列方程解决含有两个未知数的问题

列方程解决含有两个未知数的问题案例设计 市桥陈涌小学 梁潮汉 一、教材分析：简易方程是小学阶段正式教学代数初步知识的单元，从算术到代数是人们对现实世界的数量关系认识过程中的一个飞跃，在数学方法上也是一次突破。简易方程这一单元共分为四部分：用字母表示数、解简易方程、解稍复杂的方程和列方程解决实际问题。本节课是第四部分用方程解决含有两个未知数的实际问题。像这样含有两个未知数的问题，在算术中称为“和差”、“和倍”、“差倍”问题。若用算术方法解答，思路特殊，求它们的逆思考问题。用方程解，都可以归结为解形如ax+/-bx=c的方程，思路统一，解法一致，思维难度有所降低，在教学中也是贯穿着这样的想法进行设计的。二、设计理念：在小学阶段让学生学习一些代数初步知识，学习用代数的方法解决问题，不仅有助于学生巩固和加深理解所学的算术知识，提高他们用数学解决问题的能力，同时可以促进抽象逻辑思维能力的发展，提高他们的数学素养。同时，也为今后进一步学习代数知识，用代数知识解决实际问题打下良好的基础，可以说，简易方程的学习在今后的学习中起到至关重要的作用。三、学情分析：像这样含有两个未知数的问题，在本单元之前学生没有接触过。但它与学生以前过的不少内容有关。比如，已知两数，可以求出它们的和、差及倍数关系，这是小学低年级的学习内容。现在，从两数的和、差及倍数关系中选取取两项已知条件，反过来求两数各是多少，这就是本节课讨论的问题。本课例3，首先碰到的第一个问题是设未知数。学生已有的经验是“求什么设什么”。现在面临一道题中要求两个未知数各是多少，究竟设哪个为X，另一个数又怎样表示？这是必须突破的一个难点。事实上设任何一个为X都可以，但各种解法对比中发现根据两个量的倍数关系这个条件进行设，再利用两个量的和差关系进行列方程，这种解法是最简便的。本课第一次出现ax+/-bx=c的方程。考虑到学生的知识水平和接受能力，教材中没有出现“合并同类项”等术语，而是启发学生运用乘法分配律，将原方程转化为学生已会解的形式(a+/-b)x=c。这种解法与合并同类项的方法实质上是一致的。教学内容：教科书第70页，练习十三4-8题。教学目标：1、理解实际问题中有关和、差、倍的数量关系。2、初步学会设一个未知数，列方程解答含两个未知数的实际问题。3、培养学生的比较、分析能力和类比学习的能力。教学重点：探究设哪个未知量为未知数，选择比较简便的方法。教学难点：设哪个量为X，另一个未知数怎样表示，两个已知条件怎么使用。教具准备：研学案 PPT课件教学过程：一、复习铺垫，知识准备1、课前前测：直接写出得数（独立完成后中答）师：同学们，前面我们学习了用字母表示数，上课前我们来做一道练习，直接写出得数。2.5xx 2.5xx 0.3x+0.7x= 4 x+2.5x= 8x-3.2x= 3.8x+5.2x=师：你是怎么想的？依据是什么？生1：以第1小题为例2.5个X加1个X等于3.5个X，就是3.5X.我的依据是乘法的意义。生2：（2.5+1）X=3.5X ,我的依据是乘法分配律。师点评：两种方法都可以，大家看哪种方法比较适合自己，哪种方法好理解就选用哪一种。【评析：通过学生已经掌握的知识引入，会用 “几个几加减几个几”或者“乘法分配律”进行计算，但前者比较实用易记，而且出自学生自己的观察和思考，更易于接受，有了这个基础之后，为本课ax+bx=c类型的方程垫定解题基础，学生很快会发现方程左边可以合并同类项，方程就转化成了学生熟悉的ax=b类型了。】二、小组合作学习探究新知1、出示例3的条件：地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍。【评析：出示例3的条件部分，而不是出示整道题的目的是先让学生通过条件整理出有关的数量关系，为解决问题奠定基础】2、完成任务一根据条件写出题中的数量关系，小组交流。（师巡视，指导学生小组）师：你能根据上面的条件写出数量关系吗？请完成任务一。生：能。学生先独立完成，后小组交流自己的成果。师巡视。【评析：以小组为单小组学习，组内有些同学能较快地完成任务，个别同学慢一些，做得较快的同学可帮带较慢的同学。在交流过程中，把好的方法在小组内共享，使得小组学习效果最优化。】 3、学生汇报展示 师：你写出的数量关系是什么？请代表来汇报。生1：我写出的数量关系是：陆地面积2.4=海洋面积 师：你地依据是什么？生1：我的依据是：海洋面积约为陆地面积的2.4倍。师：还有补充吗？生2：陆地面积海洋面积地球的表面积5.1亿平方千米师：你地依据是什么？生2：我的依据是：地球的表面积为5.1亿平方千米。 学生边汇报，师边板书。 陆地面积海洋面积地球的表面积5.1亿平方千米 陆地面积2.4=海洋面积 【评析：数量关系是本课解设列方程的基础，是本课的重难点，解决好数量关系为后面解题奠定基础。】4、出示问题。（贴出问题，全体学生读题） 师：题目求什么？有几个未知数？生：求地球陆地面积和海洋面积。有两个未知数。师：（板书课题）这就是今天我们要学习的内容列方程解决含有两个未知数的问题。【评析：在解决好数量关系后，再引导学生明确要求两个未知数，进而提示课题，使学生更明确本课的学习重点。】 5、任务二（1）小组讨论：设哪个数为X？为什么？（2）列出方程并解方程。（3）小组交流：怎样解方程？（组长负责组织自己的学习小组开展讨论，师指导。选取代表到黑板上板演，汇报怎样设，说出解方程的过程）师提问：这里有两个数量关系式，你是利用哪个来列方程，为什么？ 生1：我是利用“陆地面积海洋面积地球的表面积5.1亿平方千米“，这样列出的方程是加法，算起来比较简单。生2：我是利用“陆地面积2.4=海洋面积“，陆地面积乘2.4就可以很简便地求出海洋面积。 师：设哪个量为X，另一个量怎样表示？为什么？ 生1:设陆地面积为X亿平方千米，海洋面积是2.4X亿平方千米。我是根据“陆地面积2.4=海洋面积“得出来的。 生2：设陆地面积为X亿平方千米，海洋面积是5.1-X亿平方千米。我是根据“陆地面积海洋面积地球的表面积5.1亿平方千米“得出的。 师：你列出的方程是什么？你是怎么想的？ 生1： 我列出的方程是：X+2.4X=5.1，我设地球陆地面积为X亿平方千米，海洋面积为2.4亿平方千米，依据“陆地面积+海洋面积=地球表面积”列出方程的。生2：我列出的方程是X2.4=5.1-X，我设陆地面积为X亿平方千米，海洋面积为（5.1-X）亿平方千米，再根据“陆地面积2.4=海洋面积“列出方程。师：两种方法都可以，对比两位同学的方法，谁的方法比较简便?生：第一种方法比较简单，这样列出来的方程比较容易解。第二种方程的解法我们还没学。师：怎样解方程？生：用我们前面所学的方法去解。师：其实和课前练习计算的方法相同，能算的先算，目的是什么？生：把方程化简。师：另一个量怎样求？你是怎样想的？生1： 5.11.53.6，我是利用和的关系求出来的。生产： 2.4x1.52.43.6，我是利用倍数关系求出来的。【评析：解决数量关系后，解设列方程解方程是本课的重难点。在设未知数时及解方程时，有多种方法，通过小组学习的形式通过让学生去对比，探究更快捷简便设数方法与列方程方法。在解方程时结合课前准备题引导学生利用知识的迁移，把方程化简转化成“ax=b”的形式进行解方程。求第二个未知量体现方法的多样性，让学生自主选择数量关系求出第二个量，尊重学生个体发展，充分发挥学生的发散思维。】6、引导学生进行检验。师：除了代入方程检验之外，还可以怎样验算？生1： 验算陆地面积与海洋面积的和是否等于地球的表面积5.1亿平方千米： 1.53.65.1 生2： 验算海洋面积与陆地面积的倍数关系是否等于2.4： 3.61.52.4【评析：检验方面也体现方法的多样性，可以代入原方程检验，也可以利用题目中的两个数量关系之一来检验，让学生自主选择适合自己的检验方法进行验算。增强学生的验算意识。】 7、小结解题步骤。师：列方程解决问题的步聚是怎样的？生：（1）审题，弄清数量关系。 （2）解设,根据等量关系列出方程。（3）解方程。（4）检验,答。【评析：完成例题后，进行方法及步骤的整理，使学生的解题思路更明确。】三、当堂训练、巩固深化师：解方程是为了列方程解决问题，我们先看这些方程，你能解吗？请完成任务三第1题。1、解下列方程。（独立完成，师巡视学生汇报5分钟） 13.2X+9X=33.3 8X-3X=105 5.4X+X=12.8 X-0.36X=16【评析：本题作为基础练习，功能是检验学生解形如“ax+/-bx=c”方程的能力。】2、课本练习十三第4、7题。在导学案第2、3题完成，用方程解。独立完成，汇报然后全班交流核对。3、看图列方程（单位：棵）。先互相口头说出方程再写下来。（口答汇报展示） 4、拓展提高：两个相邻的自然数的和是97，这两个自然数分别是多少？（提示：相邻两个自然数有什么关系？）（独立完成，鼓励用多种方法解答，实物展台汇报展示）四、全课小结：师：今天我们学习了用方程解决含两个未知数的问题，你认为解答时应注意什么？着重从以下几方面进行小结。两个未知数怎么办？两个已知条件怎么用？怎样解方程，如何验算？ 【评析：数学课堂不仅要教给学生知识，更重要的是要让学生获得进一步学习所必需的方法，为学生的发展奠基础，本课紧扣教材，立足学生知识的生长点，环环相扣，层层逼近，让学生经历了有意义的知识构建的过程。通过启发提问、引导思考、合作交流等一系列活动，让学生的思维始终处于悱发状态。不仅向学生渗透了“转化”的数学思想，同时，培养了学生的发散思维能力，教给了学生科学的学习方法。小学数学课堂是数学活动的课堂，更主要的是思维活动的课堂。小学数学课堂，我们教什么？关键是教思想、教方法。】五、布置作业 课本练习十三第5、8题。小结反思：第四单元的最后一课内容用方程解答含有两个未知数的问题，本课难点有两个，第一是如何设未知数列方程，第二是如何解方程。在备课过程中参考了教师用书，采用了教师用书中提供的方法，并通过自己的修改，让学生学习例题前完成了一个小练习，为解决本课的重点做了知识的准备。本课两个难点具体如下：第一，如何找到未知数并列出方程。本课时例题如下：地球表面积为5.1亿平方米，其中海洋面积是陆地面积的2.4倍，陆地面积和海洋面积各是多少？如果直接出示例题，学生很难找出两个条件之间的直接联系，并且两个未知量也会让学生感到不知所措。所以设定了任务一，要求学生写出数量关系，弄清了题目的数量关系，然后再把例题补充完整。如何引导学生运用已有经验把两个条件联系起来，列出方程呢？在这里设计了一组字母算式练习：通过学生已经掌握的知识引入，会用 “几个几加减几个几”或者“乘法分配律”进行计算，但前者比较实用易记，而且出自学生自己的观察和思考，更易于接受，有了这个基础之后，我们做ax+bx=c类型的方程也容易多了，学生很快会发现方程左边可以合并同类项，方程就转化成了学生熟悉的ax=b类型了。新课学习过程中以小组讨论合作学习的形式去解决问题，增加了学生自主思考的空间和时间，让学生跟着导学案去做，解决问题过程中获取知识今后的教学实践中不断摸索，总结出更多经验，找到更有效的方法。总的来说上完这节课，前半段的教学