高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两角和与差的正弦示范教案 新人教B版必修4.doc

3.1.2 两角和与差的正弦示范教案教学分析1两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos()与cos()，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即()的关系，从而由公式c推得公式c，又如：比较sin()与cos()，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式s、s等2通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义3本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的三维目标1通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力2通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力3通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提升学生的数学素质重点难点教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明课时安排1课时导入新课思路1.(复习导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上(或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐然后教师引导学生观察cos()与sin()、sin()的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出s、s.本节课我们共同研究公式的推导及其应用思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备若sin，(0，)，cos，(0，)，求cos()，cos()的值学生利用公式c很容易求得cos()，从而引出新课题，并由此展开联想新公式的探究推进新课活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2cos21来互化，这些想法都很好鼓励学生试一试从诱导公式cos()sin，sin()cos，我们可以得到：sin()cos()cos()cos()cossin()sinsincoscossin.在上述公式中用代之，则sin()sin()sincos()cossin()sincoscossin.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为s、s.讨论结果：略思路1例 1求sin75，sin15的值活动：引导学生进行拆角转化本例直接应用公式，可由学生自己完成解：sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30；sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30.变式训练1已知cos()sin，则sin()的值是()ab.cd.答案：c2已知sin，是第四象限角，求sin()，cos()的值解：由sin，是第四象限角，得cos，于是有sin()sincoscossin()，cos()coscossinsin().例 2已知向量(3,4)，逆时针旋转45到的位置求点p(x，y)的坐标(图1)解：设xop.图1因为|op|5，所以cos，sin.又因为x5cos(45)5(coscos45sinsin45)5()，y5sin(45)5(sincos45cossin45)5()，所以p(，).变式训练已知点p(x，y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转角到点p(x，y)(图2)求证：图2证明：设xop，|op|r，则cos，sin.从而xrcos()r(coscossinsin)xcosysin，yrsin()r(sincoscossin)xsinycos，即例 3求证：cossin2sin()活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式s展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式s的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数证明：方法一：右边2(sincoscossin)2(cossin)cossin左边方法二：左边2(cossin)2(sincoscossin)2sin()右边点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质本例的证法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦关于形如asinxbcosx(a，b不同时为零)的式子引入辅助角变形为asin(x)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成asin(x)的形式一般情况下，如果aacos，basin，那么asinxbcosxa(sinxcoscosxsin)asin(x)由sin2cos21，可得：a2a2b2，a，不妨取a，于是得到cos，sin，因此asinxbcosxsin(x)，通过引入辅助角，可以将asinxbcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式化为这种形式可解决asinxbcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为了一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.变式训练1化简下列各式：(1)sinxcosx；(2)cosxsinx.解：(1)原式2(sinxcosx)2(cossinxsincosx)2sin(x)(2)原式2(cosxsinx)2(sincosxcossinx)2sin(x).2.求函数yasinxbcosx的最大值、最小值和周期，其中a，b是不同时为零的实数解：考察以(a，b)为坐标的点p(a，b)(图3)，设以op为终边的一个角为，则cos，sin.图3于是y(sinxcosx)(cossinxsincosx)sin(x)，其中cos，sin.所以函数yasinxbcosx的最大值是，最小值是，周期是2.思路2例 1若sin()，cos()，且0，求cos()的值活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值尽管学生思考有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确地判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等如教师可变换，角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值解：0，0.又已知sin()，cos()，cos()，sin().cos()sin()sin()()sin()cos()cos()sin()()().点评：本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知，(，)，sin()，sin()，求cos()的值解：，(，)，sin()，sin()，2，.cos()，cos(). cos()cos()()cos()cos()sin()sin()()().例 2化简.解：原式0.变式训练化简.解：原式tan().例 3已知三个电流瞬时值的函数式分别是i1sint，i22sin(t45)，i34sin(t45)求它们合成后的电流瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅和初相解：ii1i2i3sint2sin(t45)4sin(t45)sint2(sintcos45costsin45)4(sintcos45costsin45)4sintcost(sintcost)(sintcoscostsin)sin(t)，其中arctan142.所以isin(t142)，振幅为，初相为142.点评：由本例可知：几个振幅和初相不同，但频率相同的正弦波之和，总是等于另一个具有相同频率的正弦波，同时可求得这个正弦波的振幅和初相1先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明2教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想“转化思想”，并要正确熟练地运用公式解题1课本本节练习b组14.2已知函数f(x)2sincos2sin2.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)f(x)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由解：(1)f(x)sin(12sin2)sincos2sin()，f(x)的最小正周期t4.当sin()1时，f(x)取得最小值2；当sin()1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)2sin()，又g(x)f(x)，g(x)2sin(x)2sin()2cos.g(x)2cos()2cosg(x)函数g(x)是偶函数1本节课是典型的公式教学模式，本节课是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题转化推导分析记忆应用训练”；引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想“转化思想”，并培养他们主动利用“转化思想”指导探索解决数学问题的能力2纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导证明方法，熟练会用公式解决简单的问题同时教给学生发现规律，探索推导，获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感一、三角函数知识口诀三角函数是函数，象限符号坐标注；函数图象单位圆，周期奇偶增减现同角关系很重要，化简证明都需要；同角仅是正余切，平方商除有技巧诱导公式就是好，负化正后大化小；变成锐角好查表，化简证明少不了三角公式就是美，二的一半整数倍；千变万化有规律，奇数化余偶不变将其后者视锐角，符号原来函数判；两角和的余弦值，化为单角好求值计算证明角先行，注意结构函数名；保持基本量不变，繁难向着简易变换角变形众公式，抓住角的相对性；公式虽多巧记忆，互余角度变名称二、备用习题1在abc中，sinasinbcosacosb，则abc是()a直角三角形 b钝角三角形c锐角三角形 d等腰三角形2.cossin的值是()a0 b c. d23在abc中，有关系式tana成立，则abc为()a等腰三角形ba60的三角形c等腰三角形或a60的三角形d不能确定4若cos()，cos，(0，)，(0，)，则有()a(0，) b(，)c(，0) d5求值：_.6若sinsin1，则coscos_.7已知cos()，cos()，则tantan_.8求函数y2sin(x10)cos(x55)的最大值和最小值9化简2cos(ab)10已知5sinsin(2)，求证：2tan()3tan.参考答案：1b2.c3.c4.b5.6.07.8解：y2sin(x10)cos(x10)452sin(x10)cos(x10)sin(x10)sin(x10)cos(x10)sinx10)45sin(x55)，又1sin(x55)1，当x55k36090，即xk360145(kz)时，ymin；当x55k36090，即xk36035(kz)时，ymax.9解：原式.点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点10证明：()，2()，5sin()sin()，即