三角函数中的求值与化简.doc

三角函数中的求值与化简三角函数中公式较多，这些公式应用非常广泛；对这些公式的考查常以求值与化简的形式出现；这类问题难度虽然不大，但高考卷面上失分情况仍然常见，究其原因，就是对公式记得不熟。熟记公式必须做到：一理解记忆，即根据公式的来龙去脉去记，对每个公式是怎样得到的，要做到心知肚明，如同角三角函数关系式与诱导公式可由三角函数的定义直接推出；两角和差的正、余弦公式、正切公式、倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式、万能公式、辅助角公式可由两角和的余弦公式推出。二公式的结构特点、公式的变形，公式的限制条件也必须牢记。公式记熟了，化简与求值问题就会迎刃而解，下面举例说明。例1（97全国高考题）的值为分析：由cos15sin8、sin15sin8的结构特点容易联想到两角差的正、余弦公式，将7写成158解：略。例2（96全国高考题）tam20tan40tan20tan40的值是 分析：从式子的结构特点容易联想到两角和的正切公式有：tam20tan40tam（20+40）（1tan20tan40）tan20tan40所以原式的值为例3（05全国高考卷）等于（）AtanBtan2C1D分析：式子中分子有因式cos2，分母有因式1cos2，由此可联想到二倍角的余弦公式cos22cos21，即1cos22 cos2便可得出结果选B。例4（95年全国高考题）求sin220cos250sin20cos50的值分析：降次是三角变换中常用的方法，于是：原式（1cos40）（1cos100）（sin70sin30）1（cos100cos40）sin70sin70sin30sin70由此式的结构特点易联想到余弦定理：在ABC中，由正、余弦定理易得：sin2Asin2Bsin2C2 sinAsinBsinC，于是：原式sin220sin2402sin20sin40cos120sin2120联想到sin2cos21及两角和差的正弦公式，还可得到下面解法：设Msin220cos250sin20cos50Ncos220sin250cos 20sin 50则MN2sin70MNcos40cos100sin（30）2sin 70sin 302M即M例5(04全国高考卷)已知为第二象限角，用sin=，求：的值。分析：由的正、余弦值均为，及cos212cos2可得：原式当为第二象限角，且sin时，sincos0cos原式例6若，求的值。分析：切割化弦也是三角变换中的常用方法，为特殊角，且为的一半，于是有下列解法：解法一：又cos2x原式解法二：原式sin2xsin2xtan（x）cos（x），sin（x） tan（x）原式解法三：cosxcos（x）coscos（x）sinsin（x）sinx原式例7已知2，求下列各式的值。（1）2sin23sincos（2）sin2cos分析：由题设而得：sin3cos，联想到sin2cos21可求出sin、cos，这是基本解法。因tan3，所以此题还可用推导万能公式的思路，即化为分式形式，使分子、分母为正、余弦的齐次式：（1）原式（2）原式tan30为第二式第四象限角若为第二象限角时，cos此时原式若为第四象限角时，c