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文档简介

4 正定二次型一、正定二次型定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有.实二次型是正定的当且仅当.设实二次型 (1)是正定的，经过非退化实线性替换 (2)变成二次型 (3)则的二次型也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数都有.因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变.二、正定二次型的判别定理6 实数域上二次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定二次型的规范形为 (5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型正定.因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以一个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论 正定矩阵的行列式大于零.定义6 子式称为矩阵的顺序主子式.定理7 实二次型是正定的矩阵的顺序主子式全大于零.例 判定二次型是否正定.定义7 设是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实二次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主子式皆大于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的.比如就是一个反例.证明 Th8, 设的主子式全大于或等于零，是的级顺序主子式，是对应的矩阵其中是中一切级主子式之和，由题设，故当时，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在一个非零向量，使令 与时是正定矩阵矛盾，故是半正定矩阵.Th8 记的行指标和列指标为的级主子式为，对应矩阵是，对任意，有,其中又是半正定矩阵,从而 .若，则P234,12T，存在使与矛盾，所以.设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明 是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明 由于正定，存在可逆矩阵，使,
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