2014年5月初一潜能班第十二讲：全等三角形(教师用).doc

2014年5月初一潜能班第十二讲：全等三角形（1）第 8 页 共 8 页雨露七年级下数学创造性学习潜能开发班第十二讲 几何图形中常做的辅助线 与中线、角平分线有关的辅助线【核心内容】【思维体验】一、等腰三角形中特殊线段的添加例解答3图例解答2图例解答1图【例1】【解答】【解答一】在ABC和ACB中，AB=AC，AC= AB，BC=CB，ABCACB，ABC=ACB，【解答二】在ABC和ACB中，AB=AC，A =A ，AC= AB，ABCACB，ABC=ACB，【解答三】作ADBC于D，则ADB=ADC，在ADB和ADC中，AB=AC，ADB=ADC，AD=AD，ADBADC，ABC=ACB，例解答5图【解答四】取CB的中点D，连结AD，则BD=CD，在在ADB和ADC中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，ADBADC，ABC=ACB，【解答五】作AD平分BAC，交BC于D，则BAD=CAD，在ADB和ADC中，AB=AC，BAD=CAD，AD=AD，ADBADC，ABC=ACB，举一反三2图举一反三1图【举一反三】【解答】【解答一】在ABC和ACB中，ABC=ACB ，ACB =ABC ，BC=CB，ABCACB，AB=AC，【解答二】在ABC和ACB中，举一反三3图A =A ，ABC=ACB，BC=CB， ABCACB，AB=AC，【解答三】作ADBC于D，则ADB=ADC，在ADB和ADC中，ABC =ACB ，ADB=ADC，AD=AD，举一反三4图ADBADC，AB=AC，【解答四】作AD平分BAC，交BC于D，则BAD=CAD，在在ADB和ADC中，B=C，BAD=CAD，AD=AD，ADBADC，AB=AC，【解答五】取CB的中点D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AD，延长AD至E，使得ED=AD，举一反三5图则BD=CD，AED=BED=AFD=CFD=90，在BED和RtCFD中，BED=CFD=90，B=C，DB=DC，BEDCFD，DE=DF，在Rt AED和RtAFD中，AED=AFD=90，AD=AD，DE=DF，Rt AEDRtAFD，BAD=CAD，在BAD和CAD中，B=C，BAD=CAD，AD=AD，BADCAD，AB=AC，举一反三5图【解答六】取CB的中点D，延长AD至E，使得ED=AD，则BD=CD，连结CE、BE，在ADB和EDC中，DB=DC，ADB=EDC，AD=ED，ADBEDC，AB=EC，ABC=ECB，ABC=ACB，ECB=ACB，在ADC和EDB中，DC=DB，ADC=EDB，AD=ED，ADCEDB，AC=EB，ACB=EBC，ACB=ACB，EBC=ACB，ABC=ACB=ECB=EBC，在ABC和EBC中，ABC=EBC，BC=BC，ACB=ECB，ABCEBC，AB=BE，AC=EB，AB=EB=AC，AB=AC，例2解答图二、利用角平分线的条件，添画垂线构造全等三角形【例2】【解答】过点D作DEAB于E， 过点D作DFAC于F，则AED=AFD=90，BED=BFD=90可证ADEADF，BDFCDF，则得到：AE= AF，BE= CF，所以AB=AC ，三、以角平分线为对称轴，构造对称型全等三角形【例3】【解答】分析1：因为B=2C，所以ACAB，可以在AC上取一点E，使得AB=AE，构造ABDAED，把AB边转移到AE上，BD转移到DE上，要证AB+BD=AC即可转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC证明：在AC上取一点E，使得AB=AE，连结DE例3解答1图在ABD和AED中，AB=AE，BAD=DAE，AD=AD，ABDAED（SAS） BD=DE，B=AED又AED=EDC+C=B=2C， EDC=C ED=EC AB+BD=AC分析2：因为B=2C，所以ABAC，可以在AB的延长线上取一点E，使得AE=AC，构造AEDACD，把AC边转移到AE上，DC转移到DE上，要证AB+BD=AC即可转化为证AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE例3解答2图证明：在AB的延长线上取一点E，使得AC=AE，连结DE在AED和ACD中，AE=AC，BAD=DAC，AD=AD， AEDACD（SAS）C=E又ABC=E+BDE=2C=2BDE， E=BDE BE=BD AB+BD=EAC分析3：若延长DB到点E，使得AB=BE，有AB+BD=ED，只要证出ED=AC即可例3解答3图证明：延长DB到点E，使得AB=BE，连结AE，则有EAB=E，ABC=E+EAB=2E又ABC=2C， EC AE=AC又EAD=EAB+BAD=E+DAC=C+ DAC=ADE， AE=DE AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC【例4】【解答一】例4解答图2证明：在AB上截取AF，使AF=AC，连接EF，则ACEAEF，所以AFE=C，而后可证EFBEDB，从而问题得证例4解答图1【解答二】延长AE交BD于F，则可证明：ACEFDE，ABEFBE，得到：AC=DF，AB=BF；例5解答图【例5】【解答】过点D作DEAB于E，可证明：ACDAED得到：AC=AE，AED=AED= 90，CD=DE，而B=CAB=45所以B=BDE，所以DE=BE，所以DE=BE=CD，而AB=AE+BE，所以AB=AE+BE=AC+CD，四、“倍长中线”构造全等【例6】【解答】（1）可证明：ADCBDE，ADBEDC，ABEECA，ABCECB，（2）由ADCBDE，得到：BE=AC，例7解答图在ADE中，AB+AEAE=AD+ADABBE，所以1AD6；【例7】【解答】延长AD至G，使得DG=AD，连结BG，可证明：ADCGDB（SAS）AC=BG，G=EAFBE=AC，BE=BG，G=BEDBED=AEFAEF =EAF【例8】【解答】FM到G，使得MG=FM，连结BG，M为BC的中点，例8解答图MB=MC，在BMG和CMC中，MB=MC，BMG=CMG，MG=FM，BMGCMC，BG=CF，G=CFM，AD平分BAC，ADEF，BAD=CAD，BAD=E，CAD=CFM，E=BAD=CAD=CFM，AFE=CFM，E=AFE，E=AFE=G，AE=AF，BE=BG，AB+AC=BEAE+AF+CF= BE+CF= BG+ CF=2 CF，CF=(AB+AC)五、利用“角平分线”构造全等【例9】【证明】、：BI、CI分别平分ABC、ACB，IBF=IBD，ICD=ICE，I作IDBC于D，IEAC于E，IFAB于F，IFB=IDB=90，IDC=IEC=90，AFI=AEI=90，在BDI和BFI中，例9题图IBD=IBF，IDB=IFB，IB=IB，BDIBFI；ID=IF，在CDI和CEI中，IDC=IEC=90，ICD=ICE，IC=IC，CDICEI；ID=IF，ID=IE= IF，探究：AI平分BAC；理由是：在RtAFI和RtAEI中，AFI=AEI=90，AI=AI，IE= IF，RtAFIRtAEI，FAI=EAI，AI平分BAC；【举一反三】（1）举一反三1图解答：、：BQ平分ABC的外角DBC，CQ平分ACB的外角ECB，QBG=QBF，QCG=QCH，过点Q作QFAB于F，QGBC于G，QHAC于H，QGB=QFB=90，QGC=QHC=90，AFQ=AHQ=90，在BQG和BQF中，QGB=QFB=90，QBG=QBF，QB=QB，BQGBQF；QG=QF，在QCG和QCH中，QGC=QHC=90，QCG=QCH，QC=QC，QCGQCH；QC=QH，QG=QF= QH，探究：AQ平分BAC；理由是：在RtAFQ和RtAHQ中，AFQ=AHQ=90，AQ=AQ，QE= QH，RtAFQRtAHQ，FAQ=HAQI，AQ平分BAC；【举一反三】（2）举一反三2图【举一反三】（3）BD平分ABC交AC于D，CE平分ACB交AB于E，ABD=CBD，ACE=BCE，过点I作MNBC交AC于N，交AB于M，CBD=MIB，BCE=NIC，ABD=MIB，ACE=NIC ，即：MBI=MIB，NCI=NIC ，BM=IM，IN=CN；MN= IM+ IN= BM+CN；【举一反三】（3）CD平分ACB交AB于D，CF平分ACG，ACD=BCD，ACF=GCF，过点D作DEBC交AC于E，交CF于F，EDC=BCD，EFC=GCF，举一反三3图ACD=EDC，EFC=ACF ，即：ECD=EDC，EFC=ECF ，DE=EC，EF=EC；判断：CDF是直角三角形；理由是：CD平分ACB交AB于D，CF平分ACG，ACD=BCD，ACF=GCF，ACD+BCD+ACF+GCF=180，2ACD+2ACF=180，ACD+ACF=90，DCF=90，CDF是直角三角形；【自主选择】1解答：2：12BPD=30，简证：连接DC，证：ADCBDC，BPDBCD，3解答：先证：ADCABF，得到：AC=AF，DAC=DAF，由ADAB，得到且CAF=90，所以ACF=AFC=45，因为ACB=90，所以ACF=BCF，即CF平分ACB【挑战新高度】4在BC上取点E，使BE=BD，连接ED，再在BC上截取BF=AD，连接FD，可证得DFE和DEC为等腰三角形，所以DE=DF，DE=EC，又由ABDEDB知AD=DF，所以AD=EC，从而得证.5.延长AE到F，使得EF=AE，连结CF，5题解答图可证明：ABEFCE，得到：AB=CF，而AD=2AE，得到：AF=AD，由AC平分EAD，进一步可证明：ACFACD，得：CD=CF，CF=AB，所以AB=CD.6. 【解答】（1）BAC=60，BD平分ABC，CE平分ACB，ABC+ACB=120， CBI=EBI=ABC，6题解答图 DCI=BCI=ACB， CBI+BCI=ABC+ACB=60，BIE=CID=60； BIC=120；（2）在BC上截取BM=EB，连结IM，在EBI和MBI中，EB=BM，EBI=CBI，BI= BI，EBIMBI，EIB=MIB=60，又BIC=120，CID=60，CIM=CID=60，在DCI和MCI中，CIM=CID=60，IC=IC，BCI=DCI，DCIMCI，CM=CD，又EB=BM，BC=BM+CM=BE+CD雨露教育七年级下数学潜能班第十二讲：全等三角形（二）成就测试姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题（每小题20分，