对空间及向量的新认识-管理数学学习心得.docx

管理数学基础学习心得专业：管理科学与工程 姓名：郭琳 学号：2013209021这学期有幸学习了管理数学这门课程，回想起来收获颇多。课程绝不像想象中那么枯燥无味，相反，在老师清晰的思路和由浅入深的讲解下，我们对数学的理解提高到了一个新的高度，并且十分享受这个过程。虽然我们从小就开始接触数学，但我们总感觉数学离我们很远，只把它当作一种解决抽象问题的工具，对数学的直观理解非常少，这就导致我们对数学抱有一种“敬而远之”的心态。但是通过这门课程的学习，与数学相隔的那扇门仿佛一下打开了，它帮助我建立了数学的直觉，在很大程度上帮助我理解那些抽象的概念。下面，就从三个方面来谈一下我学习这门课程的心得和体会。1.对空间的重新认识；2.对矩阵的重新认识；3.特征值与特征向量。1.对空间的新认识学习这门课程最大的一个收获就是重新认识了空间（space）这个概念。在我们的头脑中，最熟悉的空间就是我们生活在其中的三维空间。对于一维和二维空间，我们还比较容易想象，但是四维空间就很难直观地想象了。我们生活的这个空间是一个三维的欧几里得空间，用一个三维坐标即可描述我们的位置、大小等。这个空间有以下几个特点：（1）有无穷多个位置点组成，即它是一个集合；（2）有三个基底，这三个基底的任意线性组合就可以描述这个空间的性质，即具有特定的维度；（3）在这个空间里我们可以度量一个物体的长短，即在这个空间里可以实现一定“运算”；（4）物体或者点可以在这个空间从一点移动到另一点，更抽象地说就是可以实现“变换”。从这里我们可以或多或少地感觉到一个事物成为“空间”所必须要具备的特征。学习了这门课程之后，我对空间的概念有了清晰的认识：空间是定义了某种数学结构的非空集合。从两个层面进行理解。首先，空间必须首先是一个非空集合，即包含了若干元素的集合，例如Rn线性空间中就包含无穷多个n维向量。在这里，元素的概念更加抽象化，元素的类型不再局限于我们熟悉的R1（实数）、n维向量等，还可以是算子（映射），函数等等。例如有界线性算子空间B（X，Y）=T|T：XY是有界线性算子；或者Ca, b，它表示在a, b闭区间上所有连续函数的集合。其次，空间只有定义了一定的数学结构才能成为空间，例如线性空间在其中定义了线性运算（加法和数乘），距离空间定义了距离的概念，线性赋范空间定义了范数等。这些数学结构我认为可以理解成一种允许该空间（集合）中元素发生的“运动”。这里，数学结构的定义往往不是唯一的，只要符合基本要求即可。空间的含义不再局限于我们的三维空间了，而是一种更抽象的空间。有了空间的定义，我们就可以很方便地研究空间中元素的运动了。2.对矩阵的新认识2.1 何为矩阵？学习矩阵是在大一的下半学期，当时学习了线性代数这门课程。虽然当时对于矩阵的计算、定理十分熟悉，但是却根本不理解到底何为矩阵。在我的眼中，矩阵就是把一堆数字或字母表达式规规矩矩地放在一个框框里，矩阵的变换就像是古代打仗变换阵法，不得其中深意。但是对空间有了一定认识之后，我明白了矩阵的含义。矩阵中的元素除了它本身携带一些数字信息外，元素的位置也携带了很多信息，这是与我们一直接触的代数、几何有所不同的地方。矩阵的概念建立在线性空间的基础上，线性空间中的运动称为线性变换，它包括加法和数乘两种，线性空间对这两种运算是封闭的。我们从线性空间中的一个点运动到另一个点都可以通过线性变换来实现（一些学者认为这里的运动并不是连续性的运动，而是一种“跃迁”）。线性变换T如果用这个线性空间中的基底来表示的话，就得到了矩阵，也就是说，矩阵是对线性空间中线性运算的一种描述，它用该空间中的一组基底表示出来，称作该线性变换T的矩阵表示，简称矩阵。原来，矩阵不只是一堆数字的堆砌，而是对一种线性变换的描述！这里还需要注意的是，矩阵只是对线性变换的一种描述，而不是线性变换本身。我认为这里的线性变换T包括两种，既可以是在同一个线性空间里的变换，也可以是让一个元素从一个线性空间运动到另一个线性空间。举个例子，如果线性变换T的矩阵表示是一个方阵A，那么元素X被A作用之后变为Y，仍然属于原来的线性空间。A=a11a12a21a22 X=(x1 x2)T Y=AX=(a11x1+a12 x2 a21x1+a22 x2)TX,Y均属于二维向量空间。如果这里的矩阵A不是方阵，而是一个3*2阶矩阵，则一个空间的元素可能就会被变换到另一个空间，比如：A= X= Y=AX=在这里，X来自二维向量空间，经过非方阵矩阵的作用后变到了三维向量空间。这是一个很有意思的事情。原来看似复杂毫无头绪的矩阵乘法也豁然开朗，矩阵的乘法就是矩阵实施线性变换的过程。由于能力有限，下面只对方阵进行一些讨论。2.2 相似矩阵一个线性空间可以选取不同的基底作为衡量标准，因此，一个线性空间中的同一个线性变换在不同的基底下就会表现出不同的形式，这让我更深刻地理解了相似矩阵这个概念。方阵A与B相似是指存在一个可逆矩阵P，使得B=P-1AP。这个定义看起来十分抽象，很难理解。但其实两个相似的矩阵就是同一个线性变换在不同基底下的两个不同的矩阵表示，它们的本质是相同的，只是表现形式有所不同，所以相似矩阵具有相同的特征值。在这里我的理解是特征值是线性变换T本身携带的性质，所以在不同的矩阵表示下特征值不变，用矩阵算出来的“特征向量”实际上是线性变换的特征向量在该基底下的坐标。同一个线性变换的特征向量是确定的，但该向量在不同基底下的坐标一般来说是不相同的。更进一步地想，这个可逆矩阵P就是这两组基底的过渡矩阵。证明如下：设线性变换T在线性空间的一组基X=x1 x2 xn下的矩阵为A，在另一组基Y=y1 y2 yn下为B，且Y=XP，P为由X 到Y的过渡矩阵。即 y1 y2 yn = x1 x2 xn P 则由题意：y1 y2 yn B = T y1 y2 yn带入式：x1 x2 xn PB = T x1 x2 xn P 又有 x1 x2 xn A = T x1 x2 xn 得： x1 x2 xn PB = x1 x2 xn AP由于x1 x2 xn线性无关，可逆，两边同时左乘x1 x2 xn-1，则得PB=AP，即B=P-1AP。由于一些矩阵的运算性质要比另一些好，研究起来方便，例如对角化后的矩阵，矩阵的若当标准型等，所以我们在研究的过程中可以先通过矩阵的相似变换得到性质更好的矩阵，再进行研究，这可以简化我们很多工作。2.3 更进一步的理解对于n维线性空间来说，空间中的一组基底可以由n个线性无关的向量来表示，这里的基底可以理解为坐标系。例如我们最熟悉的直角坐标系，就由n个线性无关的单位向量组成。如果把基向量写在一起，就形成了一个矩阵，E=1001所以我们也可以用矩阵来表示空间的基底。所以说，矩阵既可以是线性空间中线性变换的表示，也可以是空间中坐标系的表示，因为空间中元素位置的变换就等价于坐标系的变换！用物理学的概念来解释就是“运动是相对的”。如果我们固定坐标系，对元素进行线性变换，其实就等价于将元素（对象）固定，对坐标系实施变换。所以，对于矩阵乘法Ma(这里M是n阶可逆方阵，它的各个向量之间线性无关，a是n维列向量)，既可以看作矩阵M对向量a实施线性变换；也可以把M看作空间的一个坐标系，Ma说明向量在坐标系M下度量的结果是a。我们平时所说的向量a=2 4 5 1T其实表示在直角坐标系E下度量的结果，即Ea，为了书写方便将E省去。所以Ma=b可以理解成同一个向量在M坐标系下度量结果为a，在直角坐标系下度量结果为b。这个结论让我对统计学中的一些方法豁然开朗，比如在进行主成分分析时，通过对坐标系的旋转，使得一些点分开，一些点聚拢，在不改变他们位置的前提下使它们之间的关系变得更加明确。矩阵理论中还有一个比较奇怪的定义，那就是矩阵的行列式。我们很难想象它的意义，通过查阅资料我了解到，行列式可以看作是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。更详细地说，行列式表示的是线性变换前后平行六面体的体积的变化系数。例如，在二维空间，A=abcd，|A|=abcd=ad-bcY0XA(a, c)B(b, d)cdabC所以平行四边形OABC的面积为 2*SOAB=2*(ScdBA+SOBd-SOAc)=(a+b)*(c-d)+bd-ac=bc-ad,这里看到行列式的绝对值就是平行四边形的面积。同理，对于三维向量所构成的平行六面体的体积，由它的向量积表示，而向量积的计算方法就是计算行列式。3.特征值与特征向量特征值与特征向量是方阵才有的概念，这两个概念无论在物理学、数学、统计学等都有非常广泛的应用。3.1 特征值与特征向量的几何意义我们对特征值与特征向量的定义十分熟悉。设A为n阶方阵，如果数与n维非零的列向量x，使等式Ax=x成立，则称数是方阵A的一个特征值，非零列向量x称为A的相应于特征值的特征向量。从定义来看，我们很难理解特征值代表了什么，从我们刚接触特征值与特征向量时，我们就一直没有过多地考虑它们的几何意义。但在学习了管数之后，我对特征值与特征向量的理解更加深刻了。从定义来看，Ax表示一个向量x经过矩阵A的作用变成了x，即本身的方向没有变，只是在原来的方向上被拉长或是缩短了。我原来一直认为特征值是方阵最为重要的特征属性，但是通过查阅资料，发现特征向量更为重要，特征值只是特征向量被拉长或缩短的倍数。对于一个特定的线性变换T，假设它的矩阵表示为A，则矩阵A的特征向量经过这个线性变换之后，得到的新向量方向不变（与原来的向量在同一直线上），但其长度也许发生了改变。一个特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例称为其特征值。如果特征值为正，则表示v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。老师上课讲的蒙娜丽莎的微笑的例子对我启发很大。上图蒙娜丽莎的图像左右翻转（以纵轴为中心翻转）时，相当于矩阵B=-1001作用于图像。通过计算我们知道矩阵B的特征值为-1和1，相应的特征向量为1 0T和0 1T，即分别是横轴方向与纵轴方向。从图中来看，中间垂直的红色向量（纵轴方向）保持不变。而水平方向上黄色的向量（横轴方向）的方向完全反转，因此它们都是左右翻转变换的特征向量。红色向量长度不变，其特征值为1。黄色向量长度也不变但方向变了，其特征值为-1。橙色向量在翻转后和原来的向量不在同一条直线上，因此不是特征向量。所以对应于左右翻转变换的矩阵B，特征向量是水平方向的向量与竖直方向的向量的全体。YXY=X0类似的还有变换C=2112，它的作用是让坐标系中的每个点（a,b）都向其所在位置的右上方（45度角）移动2(a+b)的距离。如图所示。红色向量经过作用变为绿色向量，而平行于y=x直线以及垂直于y=x直线的蓝色向量与黄色向量不改变方向。求矩阵C的特征向量得1 1T与1 -1T，正是这两个向量。这就是特征向量的几何意义所在。3.2 特征值与特征向量在统计学中的运用特征值和特征向量是非常重要的两个概念，它代表了一个线性变换中不变的量。谱分解理论是对特征值与特征向量的一个应用，n阶方阵A的全体特征值的集合称为A的谱。谱分解是指矩阵A可以分解为若干个矩阵的线性组合，组合系数就是矩阵A的n个特征值。在统计学的主成分分析中较多地用到了谱分解的概念。在寻找影响因素的主成分时，我们往往只需要找到前几个影响较大的因素即可。在这里，特征值携带了矩阵本身的一些性质，将协方差矩阵的特征值由大到小排列，较大的特征值就表明对y的影响作用较大，从而筛选出对因变量影响较大的几个因素，简化统计分析。除此之外，特征值和特征向量还运用在管理学、经济学等其他的学科。4.总结本文主要总结了我在学习管理数学这门学科中对某些知识的新的认识，包括对空间、矩阵、以