【2012考研必备资料】高等数学习题课讲义上册.pdf

目录目录 第一课函数的性质与数列极限的概念 1 第二课数列收敛的判别方法 5 第三课区间套定理 致密性定理 函数极限的定义 10 第四课函数极限的性质及其运算 13 第五课连续函数的概念及性质 18 第六课闭区间上连续函数的性质 一致连续 23 第七课导数的定义 基本运算 26 第八课复合函数 隐函数 反函数的导数 33 第九课一元函数的微分及其形式不变性 38 第十课微分中值定理 40 第十一课微分中值定理应用 45 第十二课利用导数求函数的性质 1 50 第十三课利用导数求函数的性质 2 55 第十四课不定积分 1 59 第十五课不定积分 2 63 第十六课定积分的定义及性质 69 第十七课定积分的计算 近似计算 73 第十八课定积分的应用 80 期末综合训练 86 参考文献 90 2 0 1 2 考研必备资料 高等数学习题课讲义上册 1 第一课第一课函数的性质与函数的性质与数列数列极限极限的的概念概念 一一 本课重点内容提示本课重点内容提示 1 函数的性质 定义域 值域 奇偶性 增减性 单调性 周期性 反函数 等内容 的复习和总结 2 充分理解数列的极限的定义 即lim n n xa 的分析定义 0 N 依赖于 当nN 时 均有 n xa 3 利用N 语言证明数列的极限的存在性 关键是将 n xa 适当放大 找 到自然数N N的表达式越简单越好 没有必要找到的N总是满足 n xa 的 最小的自然数 4 理解数列 n x不以a为极限的分析表达 存在 0 0 对于任意的正整数N 总存在一项 n x nN 使得 0 n xa 二二 精讲例题与分析精讲例题与分析 一 基本习题讲解 1 求 1 xy 的定义域和值域 解解 若x为无理数 用不同的有理数逼近求值时不惟一 故x为有理数 即具 有 m n n m互质 形式 若m为偶数 由于 n m互质 则n为奇数 若m为奇数 要使得定义有意义 则n为奇数且与m互质 所以其定义域为形式 21 l k l k为整数且 21lk 互质 值域为 1 1 2 证明 yxx 为周期函数 并求出它的最小正周期 证证 x表示不超过x的最大整数 设周期为T 则 xxxTxT 高等数学习题课讲义上册 2 得 TxTx 可得到T为任意整数 故最小正周期为 1 3 证明 若lim n n xa 则lim n n xa 并举例说明若lim n n xa 则 lim n n xa 未必成立 证证由lim n n xa 知 对 0 0 N 使 对 一 切Nn 恒 有 n xa 又由于 nn xaxa 所以lim n n xa 举例举例 设 1 n n x 有 lim1 n n x 而极限limlim 1 n n nn x 不存在 二 拓展习题讲解 1 给出函数 f x在区间 a b内有界 数列 n x有界 数列 n x无界的定义 解解 f x在区间 a b内有界 即存在0M 使得对任意 xa b 都有 f xM 即 Mf xM 数列 n x有界 即存在实数0M 对于任意的自然数n 均有 n xM 数列 n x无界 即对于任何实数0M 均存在自然数n 依赖于M 使得 n xM 2 lim n n xa 的定义与下面的叙述是否等价 1 0 N 当nN 时 恒有 n xa 解解 是 由定义可以得到 2 0 N 当nN 时 恒有 n xaM 其中M是与 无关的 正数 解解 是 3 0 满足 n xa 的n至多有有限多个 解解 是 4 0 满足 n xa 的n有无限多个 高等数学习题课讲义上册 3 解解 否 如数列 2 1 n x 21 1 n x n 满足条件 但是该数列发散 5 N 0 当nN 时 恒有 n xa 解解 否 是充分条件 但非必要条件 6 任意的正整数m 存在N nN 均成立 1 n xa m 解解 是 3 设1a 求证 lim1 n n a 证证 由均值不等式 11 1 111 nn ana aa nn 由于1a 所以1 n a 有 11 011 n ana a nn 从而 对于0 取 1 1 a N 当nN 时 有 1 1 1 nn a aa n 注注 这道题的证明不同于教材上的方法 4 证明 lim1 n n n 证证 设 n n an 令1 nn a 得0 n 且 22 1 1 1 1 2 2 nnn nnnnnn n nn n an 当2n 时 1 2 n n 有 22 22 1 44 n nnn nn aa 即 22 22 1 44 n n nn nn 从而 2 01 n n n 对于0 取 2 4 1N 当nN 时 有 2 1 1 nn nn n 高等数学习题课讲义上册 4 注注 是否有类似于第 3 题的方法来证明此题 提示 是的 注意到 1 222 1 1 11 1 n n nn nnn nn L成立 5 设lim n n xa 试证明 12 lim n n xxx a n 证证 可设0a 否则设 nn yxa 由lim0 n n x 0 存在正整数 1 N 当 1 nN 时 有 2 n x 当 1 nN 时 11 1 1111 1111 2 NN nn iiii iii Ni xxxx nnnn 因为 1 1 1 N i i x n 为固定常数 故存在 2 N 当 2 nN 时 有 1 1 1 2 N i i x n 令 12 max NN N 当nN 时就有 1 1 n i i x n 注注 这道题也可以由下一课提到的施笃兹 Stoltz 定理证明 三三 课外练习课外练习 1 已知 f x满足条件 1 c af xbf xx 其中 a b c为常数 且 ab 求 证 f x是奇函数 2 用极限的定义证明 2 3 22 53 lim n n n 3 设数列 n x有界 又0lim n n y 证明0lim nn n yx 4 证明 1 ln lim0 n n n 2 1 lim 1 1 n n n 5 用N 语言描述 1 lim n n x 2 n x 不以a为极限 高等数学习题课讲义上册 5 从而证明 sinn不以任何数a为极限 6 证明 1 lim0 n n n 7 设lim n n xa 且0 n x 1 2 n 试证明 12 lim n n n x xxa 第第二二课课数列收敛数列收敛的的判别方法判别方法 一一 本课重点内容提示本课重点内容提示 1 数列收敛的判别法则 1 用N 语言证明数列的极限 用于已知收敛数列的证明 2 夹挤定理 3 单调有界数列必收敛 4 柯西收敛原理证明数列的极限 掌握正面反面的分析表达 5 施笃兹 Stoltz 定理 了解 2 上 下 确界的定义及确界唯一性定理 了解 3 收敛数列的性质 1 唯一性 收敛数列的极限值是唯一的 2 有界性 若数列有极限 则该数列有界 3 保序性 若两个数列的极限值有序 则从某一项起 两个数列的项保持 相同的序 4 若数列 n x收敛 则其任何子数列 n k x均收敛 二二 精讲例题与分析精讲例题与分析 一 基本习题讲解 1 证明 lim0 1 n n n a a 证证 令1 0 a 则 2 1 1 2 nn n n a 所以 2 2 0limlim0 1 n nn n an 由夹挤定理 得lim0 n n n a 高等数学习题课讲义上册 6 2 证明 2 11 lim 1 n n e nn 证证 注意到 2 111111 1 1 1 1 1 1 nnnn nnnnn nn 而 11 lim 1 lim 1 1 nn nn e nn 从而 2 11 lim 1 n n e nn 注注 也可以凑成 1 lim 1 n n n 形式 直接得到 3 利用单调有界性证明数列 222 111 11211 n x n 数列收敛 证证 数列的单调增加性显然 下面证明是有界的 由于 1111 1 12 11 2 1 n x nnn 由数列单调有界必收敛 可得该数列收敛 4 证明 若数列 n x无界 则 n x必有一子数列 n k x存在 使得lim n k n x 证证 由数列 n x无界 即对于任何0M 均存在正整数m使得 m xM 先取 1 1M 则存在 1 k 使得 1 1 k xM 且当 1 mk 时 均有 1 mk xx 取 1 2 1 k Mx 则存在 2 k 使得 2 2 k xM 且当 2 mk 时 均有 2 mk xx 取 1 1 l lk Mx 则存在 l k 使得 l kl xM 且当 l mk 时 均有 l mk xx 这样一直做下去 就得到一个子列 n k x 且满足 121 121 ll klklkk xMxMxMxM 且lim l l M 于是对于任意的0M 存在N 使得 N MM 当nN 时 有 nk nN xMMM 5 证明 单调数列若有一个子数列收敛 则该单调数列也收敛 证证 假设数列 n x单调增加 且其子列 n k x收敛于a 则由定义 0 存 在正整数 1 N 当 1 mN 时 有 m k xa 高等数学习题课讲义上册 7 对于上述的0 取 1 N Nk 当nN 时 由于 12 kk 故存在 m mN 使得 1mm knk 由于 mN 故 1 mm kk xaxa 又 1mm knk xxx 得到 n xa 从而对于所有的nN 上式均成立 于是得证 二 拓展习题讲解 1 设01 求证 lim 1 0 n nn 证证 由于 1 111 0 1 1 1 1 1 nnnn nnn 又10 故 1 1 lim0 n n 于是由夹挤定理得到证明 2 证明 1 1 1 n n x n 单调增加且有上界 证证 同一般教材上的证明方法 2 1 1 1 n n x n 单调减少有下界 证证 由于 2 222 11 1 11 111 nn nn nnnn 即 1 11 nn nnn nnn 从而 11 111 1 1 11 nnnn nn nnnn 所以 1nn xx 且 1 1111 1 1 1 12 nn n xn nnnn 3 1 11 lim 1 lim 1 nn nn e nn 证证 由 1 2 知二数列均收敛且极限值相同 定义为e 3 设 111 1ln 23 n xn n 1 2 n 试证明 n x收敛 证证 由于 111 ln 1 1nnn 自己证明这个结果 故 1 11 lnlnln0 111 nn nnn xx nnnn 高等数学习题课讲义上册 8 从而数列单调减少 又根据 111 ln 1 ln n nnn 得 111 1lnln 1 lnln0 2 n n xnnn nn L 则有界 由单调有界必有极限法则可证明 n x收敛 4 试叙述 某数列不满足 Cauchy 收敛准则 的分析定义 解解 存在 0 0 对于任意的正整数N 总存在两项 mn xx m nN 但是 0 mn xx 或者 存在某个 0 0 不会有这样的正整数N 使当任何 m nN 时 有 0 mn xx 5 利用 Cauchy 收敛原理证明 数列 1 1 1 n i n i x i 收敛 证证 正整数 p n 1 1 1 np i npn i n xx i 当1n 为偶数时 上式为 1111 1 121 n p nnnpn 当1n 为奇数时 上式为 1111 1 121 np nnnpn 故0 取 1 N 当nN 时 对于任意的正整数p 均有 1 1 npn xx n 三三 课外练习课外练习 1 求下面数列的极限 1 sin lim ln n n nn 2 2 1 lim 1 n n n 3 lim32 nnn n 4 2 lim 1 cos n n n 5 nnnn n 10321lim 6 limarctan n n nn 高等数学习题课讲义上册 9 7 设 2 1 0 2 nn n n x axx 求极限lim n n a 2 给定正数 1 令 2 1 1 n nn 证明 n n lim存在 并求其值 3 设 1 1x 1 23 nn xx 1 2 n 试证明 lim3 n n x 4 设数列 n x满足 1 22 01 2 n nnn xxxx 1 2 n 试证明 lim n n x 存在 并求之 5 设 11 10 6 1 2 nn xxxn 试证明数列 n x的极限存在 并求其 极限 6 设0 n x 1 2 n 且 1 lim n n n x a x 试证明 lim n n n xa 7 证明有关数列及其子列的一些性质 1 lim nn n xax 的任一子列收敛到a 2 单调数列若有一个子数列收敛 则该单调数列也收敛 3 数列 n x收敛 其奇数项子列和偶数项子列收敛到同一极限 4 若数列 n x有界 则 n x必有收敛子列 5 若数列 n x无界 则 n x必有一子数列 n k x存在 使得lim n k n x 8 设数列 n x满足如下条件 存在常数0 M 使得对于任意的正整数n 都有 Mxxxxxx nn 12312 试证 n x收敛 9 设 21 lim n n xa 2 lim n n xb 试证 2 lim 21 ba n xxx n n 高等数学习题课讲义上册 10 第第三三课课区间套定理区间套定理 致密性定理致密性定理 函数极限的定义函数极限的定义 一一 本课重点内容提示本课重点内容提示 1 实数系的其他两个定理 1 区间套定理 注意区间套的定义 一是闭区间列具有嵌套关系 二是区 间长度趋于 0 例如 1 0 n 为一开区间套 不满足区间套定理 11 3 4 nn 为一闭区间列 且具有嵌套关系 但其长度不趋于 0 故不满足 2 致密性定理仅作了解 2 函数极限的定义的理解 1 定义中的 与数列的极限中的N的位置和作用的比较 2 在点 0 x 有无极限与 f x在 0 x 处有无定义没有关系 注意与连续性 一致连续的定义的区别和联系 3 函数的左右极限的定义 0 00 lim 0 0 xx f xAf xf xA 4 f x在 0 x 处没有极限的分析表述 如果存在 0 0 对于任何0 总存在一点x 使得 0 0 xx 但是 0 f xA 就称 f x在点 0 x 处不以A为极限 如果 f x在点 0 x 处不以任何实数A为极限 则称 f x在 0 x 点没有极限 3 求分段函数在分段点处的极限 当函数在分段点两侧的表达式不一样的时 候 应该利用左极限和右极限求之 二二 精讲例题与分析精讲例题与分析 一 基本习题讲解 1 若 11 0 xa yb ba 11 2 nn nnnn xy xx yy 用区间套定理证明 数列 nn xy都收敛 且有相同的极限 证证 由条件易知 12111nn byyyxxa LL 从而 高等数学习题课讲义上册 11 1122 nn x yxyxyLL 构成了一个嵌套的闭区间列 并且 11111111 1 1 2222 nnnnnn nnnnn n xyyxyxyx yxxxx L 利用夹挤定理 得到 11 11 0lim limlim0 22 nn nn nnn yxba yx 从而上述的闭区 间列构成了一个区间套 利用区间套定理 得到数列 nn xy都收敛 且有相同 的极限 注注 此题亦可利用 单调有界数列必收敛 得到证明 此处略 2 利用 Cauchy 收敛原理证明数列 222 111 1 23 n x n 为收敛的 证证 任意正整数 m n mn 222 1111111 1 2 11 mn xx nnmnnmm 从而就有 111 mn xx nmn 故0 取 1 1N 当nN 时 对于任意的正整数 m mn 均有 1 mn xx n 3 用 语言证明 1 2 1 1 lim 1 x x 2 0 00 lim 0 xx xxx 证证 1 0M 取 1 M 于是当0 1 x 时 有 2 1 1 M x 2 0 取 0 x 则当 0 0 xx 时 有 00 0 00 xxxx xx xxx 成立 二 拓展习题讲解 高等数学习题课讲义上册 12 1 证明 0 1 lim sin0 x x x 证证0 取 于是当0 x 时 有 1 sin xx x 注注 这个练习为无穷小量和有界变量的乘积的极限为 0 的一个特例 2 证明 0 sin lim1 x x x 证证 见教材上的证明方法 3 证明 sin lim0 x x x 证证0 取 1 X 于是当 xX 时 有 sin11 x xxX 4 求证函数 1 sinf x x 在点0 x 处没有极限 证证 f x在 0 x 点没有极限的分析表述 A R 如果存在 0 0 对任何0 总存在一点x 使得 0 0 xx 但是 0 f xA 就称 f x在点 0 x 处不以A为极限 如果对于任意的A R 上述结论都成立 则称 f x在 0 x 点没有极限 下面给出证明 对于任意的A R 先设0A 取 0 1 2 则对于任意的0 取 0 n 足够大 可以使得 0 1 21 2 x n 因而有 0 1 sin 1 1AA x 如果0A 可以取 0 1 2 2 x n 按照定义知 函数 1 sinf x x 在点0 x 处没有极限 三三 课外练习课外练习 高等数学习题课讲义上册 13 1 用定义证明下列函数的极限 1 0 1 lim 3 x x 2 8 13 lim 3 x x 2 证明 1 11 lim 11 0 11 x xx 3 证明 limlnln 0 xa xa a 和lim xa xa ee 从而问 若lim 0 xa f xA lim xa g xB 是否有 lim g x B xa f xA 试找出成立的条件 4 利用左右极限求函数的极限 1 4 0 2sin lim 1 x x x ex x e 答案 1 5 试证明 Dirichlet 函数 D x在任何 0 x 点都没有极限 6 用区间套定理证明 闭区间 a b上的全体实数排不成一个数列 用反 证法 第第四四课课函数极限的性质函数极限的性质及其运算及其运算 一一 本课重点内容提示本课重点内容提示 1 函数极限的性质 1 函数极限的唯一确定性 这和数列极限的性质是相同的 2 函数极限的局部有界性 空心邻域内有界 3 函数极限的保序性 也称 保号性 2 海涅 Heine 定理 1 给出了函数极限和数列极限的一个等价关系 2 0n xx 这一点正是对应了函数极限中的 f x在 0 x 点可能无定义 3 利用 Heine 定理 构造数列 可以证明函数极限不存在 3 函数极限的判定方法 特殊函数的极限 1 夹挤定理 Cauchy 准则同数列的极限 2 利用 Heine 定理判定 3 两类特殊函数的极限 高等数学习题课讲义上册 14 i 0 sin lim0 x x x ii 1 lim 1 x x e x 4 无穷小量和无穷大量 1 以零为极限的变量为无穷小量 2 无穷大量和无界是两个不同的概念 注意区别 3 函数 数列 的极限的无穷小量表示 0 0 lim 0 xx f xAf xAa axx 4 无穷小量的比较实际上是 0 0 型不定式的极限 不同的极限值表示两个无 穷小量的不同关系 高阶无穷小量 同阶无穷小量 等价无穷小量等 在求函数 的极限中 可以利用等价无穷小量进行替换 使求极限的运算变得简单 但是这 种替换方法使用时应特别小心 因为等价无穷小量是一个相对的量 并不是惟一 的 选取哪个等价无穷小量替换 取决于所求的函数的极限 更详细的内容见第 十一课 第十二课的内容 二二 精讲例题与分析精讲例题与分析 一 书后习题讲解 1 求下列函数的极限 1 lim x x xa xa 2 1 lim 1 tan 2 x x x 解解1 22 2 222 lim lim 1 lim 1 1 x a xxaaa a xxx xaaaa e xaxaxaxa 2 原式 11 1 cos 1 2 2 lim 1 cotlim 1 1 2 sin 2 xx x x xx x 2 说明tansinxx 和sin x当0 x 时 两个无穷小量的关系 解解 由于 00 tansin1 cos limlim0 sincos xx xxx xx 故前者为后者的高阶无穷小量 3 设 2 2 2 35 1 ax f xbx x 当x 时 a b取何值 f x为无穷大量 a b 取何值 f x为无穷小量 解解 通分 得到 32 2 3 5 33 1 bxaxbx f x x 高等数学习题课讲义上册 15 1 如果lim x f x 则30b 得0 ba 任意 2 如果lim 0 x f x 则30 50ba 得0 5ba 二 拓展习题讲解 1 利用 Cauchy 收敛原理叙述 f x在 处极限存在 解解0 都存在0X 使得当任意两点 xX xX 时 就有 f xf x 2 证明 0 1 limln 0 x x a a a x 从而试求 i 1 lim 0 0 n n n ab ab a ii lim 0 0 2 nn n n ab ab iii 1 0 lim 0 0 0 3 xxx x x abc abc 证证 设1 x ya 则 1 000 111 limlimlimln log 1 log log 1 x xyy aa y a ay a xye y 利用 Heine 定理 可知 i ii 中的数列的极限可以看做是相应的函数的极 限 如果对应的函数的极限存在 则数列的极限也存在 且为同一极限 见课外 练习 3 这种求极限的方法就是 利用函数的极限求数列的极限 而基础是 Heine 定理 i 111 1 00 11 lim lim 1 x x ab xx xbaxa xx abb b aa ii 2 12 22 00 2 lim lim 1 22 xx xx ab xxxx xabx xx abab ab 从而可得到前两小题的极限值 至于第三小题 容易得到 3 13 3 33 00 3 lim lim 1 33 xxx xxx abcxxxxxx xabcx xx abcabc abc 高等数学习题课讲义上册 16 注注 如下的例子均是该题的特殊情况 1 0 2 1 lim 1 0 a a x x x 2 lim 1 0 nn n aa 3 1 12 0 lim xxx n x x aaa n L 1 0 n aa L且不为 1 3 求下列函数的极限 1 0 1 lim x x x 表示 下取整 函数 2 1 1 0 1 lim 2 x x x x x 3 23 1 sinlim 2 2 x x x 4 1 1 1 lim 2 x x x x x 5 2 1 0 lim cos x x x 6 21 264 lim 3 n n n 解解 1 根据定义 可知 111 1 xxx 所以当0 x 时 有 1 1 1xx x 当0 x 时 有 1 1 1xx x 由夹挤定理 知其极限为 1 2 1 1 0 11 lim 22 x x x x x 较易得 3 22 222 111211 limsinlim 32 sinlimsin 323323323 xxx xx xxx 4 1 12 1 21 11 lim lim 1 1 22 x xx x x xx x xx 5 2 2 222 1 2sin 11 12 2sin 22 22 000 lim cos lim 12sin lim 1 2sin 22 x x xxx xxx xx xe 6 n是离散的 利用 Heine 定理 为此先计算 21 264 lim 3 x x x xR 令 1 t x 则由 0 xt 高等数学习题课讲义上册 17 22 00 3 2 64 12 ln64 64 1 33 0 2 64 64 1 lim lim 1 33 64 1 lim 1 16 3 t t tt tt tt tt tt t t e 4 证明 sinyx 当x 时极限不存在 证证 利用 Heine 定理的逆否命题 构造数列 可以证明函数的极限不存在 只 要注意到两个序列 1 2 2 n 和 1 2 2 n 都以 为极限 而与它们对应的函 数值的序列却趋于两个不同的极限 1 sin 2 1 2 n 1 sin 2 1 2 n 注注 同理 11 sin cos xx 当0 x 时极限均不存在 5 求极限 2 0 1 3sincos lim 1 cos ln 1 x xx x xx 解解 22 0000 11 3sincoscos 3sin1 limlim limlim 1 cos ln 1 1 cosln 1 3ln 1 xxxx xxx x xx xxxxx 00 1 cos 3sin133 limlim 10 11 2322 ln 1 ln 1 xx x x x xxx xx 其中利用到了两个特殊函 数的极限 三三 课外练习课外练习 1 求下列函数的极限 1 1 sin lim sin x a xa x a 2 lim sin1sin x xx 3 tan 2 lim sin x x x 4 2 1 0 1 lim 1 x x x x xa xb 5 2 1 0 sin lim x x x x 6 3sec 2 lim 1 cos x x x 7 tan 2 1 lim 2 x x x 8 x x x cos1 1 0 coslim 高等数学习题课讲义上册 18 9 0 arctan arctan lim x xaa x 10 2 2 411 lim sin x xxx xx 11 22 2 0 lim 0 0 xx xx x ab ab ab 12 11 lim sincos x x xx 2 1 已知 2 lim 1 0 x xxaxb 求a b的值 2 已知 2 0 1 lim 0 1 x x axb x 求 a b 3 求 21 lim tan n n n n n为自然数 答案 1 3 e 4 证明 设 0 lim xx f xA 则对任何趋向于 0 x 的数列 0 1 2 nn xxx n 都有lim n n f xA 本题可以作为函数极限的一个性质 5 设 0 lim xx f x 试证明 0 ln lim0 xx f x f x 6 思考题 无穷多个无穷小量的乘积还是无穷小量吗 第第五五课课连续函数的概念及性质连续函数的概念及性质 一一 本课重点内容提示本课重点内容提示 1 函数在某一点连续 左右连续的定义 1 注意函数在某一点的连续性和某一点的极限的定义的区别 2 函数 f x在点 0 x 连续 即 f x在 0 x 的极限值存在且等于 f x在 0 x 点的 函数值 0 f x 3 如果 0 0 0 lim xx f xf x 则称 f x在 0 x 点左连续 如果 0 0 0 lim xx f xf x 则称 f x在 0 x 点右连续 2 函数在区间上连续的定义 三类间断点的定义 1 函数 f x在开区间 a b内连续 若函数 f x在开区间 a b内的每一 高等数学习题课讲义上册 19 点都连续 2 函数 f x在闭区间 a b上连续 若函数 f x在开区间 a b内连续 且 在左端点xa 处右连续 在右端点xb 处左连续 3 间断点分三类 可去间断点 极限存在 没有定义 第一类不连续点 左右极限存在但不相等 第二类不连续点 左右极限至少有一个不存在 3 掌握函数的连续性 并能利用函数的连续性求函数的极限 1 如果 yf x 在点 0 x 处连续 由连续性的定义可知 0 0 lim xx f xf x 2 如果 ug x 在点 0 x 处连续 yf u 在点 00 ug x 处连续 由复合函 数的连续性可知 yf g x 在点 0 x 处连续 因此 00 0 lim lim xxxx f g xfg xf g x 二二 精讲例题与分析精讲例题与分析 一 基本习题讲解 1 f x在 0 x 点有定义 但是在这一点不连续的分析表述 存在某个 0 0 对于任意的0 都存在一点x 满足 0 xx 但是 00 f xf x 2 证明 若函数 f x和函数 g x都在区间 a b内连续 则函数 min xf x g x 和 max xf x g x 也在 a b内连续 证证 方法一 注意到 1 min 2 f x g xf xg xf xg x 及 1 max 2 f x g xf xg xf xg x 由 f x g x的连续性 可得 xx 在 a b内连续 方法二 仅证明 max xf x g x 在 a b内连续 对于任意的 0 xa b 则 f x和 g x都在 0 x 点连续 故对于任意的0 存在 1 0 当 10 xOx 时 有 高等数学习题课讲义上册 20 0 f xf x 0 g xg x 1 如果 00 f xg x 根据连续函数的 保号性 则对于上述的0 存 在一个邻域 20 Ox 当 20 xOx 时 有 f xg x 此时取 12 min 当 0 xOx 时 有 00 xxf xf x 2 如果 00 f xg x 对于上述的0 此时取 1 当 0 xOx 时 有 0 0 0 f xf xf xg x xx g xg xf xg x 3 如果 00 f xg x 同 1 可得到结果 再由 0 x 的任意性 可得 max xf x g x 在 a b内连续 3 求下列函数的间断点 并指出间断点的类别 1 1 1 1 x x f x e 2 11 1 11 1 xx f x xx 解解 1 当0 1xx 时 函数有意义 且为初等函数 故为连续的 当0 x 时 函数无意义 且 00 lim lim xx f xf x 第二类间断点 当1x 时 函数无意义 且 11 lim 1 lim 0 xx f xf x 为第一类间断点 2 当0 1 1xxx 三者之一时 函数没有意义 而在其它点是连续的 由于 00 1 lim 1 lim 1 1 xx x f xf x x 故0 x 为可去间断点 由于 11 1 lim 0 lim 0 1 xx x f xf x x 故1x 为可去间断点 由于 1 1 lim 1 x x f x x 故1x 为第二类间断点 4 若 00 lim 0 lim xxxx u xav xb 证明 0 lim v x b xx u xa 证证 由于 ln v x v xu x u xe 并且 ln x ex 都是连续函数 所以 高等数学习题课讲义上册 21 0 00 lim ln ln ln lim lim xx v xu x v xv xu xbab xxxx u xeeea 这里用到了连续函数的性质和函数乘积的极限的运算法则 注注 这个问题解决了前面学习过的一道类似的思考题 第三课课外练习 3 5 求极限 1 2 2 0 coscos lim x xx x 2 2 lim 1 x xxx 解解 1 22 222 2222 00 2sinsin coscos11 22 limlim 222 22 xx xxxx xxxxxx xxxxxx 2 2 2 1 lim 1 lim 2 1 xx x xxx xx 二 拓展习题讲解 1 若 0 f x在点 0 x 连续 并且 0 0f x 证明 存在 0 x 的邻域 0 O x 当 0 xO x 时 0f xc c为某个常数 注注 这是连续函数的一个性质 保号性 证证 f x在 0 x 连续 任意0 存在0 与 0 x 有关 当 0 xx 时 有 0 f xf x 现取 0 2 f x 则存在邻域 0 依赖于 0 0 2 f x x 使得当 0 xx 时 均有 0 0 0 2 f x f xf x 2 说明sgn sin yx 的连续性 解解 由画图形及简单计算 可知 0 1 2 xkk 为其第一类不连续点 3 假设对于所有 1 1 x 均有 f xx 证明 f x在 0 点连续 证证 易知 0 0f 任意的0 1 取 当 0 x 时 有 0 f xff xx 4 设单调函数 f x可以取到 f a和 f b之间的所有函数值 求证 f x在 a b上连续 高等数学习题课讲义上册 22 证证 用反证法 假设 f x在区间 a b上单调增加 且存在一点 0 xa b f x 在该点不连续 即存在某个 0 0 对于任意的0 都存在一点 x 满足 0 xx 且 xa b 但是 00 f xf x 对于上述的 0 0 则存在 12 x x 使得 100200 max min f xf af xf xf bf x 取 10120 min xx xx 则存在 1 xa b 满足 1 01 xx 但是 1 00 f xf x 从而得到 1 002 f xf xf x 或者 1 001 f xf xf x 由单调性 得 1 2 xx 或者 1 1 xx 这与条件 1 01 xx 推出的 1 12 xxx 矛盾 三三 课外练习课外练习 1 利用初等函数的连续性和重要极限求下列极限 1 ln1 lim xe x xe 2 lim 1 0 n n naa 3 0 limcos x x x 4 1 1 0 lim 21 x xx x e 5 ln 1 0 lim cos x x x x 6 2 2 sin 1 lim 3 x x x x x 2 判断下列函数在0 x 点是否连续 若不连续指出间断点的类型 1 sin 0 10 x x f xx x 2 1 1 0 1 00 x x f x e x 3 1 2 1 0 0 x xx f x ex 4 2 1 sin0 00 xx f xx x 3 讨论函数 2 1 lim 1 n n x f x x 的连续性 4 讨论函数 1 sin0 0 x xx f xx ex 在0 x 处的连续性 提示 当0 1 时连续 0 1 时为第一类间断点 0 时 高等数学习题课讲义上册 23 00 f 不存在 故为第二类间断点 5 讨论函数 tan 4 1 x x f xx 在区间 0 2 内的间断点 并讨论其类型 6 试指出 Dirichlet 函数 D x和 Riemann 函数 R x的连续点和间断点 第第六六课课闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一致连续一致连续 一一 本课重点内容提示本课重点内容提示 1 闭区间上连续函数的性质 1 闭区间上的连续函数必有界 2 闭区间上的连续函数存在最大值和最小值 3 闭区间上的连续函数必一致连续 4 零点存在定理 介值定理 可用来证明方程的解存在 2 一致连续 1 连续与一致连续的区别 函数 f x在区间I上为一致连续 如果对于每一个0 存在0 使得 当 x xI 且 xx 时 成立 f xf x 一致连续是一个整体概念 连续是一个局部概念 函数的极限 连续 区间上连续 一致连续 这四个概念从定义出发逐步的 深入的比较和理解 2 注意一个例子 1 x 在 0 1 区间上不一致连续 由于定义域区间不是闭区间 它虽然连续 但 既不是有界的 也不一致连续 二二 精讲例题与分析精讲例题与分析 一 基本习题讲解 1 证明 若函数 f x在区间 a b内连续 又 12n axxxb 则必 有 1 n x x 使得 12 n f xf xf x f n 高等数学习题课讲义上册 24 证证 函数 f x在区间 a b内连续 故函数 f x在区间 1 n x x内连续 f x在 区间 1 n x x上有最大值和最小值 则存在两数 m M 对于任意的 1 n xx x 满 足 mf xM 从而 12 n f xf xf x mM n 由介值定理 存在 1 n x x 使得 12 n f xf xf x f n 2 试定义 0 f的值 使得 f x在0 x 点连续 1 sincosf xx x 解解 要使得 f x在0 x 点连续 即 f x在0 x 点的极限值等于该点的函数 值 由于 00 1 lim limsin cos0 xx f xx x 故定义 0 0f 即可 3 证明 2 sinf xx 在 上不一致连续 证证 首先给出 f x在区间I上不一致连续的定义 至少存在一个 0 0 使得对于任意的0 无论取多么小 总可以找到两 点 12 x xI 满足 12 xx 但是 120 f xf x 下面给出证明 取 0 1 2 及两列数 12 1 22 nn nn xx 任意的0 总存在两点 12 nn xx 使得 12 nn xx 取n充分大即可 但是 12 0 1 nn f xf x 4 证明 若 f x在 a 上连续 又lim x f x 存在且有限 则 f x在 a 上一致连续 证证 由于lim x f x 存在且有限 设为A 则对于0 存在正数Ma 当 xM 时成立 1 2 f xA 又根据闭区间上的连续函数必一致连续知 f x在 1 a M 上一致连续 因此对于上述 存在0 使得当 1 x xa M 且当 xx 时 成立 f xf x 不妨假定上述1 有结论 当 x xa 且 xx 时 成立 高等数学习题课讲义上册 25 f xf x 实际上 如果 1 x xa M 则已无问题 又若 x xM 则有 22 f xf xf xAAf x 由于 1xx 只可能发生以上两种情况 二 拓展习题讲解 1 设函数 f x于区间 0 1 上连续 且对任意的 0 1 x 都有 0 1 f x 求证 存在 0 0 1 x 使得 00 f xx 证证 若 0 0f 或 1 1f 则命题成立 否则 令 g xf xx 则 g x在 0 1 上连续 由于 0 0 1 1ff 从 而 0 0 1 0gg 由零点存在定理 存在 0 1 使得 0g 命题得证 2 证明 若函数 f x于区间 a 上连续 且lim x f xA A为有限数 则此函数在已知区间上为有界的 证证 由于lim x f xA 取1 则存在正数0X 使当xX 时 恒有 1f xA 所以 1f xA 由于 f x在 a X上连续 因而有界 即存在常数 1 0M 使对于任意的 xa X 恒有 1 f xM 取 1 max 1 MMA 则当 xa 时 有 f xM 三三 课外练习课外练习 1 判断下列函数在指定区间上是否一致连续 1 f xx 0 x 提示 可以利用下面第 3 题的结果 分别在 0 1 和 1 上考虑即可 2 sinf xxx x 2 设有方程10 n xnx 其中为n正整数 证明此方程存在惟一正实数根 n x 高等数学习题课讲义上册 26 3 若函数 f x在区间 a b和 b c上分别为一致连续 证明 f x在 a c上 一致连续 4 有限开区间 a b上的连续函数 f x在 a b上一致连续的充分必要条件 是存在两个有限的单侧极限 0 f a 和 0 f b 5 证明对 2 nNn方程1 1 n k k x有唯一实根 1 0 n 并证 n n lim存 在 且求其值 第七课第七课导数的定义导数的定义 基本基本运算运算 一一 本课重点内容提示本课重点内容提示 1 导数 左右导数的定义 1 导数是函数的因变量改变量与自变量改变量的比值的极限 即函数的变 化率 因此 导数是求一种特殊的函数的极限 2 左右导数反映某一点 一元函数 的左右两个不同方向的函数的变化率 情况 如果均存在且相等 则函数在该点可导 反之 就是不可导 3 导数的几何意义 瞬时速度 曲线在某一点的切线的斜率 4 函数在某一点是否可导 只与该函数在该点附近的性态有关 因此与函 数的极限和连续性相似 可导性是一种局部性概念 2 导数和连续的关系 1 导数在某一点存在 由定义出发 可得函数在该点连续 但是连续函数 不一定可导 例如 yx 在0 x 点连续 但是不可导 因此 导数是反映函 数的某种光滑性质的 有 尖点 的函数在 尖点 处一定不可导 2 从定义还可以看出 只要函数在 0 x 的左右导数存在 不一定相等 同 样可以证明函数在 0 x 点连续 见本课练习 3 掌握基本初等函数的导数及导数的四则运算 4 对于分段函数 如果判断其可导性 必须先判断其连续性 然后严格按照 左 右导数的定义去求左 右导数 从而判断其可导性 高等数学习题课讲义上册 27 二二 精讲例题与分析精讲例题与分析 一 基本习题讲解 1 函数 1 sin0 00 xx f xx x 在0 x 是否连续 是否可导 解解 易知函数在0 x 点是连续的 求其左右导数 判定是否可导 由于 0 1 sin0 lim x x x x 0 1 sin0 lim x x x x 的极限值均不存在 可知左右导数 不存在 故在0 x 点不可导 2 求下列函数的导数 1 2 35cosyxx 2 2 ln 32 x yex 3 xab abx y bxa 解解 1 2 3cos 2 35sin cos 2 35 x yxxx x 2 22 2 2ln 32 32 xx yexe x 3 1 1 ln a xabxbxab a aa bxabxabxb ya bb xabxabxaa 11 1 ln a xabxbxab a a abxaabxabx b bxabxabxa 3 设 arctan 1 1 1 42 xx f x x x 求 fx 解解 首先注意到 除去1x 点 函数在定义域上是连续的 当 1x 时为初等函数 所以导数为 1 2 当 1x 时为初等函数 导数为 2 1 1x 下面考虑在1x 处的导数 当1x 时 根据导数的定义来求 00 11 1 1 1 424 limlim 2 xx x fxf xx 高等数学习题课讲义上册 28 000 0 arctan arctan 1 1 1 1 1 4 limlimlim arctan 1 22 lim 2 2 xxx x x x fxfx xxx xx xx x x x 所以在1x 处 其导数存在且为 1 2 当1x 时 由于其不连续 故导数不存在 也可以用左右导数验证之 000 0 arctan arctan 1 1 1 1 1 4 limlimlim arctan 1 22 lim 2 2 xxx x x x fxfx xxx xx xx x x x 000 112 1 1 42422 limlimlim xxx xx fxf xxx 所以在1x 处 函数的导数不存在 4 设 0 0 g xxx f x axbxx 其中函数 g x在 0 x 的左导数存在 问a和b为 何值时 函数 f x在点 0 x 连续且可导 解解 假设 g x在 0 x 处的左导数为 0 gx 由于函数 f x在 0 x 连续 故有 00 000 lim lim xxxx f xaxbaxbg xf x 由于 g x在 0 x 的左导数存在 则 g x在 0 x 点左连续 定义可以证明 或者见拓 展习题 2 即 f x在 0 x 点左连续 从函数 f x在 0 x 点可导 则其右导数存在 其值为左导数的值 故 00 00 0 00 limlim xxxx f xf xaxbaxb agx xxxx 根据以上两个式子 就可以得到 当 0000 agxbg xgx x 时满足题 意 高等数学习题课讲义上册 29 5 设 2 1 cos 02 x 0 xx fx xx 讨论 xf在0 x及1 x处的连续性 和可导性 解解 x xxf 1 cos 2 是初等函数 故在1 x处连续且可导 其导数可由求导公 式求出 在0