求函数值域方法概述.doc

求函数值域方法概述求函数值域方法概述彭千武在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域由定义域和对应法则共同确定。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。涉及求函数值域的问题有以下几类：一求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等。无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域。二函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目。要求学生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力。在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点。三运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决。要求学生具有较强的分析能力和数学建模能力。总之，函数值域的问题往往涉及面广，对学生的知识综合应用能力要求高，因此成为高中数学的一个难点。本文将对高中阶段的求函数值域方法予以总结和归纳。一直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可结合不等式的性质通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解：由得，故函数的值域是. 二. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例2. 求函数的值域。解：将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是4，8. 三. 判别式法 由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。例3. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程 时，方程均无实数解，故值域未扩大当时，解得：或当y=1时，而故函数的值域为. 四. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求原函数的定义域来确定原函数的值域。 例4. 求函数的值域。解：解得原函数定义域为， 原函数的反函数为，反函数定义域为， 故函数的值域为. 五. 函数有界性法利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例5. 求函数的值域。解：由原函数式可得：因为，所以，解得：故函数的值域为. 例6. 求函数的值域。 解：由原函数式可得：，化为， 因为，所以，解得：， 故函数的值域为. 六. 函数单调性法 例7. 求函数的值域。解：函数定义域为，令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，；当时， ，故函数值域为. 例8. 求函数的值域。解：将原函数分子有理化，可化为：，令，显然在上为增函数所以在上为减函数，且当x=1时，原函数有最大值故原函数的值域为. 七换元法通过换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。此方法要求学生已熟练掌握二次函数在某一区间上的值域和三角函数值域的求法。 例9. 求函数的值域。解：令，则， 当，即时，函数无最小值，故函数的值域为.例10求函数的值域。 解：由于，故令，则 ， ，所以， 故函数的值域为.例11求函数，的值域。解： 令， ， 当，即时，；当，即时， 故函数的值域为.例12求函数的值域。解：， 由于，故令，则 ， ，所以， 故函数的值域为.由上例可以归纳出：当遇到求形如的函数值域时，利用，可设，即，则，这样就转化成了三角函数的值域问题。 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：，令，则，当时，；当时，故函数的值域为 八. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等。 例14. 求函数的值域。解：原函数可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为.例15. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为例16. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例15，16可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。九. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征为解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，要注意等号成立的条件，另外有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例17. 求函数的值域。解：原函数变形为： ，当且仅当，即当时等号成立故原函数的值域为.例18. 求函数的值域。解：， 当且仅当，即当时，等号成立，由，可得：，故原函数的值域为.十构造向量法例19求函数的值域解：构造向量, , 则 （为与的夹角） 因为位于第一