利用向量求轨迹问题.doc

利用向量求轨迹问题知识点：平面向量的直角坐标运算，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则：(1) abx1y2x2y10(2)当a0时，abx1x2y1y20在新编高中数学教材中将平面向量纳入教学内容后，我们不仅仅是对向量知识的学习，更重要的是将向量作为一种工具应用于其它数学知识中，特别是利用它来求轨迹问题时常带来极大的方便，结合上述知识点，下面举几例来介绍向量在求解轨迹问题时的应用. 例1、过定点P(3，2)作直线l交x轴、y轴分别于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程. ABCOyx图一分析：设线段AB的中点c(x、y)，由中点坐标公式有A(2x，o)，B(o，2y)，贝PA(2x3，2)，PB(3，2y2)，由A、P、B三点共线，即有PAPB，利用知识点(1)有：(2x3)(2y2)(3)(2)0化简后得：2x3y2xy0，这就是所求的线段AB中点的轨迹方程. 例2(如图一)过原点o作互相垂直的两条直线，分别交yx2于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程. MBOyx图二A解：设线段AB中点c(x，y)，再设A(x1、x12)，B(x2、x22)，则OA(x1，x12)，OB( x2、x22)，由题意有OAOB，即OAOB，利用知识点(2)有：x1x2x12x12o又由点C是线段AB的中点有：x1X22xx12x122y由化简后得y2x21所以AB中点的轨迹方程是y2x2l. 例3(如图二)设点A和B为抛物线y24px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 分析：由题设条件知，此题是上述知识点的综合运用，利用向量垂直和共线的充要条件来列方程较为理想. 解：设M(x，y)、A(y124p，y1)，B(y224p，y2)，(y1y20)，则OM(x，y)，OA(y124p，y1)，OB(y224p，y2)，AB(y22-y124p，y2-y1)，由OAOB有OAOB，故有y12y2216p2y1y20，化简得，y1y216p2同理：OMAB有xy22-y124py(y2y1)0，化简得：y1y2(x0)又点M在AB上，则A、M、B三点共线即AMMB且AM(xy124p，yy1)，MB(xy224p，y2y)(xy124p)(y2y)(y224px)(yy1)0，化简后得：4pxy(y2y1)y1y2 再由代入得：4pxy()16p2x2y24px0. 故所求点M的轨迹方程为x2y24px0 (x0)它表示是以(2p，0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉坐标原点). 注：上述三题若用常规方法去求，既要设参数，又要消参数，解题过程变得麻烦，而利用向量来解，思路简洁自然，直观易掌握，不妨试一试后作比较. 当然，利用向量解法求轨迹问题只是在数学应用中的一个缩影，在涉及到代数、平面几何及立体几何方面的应用，只要能在原问题情境中捕捉信息，引入向量，利用向量的运算，运算律及法则来解决相应的数学问题，将会给大家展示无限遐想的思维空间. 2谈数学形象思维的培养贵州省开阳一中 周华培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，以逐步形成运用数学知识来分析和解决问题的能力. 这里的“逻辑思维”属于抽象思维的范畴，正是这种“抽象”才体现了数学不同于其它学科的特征. 在我们教材中，特别是不等式这一章，却更能反映和表述出直觉的形象思维问题. 形象思维主要是用典型化的方式进行概括，用形象材料来思维，并以形象为其思维的细胞，达到对事物本质的理性认识. 可见，它是一种形象性的认识活动，也是创造性思维的一种. 因此，能够认识、体会形象性思维，对于我们学习数学可带来极大的方便. 下面，本文谈谈如何运用形象思维方法解决在不等式这一章中的问题. 一、两个重要不等式：a2b22ab(a，bR)，(a，bR). 例1，若x、yR，且xy5，则3x3y的最小值是( )A、10 B、6 C、4 D、18分析：由于x、yR，则3x，3y都是正实数，联想到上面的均值不等式：ab2(a，bR)，就可得到答案D. 例2、求证：分析：此题要证不等式成立，联想到证明不等式常用的三种方法：比较法、综合法及分析法，对于此题三种方法都可证，但途中均用到上述不等式a2b22ab(a，bR)，而这个式子恒成立，故原式可证. 二、不等式：x2y2(x，y0)例3，设0a1，0b1，求证：2. 分析：观察不等式左边的形象：每一项根号内部是由两正数的平方和组成，联想到基本不等式的形象：x2y2(x，y0)，利用它，消去根号以化简. 证：(ab)(1a)ba(1b)(1a)(1b)42. 三、著名的柯西(cauchy)不等式：(a1b1a2b2anbn)2(a12a22an2)(b12b22bn2)，其中aikbi(i1，2，n)，当i2时有(a1b1a2b2)2(a12a22)(b12b22)例4，若实数m、n、x、y，满足m2n2a，x2y2b(ab)，则mxny的最大值是( )A、 B、 C、 D、分析：此题中将两个等式左右相加得到(m2x2)(n2y2)ab，再利用均值不等式有mxny，则选择A这一错误结果，原因出在mxny等号成立的条件与题中ab相矛盾，故是错误解法. 本题如果联想到柯西不等式的特殊情况即可解如下：由m2n2a，x2y2b得(m2n2)(x2y2)ab，又(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab(ab0)得mxny，故选B. 四、定理：|a|b|ab|a|b|型. 例5，若a、b、cR，且|ac|b|则( )A、|a|b|c| B、|a|b|c|C、|a|b|c| D、|a|c|b|分析：此题联想到上述重要不等式，就可选出正确答案C. 例6，求证：. 分析：此题运用上述不等式即可证. 证法(一)11.