高三数学复习知识点-数列.doc

数学复习知识点-数列一、数列概念1. 数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.理解数列定义的四个要点：数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项a与项数n是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 3. 数列的前项和与通项的公式； . 已知数列的前n项和公式Sn，求an的方法 第一步：求a1=S1； 第二步：当n2时，求an=Sn-Sn-1； 第三步：检验当a1是否适合当n2时得到的an，若适合则将an用一个式子表示，若不适合，将an分段表示出来 已知an与Sn的关系式，求an方法 根据已给出饿关系式，令n=n+1（或n=n-1），写出一个an+1（或an-1）与Sn+1（或Sn-1），的关系式，然后将两式相减。消去Sn得到an与an+1（或an与an-1）的关系，从而确定an是等差数列还是等比数列或者其它数列，然和求出其通项公式。例1：设数列an的前n项和Sn=n2，求an.(答案：)例2：已知数列an的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn=2-3an 求an(答案：)4. 递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，其中是数列的递推公式.利用数列的递推公式求数列的通项公式一般有以下三种方法累加法：如果已知数列an的相邻两项an+1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n-1个式子相加，整理求出数列的通项公式.例：已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，求an且求的最小值（答案：）累积法：如果已知数列an的相邻两项an+1与an的商的一个关系式，我们可以依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n-1个式子相乘，整理求出数列的通项公式.例：在数列an中,an0,a1=1且有=（n+1，an），=（n，an+1），与共线，求数列的通项公式（答案：）构造法：根据所给的数列的递推公式以及其它有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，再利用等差或等比数列的相关知识点求解 如：形如an+1=pan+q， 可以令an+1+=p（an+）an+1=pan+（p-1）* （p-1）*=q =从而得到an+1+=p（an+）是等比数列例：数列的前n项和为，已知,a1=1，nN+，求an（答案：） 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何,均有.递减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数使.无界数列:对于任何正数,总有项使得. 二、等差数列 1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式通项公式（n1），为首项，为公差.前项和公式 或.或(函数的角度，关于n的一元二次函数) 3.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项，成等差数列. 4.等差数列的判定方法定义法：若当n2，nN*时，有 （d为常数）或当n1，nN*时，有（d为常数），则数列 是等差数列。等差中项法：若数列满足()，则数列是等差数列.函数法：若对于数列有（k、b为常数）或者有Sn=An2+Bn（A、B为常数），则数列是等差数列。 5.等差数列的常用性质或者（nm）；若，则；若数列、是等差数列，则数列、（p、q为常数）等数列都是等差数列；若等差数列的前项和，则是等差数列；Sk 、S2k-Sk、S3k-S2k .构成的数列也是等差数列，公差为当项数为，则； 当项数为，则.在等差数列 a中，S= a，S= b (nm)，则S=(ab) 6.在等差数列中,有关Sn 的最值问题：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（3）利用Sn，对进行配方，求Sn取最值时n的值例题：例1、在数列中，,其中a、b为常数.则ab+c= 。（答案：-1）例2、等差数列中，是其前n项和，求（答案：-11）例3、已知数列满足递推公式，且为等差数列，则的值 。（答案：-1）例3、已知数列的各项均为正数，前n项和为，且满足（1） 求证为等差数列（2） 求的通项公式（答案：）例4、已知等差数列满足，前n项和为（1） 求和（2） 令,求数列的前n项和（答案：（1）；（2） 三、等比数列 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式 通项公式：，为首项，为公比 .前项和公式：当时，当时，. 3.等比中项如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即：是与的等差中项，成等差数列. 4.等比数列的判定方法定义法：若当n2，nN*时，有或当n1，nN*时，有，则数列 是等比数列。等比中项法：()且是等比数列.函数法：如数列通项公式an=f(n)=cqn,其函数特征为常数与指数函数的乘积；前n项和公式Sn=g(n)=k(1-qn)(q1),其特征是qn的系数与常数项的相反数. 5.等比数列的常用性质或者如果 a是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，a，是以q为公比的等比数列若数列、是等比数列，则数列、（p为常数）等也是等比数列；若，则；若等比数列的前项和，则、是等比数列.若S是以q为公比的等比数列，则有S= SqS例题：例1、若等比数列的前n项和为，且（答案：33）例2、已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则 .2例3、在等比数列中，则 .（答案：1）例4、已知数列的首项，前n项和为，且（1） 证明：数列是等比数列（2） 求的通项公式以及 （答案：）例5、已知等差数列的前3项和为6，前8 项和为-4（1） 求数列的通项公式（2） 设，求数列前n项和（答案：（1）；（2）四、数列求和数列的求和1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3熟记一些常用的数列的和的公式4特殊数列求和的方法一、利用常用求和公式求和（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）（3） 例1 已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得： = 1 例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得 ， 当 ，即n8时， 例3已知是各项均为正数的等比例数列，且 ，. () 求的通项公式；（）设,求数列的前项和. 解：（）设公比为q，则.由已知有 化简得 又，故，所以： （）由（）知二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例4 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积：设（设制错位）又-（错位相减）得： 再利用等比数列的求和公式得：。 例5 求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 得 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个. 例6 求的值解：设 将式右边反序得： 又因为 +：89 S44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例7 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a1时，（分组求和）当时，例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得： Sn = 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2）（3） （4）（5）例9 求数列的前n项和.解：设，则 例10 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和： 例11 求证：解：设 原等式成立计算： 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 0 （合