2013届高三数学第一轮复习 第09章圆锥曲线与方程.doc

第九章 圆锥曲线与方程第一单元 椭圆、双曲线、抛物线【考纲要求】1.椭圆的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）是级要求；双曲线的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）是级要求；抛物线的标准方程和几何性质（顶点在坐标原点）是级要求.2.（1）掌握椭圆的定义和几何图形；掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法.（2）了解双曲线的定义和几何图形；了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质.（3）了解抛物线的定义和几何图形；了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质.【知识回顾】1椭圆的两种定义： (1) 平面内与两定点的距离的 等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距(2) 椭圆的第二定义：平面上到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆定点是椭圆的 ，定直线是 ，常数是 2椭圆的标准方程： (1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 ；(2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 3椭圆的几何性质(对进行讨论)(1) 范围： (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： (4) 离心率： ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 4双曲线的两种定义：（1）平面内与两定点的距离的 等于常数(大于)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的 ， 之间的距离叫做焦距（2）双曲线的第二定义：平面上到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫双曲线定点是双曲线的 ，定直线是 ，常数是 5.双曲线的标准方程：(1) 焦点在轴上，中心在原点的双曲线标准方程是 ；(2) 焦点在轴上，中心在原点的双曲线标准方程是 6双曲线的几何性质：(对进行讨论)(1) 范围： (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，实半轴长： ，虚半轴长： ；准线方程： (4) 离心率： 7.抛物线的定义：平面上到 的距离与到 的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 定点是抛物线的 ，定直线是 .8.抛物线的标准方程： .9.抛物线的几何性质：(对进行讨论)(1) 范围： (2) 对称性：对称轴方程为 (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，准线方程： (4) 离心率： 【方法回顾】例1. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行.(1)求椭圆的离心率；(2)设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆与直线相交于两点，且，求椭圆的方程.解：因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为， 即，所以，所以椭圆的离心率为由知，可得，又，所以过三点的圆的圆心坐标为，半径， 因为,所以.所以.所以圆心到直线的距离等于半径，即，得， 所以，故椭圆的方程为例2. （2009江西卷理）已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 求线段的中点的轨迹的方程;(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.解： (1) 由已知得,则直线的方程为:, 令得,即,设,则,即代入得:,即的轨迹的方程为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2) 在中令得,则不妨设,于是直线的方程为:,直线的方程为:,则,则以为直径的圆的方程为: ,令得:,而在上,则,于是,即以为直径的圆过两定点.59. 椭圆的标准方程与几何性质（1）【基础训练】1已知，是平面内任一点，（1）若，则点的轨迹方程为 ；（2）若周长为16，则点的轨迹方程 .2.是椭圆上的点， 为其焦点，若，则的最小值为 ，最大值为 ，的最小值为 ，最大值为 .3. 已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .4设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则点到右准线的距离为 . 5已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，是一定点,则的最大值是 6. 已知是椭圆上一点，为该椭圆的焦点，若，则的面积为 . 【例题分析】例1根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B；例2点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.求点P的坐标.例3椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆上，且P F1F1F2, | P F1|=,| P F2|=.（）求椭圆C的方程；（）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程.例4.（1）设分别是椭圆的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点,使得线段的垂直平分线恰好经过点,求椭圆的离心率的取值范围;（2）已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B过F、B、C作P，其中圆心P的坐标为（m，n）当mn0时，求椭圆离心率的范围【拓展提升】例5.设椭圆的左右焦点分别为，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率.60. 椭圆的标准方程与几何性质（2）【基础训练】1椭圆的的离心率为，则实数的值为. 2、是椭圆的左右焦点，为椭圆的一个顶点，若是等边三角形，则=_. 3.若椭圆上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为_. 4椭圆的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，则点（）在与圆的位置关系是 .5对于定点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在轴上；焦点在轴上；抛物线上横坐标为的点到焦点的距离等于；抛物线的通径的长为；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为。其中能使这抛物线方程为的条件是 6. 如图，已知椭圆的左、右准线分别为，且分别交轴于两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于 【例题分析】例1设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求椭圆的方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标例2.已知椭圆1（ab0）的长、短轴端点分别为，从此椭圆上一点（在轴上方）向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量.（1）求椭圆的离心率；（2）设使椭圆上任意一点，分别是左、右焦点，求的取值范围.例3已知椭圆C：1（ab0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B.（1）若k，求椭圆C的离心率的取值范围；（2）若k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程.例4如图，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，点到直线的距离.（1）求椭圆的方程;yxHAODF1F2（2）设点位椭圆上的任意一点，求的取值范围【拓展提升】例5已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过作，其中圆心的坐标为当时，求椭圆离心率的范围；直线与能否相切？证明你的结论61. 双曲线的标准方程与几何性质【基础训练】1已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 .2双曲线的渐近线方程是，则其离心率为_.3双曲线的一条准线为，则_.4设过双曲线的焦点且交双曲线于同一支的弦为AB，另一焦点为，若的周长为，则AB=_.5设是等腰三角形，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为 .6若双曲线（，）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是 . 【例题分析】例1.根据下列条件求双曲线的标准方程（1）与双曲线共同的渐近线，且过点（2，2）；（2）一条渐近线方程为，一条准线方程为；（3）经过两点，.例2.双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且过点（-3，2），过这个双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线的两条准线于两点，以为直径的圆过原点，求此双曲线的方程.例3.双曲线C：的右顶点为，轴上有一点，若C上存在一点，使，求此双曲线离心率的取值范围.例4如图，F为双曲线C：的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点，已知四边形为平行四边形，.（1）写出双曲线C的离心率与的关系式；OFxyPM（2）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程.【拓展提升】例5已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左右顶点，而的左、右顶点分别为的左、右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围.62. 抛物线的标准方程与几何性质【基础训练】1.已知抛物线的方程，则它的焦点坐标是 ，准线方程是 ，若该抛物线上一点到轴的距离等于，则它到抛物线焦点的距离等于 ，抛物线上的点到焦点的距离为，则点的坐标是 2.动点到点的距离比到轴的距离大，则点的轨迹方程为 3.抛物线方程为，则它的焦点坐标是 ，准线方程是 4.（08全国高考）已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 5.点，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则当取最小值时，点的坐标为 6过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程为 .【例题分析】例1.试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点； （2）焦点在直线上.例2已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点, 到抛物线准线的距离等于5,过作垂直于轴,垂足为,的中点为.(1)求抛物线方程；(2)过作, 垂足为,求点的坐标例3.在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上.（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式.例4.已知抛物线C关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点均在抛物线上.（1）写出抛物线C的方程及其准线方程；（2）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率.【拓展提升】例5.设F是抛物线G：的焦点.（1）过点作抛物线G的切线，求切线方程；（2）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值第二单元 曲线与方程【考纲要求】1 曲线与方程级要求；2 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程及几何性质级要求；了解曲线与方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合的思想方法。能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题；能够运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系使学生进一步理解轨迹的概念，会使用直接法和定义法以及代点法以求轨迹及轨迹方程【知识回顾】1曲线与方程 如果曲线上的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在曲线上，那么_叫曲线的方程，_叫方程的曲线2 求曲线方程的步骤建立坐标系，_，_，_，_3 求两条曲线交点的方法对于曲线和曲线，（1）是与的公共点_（2）求两条曲线的交点，就是求方程组_的实数解4方程组的解与曲线交点的对应 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有_；方程组没有实数解，两条曲线就没有_5求轨迹的几种常用方法：_，_，_，_【方法回顾】PxyAF1F2MO例1.已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，是以为直径的圆. w ww.ks5 u.co m（1）当的面积为时，求所在直线的方程；（2）当与直线相切时，求的方程；（3）求证：总与某个定圆相切.解答：（1）易得，设点P，则，所以又的面积为，解得，所在直线方程为或 （2）因为直线的方程为，且到直线的距离为化简，得，联立方程组，解得或当时，可得，的方程为；当时，可得，的方程为（3）始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作）相切证明：因为，又的半径，和相内切.例2（2006年全国卷II）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且过两点分别作抛物线的切线，设其交点为（1）证明为定值；（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值解：(1)由已知条件，得设由即得 将式两边平方并把，代入得解得且有y1，y2，且有抛物线方程为，求导得所以过抛物线上两点的切线方程分别是即解出两条切线的交点的坐标为所以=所以为定值，其值为0（2）由（1）知在中，因而 因为分别等于到抛物线准线的距离，所以于是 63. 曲线的交点、直线与圆锥曲线【基础训练】1直线与抛物线，当_时，有且只有一个公共点；当_时，有两个不同的公共点；当_时，无公共点2若直线和椭圆恒有公共点，则实数_3若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 4.椭圆上的点到直线的最短距离为_ 5.过点(2，4)作倾斜角为的直线交抛物线于两点，且成等比数列，则抛物线方程是_ 6. 已知以为焦点的抛物线上的两点满足,则弦的中点到准线的距离为_.【例题分析】例1.椭圆与直线相交于两点，且 (为原点)（1）求证：等于定值；（2）若椭圆离心率，求椭圆长轴的取值范围例2.过点(1，0)的直线与中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆相交于两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆的方程例3. 过椭圆内的一点的弦，恰好被点平分，求这条弦所在直线的方程例4.设抛物线方程为x2=2py(p0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.【拓展提升】例5.定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆E： 的一个焦点为 ( c0)，为椭圆E上的任意一点（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；（2）设E为“黄金椭圆”，问：是否存在过点F、P的直线L与y轴的交点R满足？若存在，求直线L的斜率k；若不存在，说明理由（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S (0，2)，求使取最大值时点P的坐标64. 曲线与方程【基础训练】1 方程化简的结果是 2 已知，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是 3 若动圆M与两个定圆：，：均外切，则动圆M的圆心M的轨迹方程是 4已知点是椭圆上的动点，和是它的左右焦点，延长至，使得，则点的轨迹方程是 .5求抛物线上任意一点与其焦点连接所得线段的中点P的轨迹方程 6方程表示的曲线是 【例题分析】例1求平面内到两个定点的距离之比等于2的动点的轨迹方程例2长为(是正常数)的线段AB，它的一个端点在轴的正半轴上滑动，另一个端点B在y轴的正半轴上滑动，则求线段AB中点M的轨迹方程例3已知抛物线为顶点，为抛物线上两点，且满足，如果于点，求点的轨迹方程例4已知双曲线的左，右顶点分别为与轴平行的直线交双曲线于两点求直线与的交点的轨迹方程【拓展提升】例5设点在轴上，点在轴上，且，(1) 当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；(2) 设是曲线上三点，且成等差数列，当得垂直平分线与轴交于点时，求点的坐标65. 圆锥曲线的综合应用【基础训练】1双曲线的两个焦点为，若为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为_2已知是椭圆的两个焦点满足0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_ 3已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为_ 4已知P点在圆上移动，Q点在椭圆上移动,则的最大值 为 _ 5过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴左侧），则 6（08海南、宁夏文科）过椭圆的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为_ 【例题分析】例1已知椭圆与射线交于点，过点作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一交点分别为（1）求证：直线的斜率为定值；（2）求面积的最大值例2已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，（1）求椭圆方程；（2）设椭圆在轴正半轴上的焦点为，又点和点在椭圆上，且，求线段所在直线的方程例3给定抛物线：，是的焦点，过点的直线与相交于两点，（1）设的斜率是1，求与夹角余弦的大小；（2）设，求在