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全国高中数学联赛赛前集训资料整理数论部分1.求所有的质数对,使得.解：若,不妨设,则,由费马小定理知,得,验证知符合.若为奇数,且,此时不妨设,则有,当时,符合要求,当时,由费马小定理有,故,由于为奇质数,但626的奇质因子只有313,故.验证知符合要求,若都不等于2和5,则,故 由费马小定理知 由知设,为正整数,若,则由易知：,这与矛盾,因此,由对称性有,矛盾.此时无解.故为.2. 设,数列满足,且对都有,证明：数列中有无穷多项是质数.证明：假设,为的最小质因子,则.故有,由题设知.则(质数),故,由以上讨论,可知有无穷多个使得且为的最小质因子.3. 已知,其中是非零整数,数列满足：,求证：(1)对于正整数,是的倍数；(2)证明：. 证明：(1)当时,成立；当时,.故能被整除,余下的可用数学归纳法证明.(2) 假设,则,由(1)可知,2007个差值都等于,且这些差值的和为,由于2007为奇数,且,矛盾! 故.第49届I MO预选题(四)第50届IMO预选题(四)费马小定理和欧拉定理的应用关于组合数的几个整除问题 多项式一、带余除法与因式定理1、余数定理：多项式除以的余数为.2、因式定理：注：高次多项式因式分解常用因式定理例1 设为互异的实数,为实系数多项式,如果除以的余式为,除以的余式为,除以的余式为.求除以的余式.解：因为 所以设,其中则 ,所以一定是的根而 ,所以 即 所以除以的余式为.例2 已知是整系数多项式,是互不相同的整数,且,试证：没有整数使得.分析：即证没有整数解证：因为是的根所以 ,其中一定是整系数多项式若存在整数使,则有 而7为素数,矛盾.故没有整数使得.注：可以根据例2中规律命制试题素数即可.例3 设是非常数的整系数多项式,表示满足的所有不同整数的个数,则,其中表示的次数.分析：或为与的整数解的个数设有个整数解,有个整数解,则有 得证：我们证明方程 与 中至少有一个方程的正根的个数不超过2.下用反证法证明.若结论不成立,设方程与方程均至少有3个正根.设是的3个不同正根,是的3个不同正根,则 ,得 不妨设 将代入式得 因为2是素数,而是互不相同的正整数,故矛盾.所以结论得证.二、多项式恒等定理如果次数不超过的多项式有个根,则必为零多项式,即.例4 已知自然数,求出所有满足条件的所有多项式.证明：当(常数)时,由有或 当时,则对任意复数,方程一定有解, 即使,又,即.故一切复数均为的解,即有无穷多个解,故由多项式恒等定理有. 例5 求所有满足条件的多项式分析：因为,所以 可化为.解：令,则有 令,则有,故式变为 设 其中则式左边 式右边所以有 下证,用反证法,设中有一个不为0,设是使得的下标最大者,即比较与中的系数,因为,所以式等号左边的系数为0,而式右边的系数为,所以 .这与矛盾,所以 ,故 再由式有 .又因,所以 故 即,所以有.例6 确定所有符合下列条件的多项式：.解：构造不动点,令用数学归纳法：当；假设.例 7 试确定所有实系数多项式,使得 (1)对所有实系数均成立.(1995年 澳大利亚)解：取 取则设 代入(1),有,当 则 则另一方面,若满足条件中的等式,因此所求的多项式为三、根与系数的关系例8 (1996 澳大利亚)设是三次多项式,是的三个根,已知的值.解：设,又 =且 则,于是四、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式：设为次多项式,则推论：若例9 设是半径为1的圆周上的个不同的点,证明：以单位圆的圆心为原点,建立复平面,令所对应的复数为,则,令 (1)则的次数不超过 特别地,取代入(1),有则 =已知,其单位根为,则解的集合为.结论1：若是模的完全剩余系,则结论2：设,则 (1)； (2)； (3).例 10 设均为多项式,且满足 (1),求证：是的因式.(美国)证明：令,取,则 (2) 由将4个等式相加,得 故 (3) ,则,由因