2012宁夏石嘴山市第二次联考数学试题(文科)全解全析.pdf

2012 新课标数学模拟试题 石嘴山市光明中学 潘学功 第 1 页 共 10 页 夏回族自治区石嘴山市 2012 2012 届高三第二次联考数学试题 届高三第二次联考数学试题 文科 文科 全 解 全 析全 解 全 析 一 选择题 1 设集合 2 Ax x 1 0 4 x Bx x B 2 x x C 24 xx D 14 xx 解析解析 此题考察简单分式不等式的解法和集合的运算 因为 14 Bxx 所以 AB 24 xx 因此输出的 4 P 故选择 C 7 已知命题 p m n为直线 为平面 若m n n 则m 命题q 若a b 则ac bc 则下列命题为真命题的是 A p 或q B p 或q C p 且q D p 且q 解析解析 若m n n 则m 也可能m 所以命题 p 是假命题 若a b 当 0 c 时 acbc 当 0 c 时 acbc 所以在犯错误的概率不超过 0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别 有关 或者说有 99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 故选择 C 11 已知函数 f x 是 上的偶函数 若对于 0 x 都有 2 f xf x 且当 0 2 x 时 2 log 1 f xx 则 2012 2011 ff 的值为 A 1 B 2 C 2 D 1 解析解析 由已知 f x 是偶函数且是周期为 2 的周期函数 则 2 2012 2012 0 log 10 fff 2 2011 1 log 21 ff 所以 2012 2011 0 11 ff 故选择 A 12 已知点 1 F 2 F 分别是双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的左 右焦点 过 1 F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A B 两点 若 ABF2 为锐角三角形 则该双曲线的离心率e的取值范围是 A 1 1 2 B 1 3 C 2 1 D 1 解析解析 如图 设 0 Ac y 0 0 y 因为点 A 在双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 上 代入得 2 2 0 22 1 y c ab 解得 24 22 0 22 1 cb yb aa 2 0 b y a 2012 新课标数学模拟试题 石嘴山市光明中学 潘学功 第 4 页 共 10 页 因为 ABF2 为锐角三角形 所以 21 045 AF F 从而 112 AFFF 即 2 2 b c a 2 2 bac 化简得 22 20 caca 两边同除以 2 a 得 2 210 ee 解得1212 e 所以112 e 时 抛物线开口向右 24 pa 2 p a 因此焦点坐标为 0 2 p 0 a 当 0 a 时 抛物线开口向左 24 pa 2 p a 因此焦点坐标为 0 2 p 0 a 15 若两个长方体的长 宽 高分别为 5cm 4cm 3cm 把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体 则最大长方体的外接球的表面积为 cm 2 答案答案 125 解析解析 组成的大长方体的三条棱长分别为 10cm 4cm 3cm 或 5cm 8cm 3cm 或 5cm 4cm 6cm 其中最大长方体的三条棱长分别为 10cm 4cm 3cm 因此最大长方体的外接球的直径 222 21043125 R 所以最大长方体的外接球的表面积为 2 4125 SR 16 函数 x f 的定义域为A 若 A x x 2 1 且 2 1 x f x f 时 总有 2 1 x x 则称 x f 为单函数 例如 函数 1 2 R x x x f 是单函数 下列命题 函数 2 R x x x f 是单函数 若 x f 为单函数 A x x 2 1 且 2 1 x x 则 2 1 x f x f 若 x f 为单函数 则其导函数 0 fx 无解 函数 x f 在某区间上具有单调性 则 x f 一定是单函数 其中的真命题是 写出所有真命题的编号 答案答案 解析解析 错误 如 2 1 x f x f 1 则 1 1 x 2 1 x 显然 12 xx 因此 2 f xx 不是单函数 正确 利用原命题与逆否命题等价可得 错误 如 3 f xx 令 2 30 fxx 得 0 x 错误 如 2 f xx 在 0 具有单调性 而 2 f xx 不是单函数 2012 新课标数学模拟试题 石嘴山市光明中学 潘学功 第 5 页 共 10 页 三 解答题 17 设向量 cos sin 2 sin 3 x x x a cos sin 1 x x b 其中 R x 函数 f xa b 1 求 x f 的最小正周期 2 若 3 f 其中 2 0 求 6 cos 的值 解析解析 1 由题意得 f x 3 sin 2x cos 2x 2sin 2 6 x 故 f x 的最小正周期 T 2 2 2 解 若 f 3 则 2sin 2 6 3 所以 sin 2 6 3 2 又因为 0 2 所以 4 或 5 12 当 4 时 cos 6 cos 4 6 62 4 当 5 12 时 cos 6 cos 5 12 6 cos 43 62 4 18 石头 剪刀 布 是一种广泛流传于我国民间的古老游戏 其规则是 用三种不同的手势分 别表示石头 剪刀 布 两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏 石头 胜 剪刀 剪刀 胜 布 布 胜 石头 双方出示的手势相同时 不分胜负 现假设玩家甲 乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的 1 写出玩家甲 乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果 2 求出在 1 次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率 解析解析 1 玩家甲 乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是 石头 石头 石头 剪刀 石头 布 剪刀 石头 剪刀 剪刀 剪刀 布 布 石头 布 剪刀 布 布 2 由 1 知 基本事件共有 9 个 玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是 石头 石头 石 头 剪刀 剪刀 剪刀 剪刀 布 布 石头 布 布 共有 6 个 所以 在 1 次游戏中玩家甲不输于玩家乙的 概率 62 93 P 19 如图是某直三棱柱 侧棱与底面垂直 被削去上底后的直观图与三视图的侧视图 俯视图 在直观图中 M 是BD的中点 侧视图是直角梯形 俯视图是等腰直角三 角形 有关数据如图所示 1 求出该几何体的体积 4 2 2 2 侧视图 俯视图 直观图 M D E B A C N 2012 新课标数学模拟试题 石嘴山市光明中学 潘学功 第 6 页 共 10 页 2 若N 是BC的中点 求证 AN 平面CME 3 求证 平面BDE 平面BCD 解析解析 为了帮助童鞋们更好地理解此题 现将原直三棱柱的 直观图画出来 其中 BDE 为截面 1 由题意可知 四棱锥 ACDE B 中 平面 ABC 平面 ACDE AC AB 所以 AB 平面 ACDE 又 4 2 CD AE AB AC 则四棱锥 ACDE B 的体积为 4 2 2 2 2 4 3 1 3 1 AB S V ACDE 2 连接MN 则 CD AE CD MN 又 CD AE MN 2 1 所以四边形ANME 为平行四边形 EM AN AN 平面CME EM 平面CME 所以 AN 平面CME 3 AB AC N 是BC的中点 所以 BC AN 又平面 ABC 平面BCD AN 平面BCD 由 2 知 EM AN EM 平面BCD 又 EM 平面BDE 所以平面BDE 平面BCD 20 已知圆C 的圆心为 0 3 有一个公 共点A 3 1 2 1 F F 分别是椭圆的左 右焦点 1 求圆C 的标准方程 2 若点 P 的坐标为 4 4 试探究斜率为 k 的直线 1 PF 与圆C 能否相切 若能 求出椭圆E 和直 线 1 PF 的方程 若不能 请说明理由 解析解析 1 由已知可设圆 C 的方程为 3 5 2 2 m y m x 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程 得 5 1 3 2 m 即 4 3 2 m 解得 5 1 m m 或 3 m 1 m 圆 C 的方程为 5 1 2 2 y x 2 直线 1 PF 能与圆 C 相切 依题意 设直线 1 PF 的方程为 4 4 x k y 即 0 4 4 k y kx 若直线 1 PF 与圆 C 相切 则 5 1 4 4 0 2 k k k 0 11 24 4 2 k k 解得 2 1 2 11 k k 或 当 2 11 k 时 直线 1 PF 与 x 轴的交点横坐标为 11 36 不合题意 舍去 当 2 1 k 时 直线 1 PF 与 x 轴的交点横坐标为 4 0 4 0 4 4 2 1 F F c 由椭圆的定义得 N M E D C A B 2012 新课标数学模拟试题 石嘴山市光明中学 潘学功 第 7 页 共 10 页 2 6 2 2 5 1 4 3 1 4 3 2 2 2 2 2 2 1 AF AF a 2 3 a 即 18 2 a 2 2 2 2 c a b 直线 1 PF 能与圆 C 相切 直线 1 PF 的方程为 0 4 2 y x 椭圆E 的方程为 1 2 18 2 2 y x 21 已知函数 1 ln f xaxx x aR 1 2 2 x 1 当 2 a 时 求 f x 的最大值 2 设 2 ln x x x f x g k 是 g x 图像上不同的两点的连线的斜率 是否存在实数a 使得 1 k 恒成立 若存在 求a的取值范围 若不存在 请说明理由 解析解析 f x 的定义域为 1 2 2 2 11 fxa xx 1 当 2 a 时 在 1 2 2 x 上 2 21 1 0 xx fx x 所以 f x 在区间 1 2 2 上单调递减 故 max 1 ln23 2 f xf 2 存在 1 6 a 符合条件 解法一 据题意在 2 ln yg xf xxx 3 axx 图像上总可以找到一点 000 P xy 使以 0 P 为切点的切线平行图像上的任意两点的连线 即存在 2 1212 00 1212 311 yyg xg x kg xax xxxx 恒成立 因为 0 1 2 2 x 所以 2 0 1 4 4 x 所以 min 2 0 2 3 a x 1 6 故存在 1 6 a 符合条件 解法二 2 ln g xf xxx 3 axx 不妨设任意不同两点 111 P x y 222 P xy 其中 12 xx 则 33 12121212 121212 yyyya xxxx k xxxxxx 22 1212 11 a xxx x 由于 1 k 恒成立 则k 2 2 311 ax 恒成立 知 2 2 3 1 x a 恒成立 因为 2 1 2 2 x 所以 2 2 1 4 4 x 故 6 1 3 1 min 2 2 x x g 当 2 x 2 时 g x 4 当 x 2 时 4 2 x x g 综上可得 g x 的最小值为 4 从而若 f x f x 4 m 即 g x m 对一切实数 x 恒成立 则 4 min x g m 因此m的取值范围为 4 m 法二 1 由 3 x f 得 3 a x 解得 3