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第十三章第十三章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 第一节第一节 平面点集平面点集 一 邻域 点列的极限 我们知道 lim n n xA当且仅当0 0 N 当时 有 nN n xA A的 邻域为 AAO A 定义定义 给定 000 Mxy 平面上点 0 M的 邻域为 00 22 00 M OMMM x yxxyy N 当时 有 nN 0 n MO M 此时称 n M收敛于 0 M 也可记为 或 0 n MMn 00 nn xyxyas n 定理定理 13 1 0000 nnnn xyxyxxyy n 定理定理 13 2 若 00 nn xyxy 且 00 nn xyxy 则 0000 xyxy 二 平面点集的基本概念 定义定义 设是一平面点集 E 0 M 内点 0 O ME 1 M 外点 1 O ME M 边界点 O M 既含E的点 也含非E的点 边界 全体边界点 记作 E 开集当且仅当的所有点是内点 EE 例例 13 1 设 22 14 Ex yxy 内点 22 14 xy 外点 22 1 xy 边界 2222 41 Ex yxyorxy 定义定义 聚点 给定 0 M及平面点集 若对E 0 0 ME MM 使 得 0 MO M 则称 0 M是的聚点 E 显然 内点和边界点都是聚点 定理定理 13 3 若 0 M是的聚点 则存在点列E n ME收敛于 0 M 定义定义 若包含其所有聚点 则称是闭集 EE 定义定义 区域 设是开集 且其中任意两点都可用一条有限条直线 所成的折线连接起来 而这条折线含在中 则称是区域 若一区域包含其边界 则称其为闭区域 E EE 例例13 2 说明下列集合是不是开集 闭集 区域 闭区域 有界 1 22 12 使得 0 n MO 显然 nnn Mxy有界当且仅当 nn xy有界 2 矩形套定理 定义定义 设 1 2 nnnnn Raxb cydn 123 若 RRR 则 n R 成为矩形套 定理定理 13 4 若 n R是一矩形套 且0 0 nnnn badc 则存在唯一的 000 n MxyRn 3 有限覆盖定理 定义定义 集合 平面点集 E有界 是指 0 使得 0 EO 定义定义 若 且每个 i i E i 是一个矩形 则称 i 为的开覆盖 E 定理定理 13 5 若是有界闭区域 则的任何开覆盖EE i 含有限子覆盖 4 Cauchy 收敛准则 定理定理 13 6 平面点列 n M收敛当且仅当0 0 N 当时 m nN mn d MM 当 且时 例题例题 13 4 证明 22 0 0 lim0 x y xy xy 例题例题 13 5 问 2 0 0 lim x y 2 xy xy 是否存在 例题例题 13 6 设 2 10 0 yx f x y otherwise 是开集 定理定理 13 7 一切初等函数在其定义域内是连续的 因此 221 0 ln limln2 y x y xe xy 练习题 练习题 1 求 2222 0 0 lim ln x y xyxy 2 问 22 0 0 0 lim x y z yz 2 xyz 是否存在 四 有界闭区域上连续函数的性质 给定平面上的有界闭区域D 定理定理 13 8 有界性 若 f x y在D上连续 则 f x y在D上有界 即 存在 使得0M f x yMx yD 定理定理 13 9 最大值最小值定理 若 f x y在D上连续 则可取到最 大 值 最 小 值 即 存 在 两 点 M MD 使 得 max MD f Mf M min M D f Mf M 定理定理 13 10 零点定理 若 f x y在D上连续 且假设存在 M ND 使得 0f M f N 与点的选取无关 只依赖于 当 d M M 时 有 f Mf M 当 12 d M M 时 有 12 f Mf M 0 例题例题 13 9 设 1 1 01 0 1 f x yx yD xy 证明 f x y在上连 续 但不一致连续 D 定理定理 13 11 一致连续性定理 若 f x y在D上连续 则 f x y在D上 一致连续 五 二重极限与二次极限 例题例题 13 10 我们已知 2 0 0 lim x y 2 xy xy 不存在 然而 22 000 22 000 lim limlim 0 0 lim limlim 0 0 yxy xyx xy xy xy xy 定义定义 称 0 lim xx yy0 If x y 为二重极限 而下面两个极限为二次极限 或累次极限 00 1 lim lim yyxx If x y 先对x 后对 y 00 2 lim lim xxyy If x y 先对 后对yx 问题问题 二者有何关系 1 12 I I都存在且 12 II 但I不存在 见上例 2 12 I I都不存在 但I存在 例如 1 sinsinf x yxy 1 yx 在原点 则 0 0 1 0000 11 lim lim lim limsinsin yxyx If x yxy yx 不存在 同样 2 I也不存在 但 0 0 11 limsinsin0 y x Ixy yx 这是因为 22 11 sinsin02xyxyxy yx 所以 可取 2 3 12 I I都存在 但 12 II 例如 333 22 3 xyxy f x y xy 在原点 0 则 0 1 000 2 0 lim lim lim 1 1 lim 1 1 yxy x If x y