（新高考）2020版高考数学二轮复习专题强化训练（十八）立体几何理.docx

专题强化训练(十八)立体几何一、选择题12019石家庄一模已知三棱锥PABC中，PCAB，ABC是边长为2的正三角形，PB4，PBC60；(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，求二面角PBCF的余弦值解：(1)在PBC中，PBC60，BC2，PB4，由余弦定理可得PC2，PC2BC2PB2，PCBC，又PCAB，ABBCB，PC平面ABC，PC平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)解法一：在平面ABC中，过点C作CMCA，以CA，CM，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，B(1，0)，F(1,0，)设平面PBC的法向量为m(x1，y1，z1)，则取y11，则x1，z10，即m(，1,0)为平面PBC的一个法向量设平面BCF的法向量为n(x2，y2，z2)，则取x2，则y21，z21，即n(，1，1)为平面BCF的一个法向量，|cosm，n|，由题图可知二面角PBCF为锐角，二面角PBCF的余弦值为.解法二：由(1)可知PC平面ABC，又PC平面PBC，平面PBC平面ABC，二面角PBCF的余弦值就是二面角ABCF的正弦值，作FMAC于点M，则FM平面ABC，作MNBC于点N，连接FN，则FNBC，FNM为二面角ABCF的平面角点F为PA的中点，点M为AC的中点，在RtFMN中，FMPC，MN，FN，sinFNM，二面角PBCF的余弦值为.22019郑州质量预测二如图，等腰直角三角形ABC中，B90，平面ABEF平面ABC,2AFABBE，FAB60，AFBE.(1)求证：BCBF；(2)求二面角FCEB的正弦值解：(1)等腰直角三角形ABC中，B90，即BCAB，又平面ABC平面ABEF，平面ABC平面ABEFAB，BC平面ABC，BC平面ABEF，又BF平面ABEF，BCBF.(2)由(1)知BC平面ABEF，故建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，设AF1，则由已知可得B(0,0,0)，C(0,2,0)，F，E(1,0，)，(1,2，)，(0,2,0)，设平面CEF的法向量为n(x，y，z)，则有令x，则z5，y2，即n(，2，5)为平面CEF的一个法向量设平面BCE的法向量为m(x1，y1，z1)，则有y10，x1z1，令x1，则m(，0,1)为平面BCE的一个法向量设二面角FCEB的平面角为，则|cos|，sin，二面角FCEB的正弦值为.32019太原一模如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是直角梯形，ABCD，ADCD，四边形CDEF是菱形，DCF60，CD2AD2AB，AEAD.(1)证明：CEAF；(2)已知点P在线段BC上，且CPCB，若二面角ADFP的大小为60，求实数的值解：(1)四边形CDEF是菱形，DECD2AD，CEDF，AEAD，AE25AD2AD2DE2，ADDE，ADCD，AD平面CDEF，ADCE，DFADD.CE平面ADF，AF平面ADF，CEAF.(2)由(1)知以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，由题设可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，1，)，F(0,1，)，(0,1，)，(，0)，(，2，0)，设m(x，y，z)是平面DFP的法向量，则，令z1，则，m为平面DFP的一个法向量由(1)可知(0，3，)是平面ADF的一个法向量，二面角ADFP的大小为60，cos60|，.42019洛阳统考如图1，平面多边形PABCD中，PAPD，AD2DC2BC4，ADBC，APPD，ADDC，E为PD的中点，现将APD沿AD折起，如图2，使PC2.图1图2(1)证明：CE平面ABP；(2)求直线AE与平面ABP所成角的正弦值解：(1)取PA的中点H，连接HE，BH，如图E为PD的中点，HE为APD的中位线，HEAD，且AEAD.又ADBC，BCAD，HEBC，HEBC，四边形BCEH为平行四边形，CEBH.BH平面ABP，CE平面ABP，CE平面ABP.(2)由题意知PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形取AD的中点F，连接BF，PF，AD2BC4，平面多边形PABCD中，P，F，B三点共线，且PFBF2，翻折后，PFAD，BFAD，PFBFF，DF平面PBF，BC平面PBF，PB平面PBF，BCPB.在直角三角形PBC中，PC2，BC2，PB2，PBF为等边三角形取BF的中点O，DC的中点M，连接PO，OM，则POBF，DF平面PBF，DFPO.又DFBFF，PO平面ABCD.以O为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,2,0)，P(0,0，)，A(1，2，0)，E，(2,2,0)，(1,0，)设平面ABP的法向量为n(x，y，z)，则，故可取n(3，3，)cosn，直线AE与平面ABP所成角的正弦值为.52019辽宁高考模拟如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD.四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且ADBC，ABD是边长为1的等边三角形，M为线段BD中点，BC3.(1)求证：AFBD; (2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；(3)线段BD上是否存在点N，使得直线CE/平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为ADEF为正方形，所以AFAD.又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以AF平面ABCD，BD平面ABCD，所以AFBD.(2)取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK，则在ABD中，OBOD，在正方形ADEF中，OKOD.又平面ADEF平面ABCD，则OB平面ADEF，所以OBOK，即OB, OD, OK两两垂直分别以OB，OD，OK为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图), 则B，D，C，E，M，F所以，(0,0,1)设平面CDE的一个法向量为n(x，y，z)，则，即.令x5，则y，则n(5，0)设直线MF与平面CDE所成角为，sin|cos，n|.(3) 要使直线CE平面AFN，只需ANCD.设，0,1，则，所以xn，yn，zn0，N，所以.又(，0)，由，得，解得0,1，所以线段BD上存在点N，使得直线CE平面AFN，且.62019福州质量抽测如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为AD的中点，AC交BE于点F，G为PCD的重心(1)求证：FG平面PAD；(2)若PAAD，点H在线段PD上，且PH2HD，求二面角HFGC的余弦值解：(1)因为AEBC，所以AEFCBF，因为E为AD的中点，所以2AEADBC，所以CF2AF.如图，延长CG，交PD于M，连接AM，因为G为PCD的重心，所以M为PD的中点，且CG2GM，所以FGAM，因为AM平面PAD，FG平面PAD，所以FG平面PAD.(2)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系设PAAD3，则C(3,3,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，F(1,1,0)因为PH2HD，所以H(0,2,1)因为G为PCD的重心，所以G(1,2,1)设平面FGC的法向量为n1(x1，y1，z1).(2,2,0)，(0,1,1)，则，所以，取x11，则y11，z11，所以n1(1，1,1)为平面FGC的一个法向量设平面FGH的法向量为n2(x2，y2，z2).(1,1,1)，则，所以，则x20，取y21，则z21，所以n2(0,1，1)为平面FGH的一个法向量所以cosn1，n2.由图可知，该二面角为钝角，所以二面角HFGC的余弦值为.72019浙江卷如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解：解法一：(1)如图，连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F.又A1EA1FA1，所以BC平面A1EF.又EF平面A1EF因此EFBC.(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形连接A1G交EF于O，由(1)得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)不妨设AC4，则在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O为A1G的中点，故EOOG，所以cosEOG.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.解法二：(1)连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0得EFBC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)由，得取n(1，1)，故sin|cos，n|.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.82019北京卷如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值；(3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由解：(1)因为PA平面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，PAADA，所以CD平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)因