学模型研究罐体变位后对 罐容表的影响 并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值 2 对于实际储油罐 试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型 即罐内 储油量与油位高度及变位参数 纵向倾斜角度 和横向偏转角度 之间的一般 关系 请利用罐体变位后在进 出油过程中的实际检测数据 附件2 根据你们 所建立的数学模型确定变位参数 并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容 表标定值 进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与 方法的可靠性 二 模型假设 1 纵向倾斜角和横向倾斜角相互间独立变化彼此不互相影响 2 当油浮子达到最高位置即油位计测得的数据为3m和油浮子到达最低位置 即油位计所测得的数据为 0 时 油罐内部不再加油 出油 体积保持不 变 3 油罐内进油出油过程中无油量损耗并且有关本身的体积可以忽略不计 4 油罐中液面始终保持水平 不考虑油浮子和液面 测位计和液面间的摩擦 情况 5 有密度均匀 无沉淀 稠密部分影响最后油量的测定 给最终结果的确定 带来不良影响 三 符号说明 a 椭圆油罐截面的长半轴 b 椭圆油罐截面的短半轴 x 油罐罐身长度 c 浮标左位长度 d 浮标右位长度 S 椭圆截面的面积 V 油罐内储油量的体积 1 e 油罐管道误差 2 e 油浮子导致的误差 e 模型的修正因子 R 球冠型储油罐纵截面圆的半径 H 油位计读出的罐内油面高度 H 变位后油面的实际高度 V 储油罐内油量的体积 0 V 球冠体的体积 r 球冠体的底面半径 l 油罐水平放置时球冠体的长度 储油罐变位的纵向倾斜角度 储油罐变位的横向偏转角度 其他符号见文中说明 四 模型的建立与求解 一 问题一求解 1 问题分析 油罐纵向变位时 随着油量高度的增加 油量在罐内会形成三种情况的体 积分布 我们对高度进行三种划分 分别求解出体积与油高 倾角的函数模型 油体求解 对油罐椭圆截面 积分求得截面上的油面积 然后进行油浮子 的高度与椭圆截面上的油高转换 再对椭圆截面纵向积分 求得油罐中油体体积 的积分函数式 2 模型的建立 1 油罐左视图油截面面积的求解 油罐左视图截面如图 1 所示 油面 x y 图 1 油罐左侧截面 图 椭圆方程为 22 22 1 xy ab 定义油面高度h为油面至罐底的垂直距离 则对油面宽度沿y从b 至bh 积分 得油面面积 2 2 21 b h b y S hady b 1 积分求解后得到 22 arcsin 1 2 abha S habhbbhb bb 2 2 基本坐标系建立及油面高度定义 本文以小椭圆型油罐正视图罐身左下角为原点 沿罐身的横向和纵向直线 分 别为x h 轴建立坐标系 如图 2 油位 探针 油浮子x h 图 2 油罐正面坐标 图 该系中虚线表示油面 与 x 轴夹角为 油浮子高度为 H 油位探针距离左 端距离为c 距离右端距离为d 即油浮子坐标为 c H 则沿罐身横向各处油 面高度为 tan h xHxc 3 3 罐内油量的计算 罐内油体体积可以通过对油体横截面积沿 x 轴积分求得 由于罐内油位高低 影响实际积分距离 故根据H大小分三类情况分别讨论 如图 3 探 针 油浮子 x H 图 3 a H 油 浮 探 针 x 3 b 油 浮 x H 图 3 c 情况一 油位偏低 tan0dH 如图 3 a 所示 令 0h x 可得积分下限 tan H c 则油体体积为 tan 0 H c V HS h x dx 4 情况二 油位适中 tan2tancbHd 如图 3 b 所示 此时积分范围从 0 到cd 油体体积为 0 c d V HS h x dx 5 情况三 油位偏高 bHcb2tan2 如图 3 c 所示 此时积分分为两段 令 2h xb 可得分界点为 2 tan Hb xc 油体体积为 2 tan 2 0 tan 2 Hb cc d Hb c V HSb dxS h x dx 6 4 综合以上 对于问题一建立小椭圆型储油罐储油体积与油位高度函数关系如 下 tan 0 1 0 2 tan 2 0 tan 0tan tan2tan 2 2tan2 H c c d Hb cc d Hb c S h x dxHd V HS h x dxdHbc Sb dxS h x dxbcHb 对于右侧球冠体积 考虑到对称性 其无油部分体积可用上述方法求得为 2 2 s VrH 则右侧球冠内油体体积为 02 2 s VVrH 其中 0 V 为球冠总体积 2 求解截面圆中油面积 以截面圆圆心为原点 建立如下图所示x y轴坐标系 由于油罐发生横向 偏转 使得油位计的读数H和实际截面中计算的油层高度H 不同 3 当油面高 度Ry时 如下图 9 b 所示 图 9 a 油面 h h x y 油面 h h x y 图 9 b 利用几何关系可得H与H 之间转换的关系式 cosHRRH 11 截面中油面的面积为 dyYRxdyyS h r H R 22 22 12 积分求解后得到 2 222 arcsin 1 2 ry S yryrryr r 13 3 储油罐容油量的三种情况计算 图 10 c a 图 10 a 图 10 b 情况一 油量较少 tan0dH 这种情况下罐中的油只存在于圆柱体和下方的球冠体中 左侧球冠 油面高度 0 h 右侧球冠油面高度 0 即0 右 V 因此 左中 VVV 由水平线方程 左侧球冠液高为tanhc 情况二 油量适中 tan2tancRHd 此时罐中三部分内均有油 左侧球冠油面高度 0 h 右侧球冠油面 高度 h cd 有 右左中 VVVV 图 9 截面圆中油面示意图 图 10 油面高度不同情况的示意图 情况三 油量偏多 RHcR2tan2 情 况三 与 情况 二 类似 罐中 贮 油同 样 由三 部 分组 成 即 右左中 VVVV 与情况二不同之处是积分的范围 左侧球冠油面高度2r 右 侧球冠油面高度 h cd 综合以上 建立储油体积与油位高度总函数关系如下 tan 0 0 2 2 tan 2 0 tan 0 0tan 0 2 tan2tan 2 2 2tan2 H c s c d sas Hb cc d Hb as c S h x dxV hHd S h x dxV hVVrh d V HdHbc Sb dxS h x dxVVrh d bcHb 14 其中 tan cxHxh 3 模型求解 当 0 时 根据实验数据中的油高 求得模型 HV2的值 运用MATLAB 软件对 HV2和实验数据 油量容积 作图比较 图 11 分析 误差范围在0 7 之内 1 2 R 实验数据给出的标定值是在储油罐无 变位情况下的 与模型 HV2 0 时 高度吻合 因此 可以忽略储油 罐本身产生的误差 设定 的初始范围均为 0 5 0 以 0 1 0的步长循环将 代入函数模型 HV 得到函数模型 HV 并将实验所得数据代入 HV 得到一组理论 值 理 v 以 2 min vv理为函数目标 得到最恰当的 见附录5 值分别为 2 1 4 3 4 结果分析 在参数2 1 4 3 的变位情况下 实际储油罐间隔为 10cm 的油位高 度罐容表如下 表格表格 2 2 罐体变位后油位高度间隔为罐体变位后油位高度间隔为 10cm10cm 的罐容表的罐容表 高度 cm储油量 L高度 cm储油量 L高度 cm储油量 L高度 cm储油量 L 055 108011641 6416032959 8624053994 03 10360 689014041 0517035769 6525056184 85 201031 7910016551 2518038559 7826058211 24 302142 6011019153 5819041314 8227060045 67 403604 0912021830 5520044019 0728061653 22 505324 8513024565 5421046656 3829062982 50 607258 9114027342 4722049209 9730063926 33 709373 3415030145 7123051662 16 5 模型评价 1 正确性 分析求解 值的算法过程 根据 0 时的模型值与实验值的比较 忽略油罐本身误差 为了进一步验证 我们通过计算通过一部分数据建立的模型 是否满足另一部分数据 取实验数据中的后 300 组数据 用同样的优化算法求出 0 0416 0 0745 得到差值模型 2 V 运用此模型 求出前 300 组的 2 V 与实验数据中后 300 组之间的油量差比较 由图可得实验值与模型值近似重合 进一步对其数据分析可知误差小于 1 1 认为模型具有的正确性 2 可靠性 对附件实验数据 运用 MATLAB 软件按每组 200 个随机抽取 9 组数据 表 3 运用同样的方法求得 9 组 值 比较发现9 组 值均在 3 2 3 4 附近 无明显偏差 认为模型可靠 对于算法过程 在更广的范围内取不同的 初值 在 MATLAB 的程序中 进行迭代 最终的迭代结果都能收敛在一个确定的值 可以认为该算法过程稳 定 从而所得结果可靠 五 模型的评价 一 模型的优点 1 本模型能与实际紧密联系 结合实际情况对所提数据进行合理解释 使模型 更贴近现实 2 对罐内油量体积的计算过程中 针对油量的多少分情况具体讨论 确保模型 的准确性 3 问题二中参数识别问题采用逐步试探搜索的方法 结果具有很高的精确度 图 12 4 模型对不同形状的油罐分别做了全面分析 参数可根据实际情况取值 具有 很强的普遍性和实用性 二 模型的缺点 1 模型依赖于一些基本参数 如油罐本身几何形状的数据等 模型精度可能受 这些数据测量过程中产生误差的影响 2 由于油罐内部设施 如进 出油管 探针杆等 具体情况未知 因此在计算 贮油量时近似忽略了这些仪器的影响 可能与实际情况有所偏差 六 六 六 六 模型的推广模型的推广模型的推广模型的推广 柱体封头型罐广泛应用于食品 化工 医药等行业以及日常生活中 如食 品发酵罐 天然气贮气罐 洒水车水罐 太阳能热水器等等 本文中的模型可应 用到这些容器的容量标定中 为该类容器的设计和使用以及容积测量提供方便 对于椭圆柱状的容器 可根据模型一中的函数关系标定罐容表 实际测量中 对应液体高度查表即可得出罐中液体贮存量 对于主体为圆柱体两端为球冠体的 容器 可套用模型二的有关数学表达式 此外 现实中还存在其