化二次型为标准形.doc

辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第5.2.7页2 化二次型为标准形教学目的 通过2学时的教学，使学生理解化二次型为标准形的定理及其矩阵形式，基本掌握化二次型为标准形的配平方法与矩阵合同变换方法教学内容本节讨论用非退化的线性替换化简二次型的原理与方法2.1 配平方方法可以认为，二次型中最简单的形式是只包含平方项的二次型 (1)这一节的主要结果是定理5.2.1 数域F上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成平方和(1)的形式证 下面的证明实际上是一个具体把二次型化成平方和的方法，其思路就是中学里学过的“配方法”我们对文字的个数n作归纳法当n=1时，二次型就是已经是平方和了现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立再设分三种情形来讨论1)中至少有一个不为零，不妨设这时 ，这里是的一个二次型令，这是一个非退化线性替换，它使由归纳假定，对有非退化线性替换，能使它变成平方和于是，非退化线性替换，就使变成，即变成平方和了根据归纳法原理，定理得证2)所有，但是至少有一，不妨设令它是非退化线性替换，且使，这时上式右端是的二次型，且的系数不为零，属于第一种情况，定理成立3)由对称性，有这时是n-1元二次型，根据归纳假定，它能用非退化线性替换变成平方和综上，定理得证二次型经过非退化线性替换所化成的平方和称为的一个标准形例1 化二次型为标准形解法1 作非退化线性替换，则再令则最后令则得其平方和将这几次线性替换的结果汇总，得 2.2 矩阵合同变换方法定义1 设AMn(F)，若在F上对A施行一次列的初等变换，又对A施行一次相应的行的初等变换，则称对A施行一对相应的初等变换或一次初等合同变换不难发现，用矩阵论的语言定理5.2.1可以叙述为定理5.2.2 若Mn(F)是对称矩阵，则可经过F上有限次相应的初等合同变换把A变为B=diag， (2)这里r=rankA当r0时，因此存在F上n阶可逆矩阵P，使得证 先对A的阶n用数学归纳法证明AB当n=1时定理显然成立今设n1若A=0，则A已是对角形式设A，我们分两种情形证明：1)设A的主对角线上元素不全为零，例如若i1，则交换1、i两列，再交换第1、i两行，便把换到左上角因此可不妨设用乘A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到第j行，便把A的(j，1)、(1，j)元素都变为0注意A 对称，=，故所作变换是一次初等合同变换这样经过有限次相应初等合同变换，A便化为T=diag根据初等矩阵与初等变换的关系，知AT于是由A对称知道T也对称，因此n-1阶矩阵对称现在对可用归纳假设：对施行有限次相应初等合同变换便可将化为合符要求的对角阵而的任一次相应初等合同变换显然与T的某一次相应初等合同变换效果是一致的因而此况定理成立2)若，由于A0，故必有某 ，把A的第j列加到第i列，再把第j行加第i行，所得矩阵的(i,i)元素为，再由情形1)也知结论成立设是所作有限次相应初等合同变换的列变换所对应的初等矩阵则令，则，显然P是可逆阵于是AB，且r=rankB=rankA 定理5.2.2给出了定理5.2.1的第二证明定理5.2.2还给出了具体化简的方法：若，则 所以A经过一次一次初等合同变换化为B，经过一次一次相应列初等变换化为P为了进一步简化计算，我们来证明定理5.2.3 设A是F上的n阶对称矩阵，若是有限个消法矩阵的乘积，i 1，且使，其中是n-1维行向量，Mn-1(F)，则 证 由假设，P是有限个的乘积，i1则用P右乘时，的第1列不变，变动的仅是的元素，所以有但易知是对称矩阵，故=0，所以 由定理5.2.3知道，只要能找到由有限个消法矩阵，ij，其乘积使， （3）则这个的转置P就是要求的可逆矩阵，它使成为对角矩阵换句话说，只要对(A，In)作有限次行的消法变换(相应初等矩阵为，ij)，当把中的A化为上三角矩阵时，中的也就同时化为，且使diag例2 设，求可逆矩阵P，使为对角矩阵解 逐次用行消法变换(相应初等矩阵为，ij)，将化为(3)式的形式：于是，取，则diag(1,-2,0)实际计算并不一定要把中的A化为标准的上三角矩阵，只需化为关于主对角线对称的每对元素中至少有一个为0即可，即ij，和中至少有一个是0就行这是因为，再作相应的列变换，则可化为对角矩阵了例如 二次型的矩阵为，则 (4)于是，取，让X=PY，则例1的解法2 由于的矩阵是，需先对A作一次消法合同变换使得到的矩阵的主对角线上有非零元素，然后