立体几何解题模型.pdf

1 增强模型意识 口算解题不再是梦想增强模型意识 口算解题不再是梦想 新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路 一套是传统思路 以欧 式几何中的公理 定理及推论作为一条主线 灵活添加辅助线 数形结合求得题 解 另一套则是借助空间直角坐标系 将立体图形坐标化 从而将几何问题完全 转化成代数问题 再通过方程来解决问题 在此 我愿意另辟蹊径 用模型的意识来看待立体几何问题 利用补形法 力争将高考立体几何大题变为口算题 为了实现这一目标 我们先来熟悉一下几 个模型 1 长方体的长方体的 一角一角 模型模型 在三棱锥PABC 中 PAPB PBPC PCPA 且 PAa PBb PCc 三棱锥PABC 的高 222222 abc h a bb cc a 证明 设直线 AH 交 BC 于 D 点 由于 H 点一定在 ABC 内部 所以 D 点 一定在 BC 上 连结 PD 在 PAD 中 22 222222 22 22 bc a abc bc PH bc a bb cc a a bc PBCA PCAB PABC 二面角的平面角分 别是 222222 arctan arctan arctan abcbaccab bcacab 例 1 四棱锥PABCD 中 底面ABCD是边长 为2的正方形 1PAABCD PA 面 求ADPB 的大小 分析 考虑三棱锥APDB 它就是模型 1 长方 体的 一个角 本来我们可以利用结论 解 设二面角ADPB 的大小为 P C B A c b a D H P C B A c b a P D C B A 2 则 22 1216 tan 212 ABPAAD PA AD 故 6 arctan 2 我们看到象例 1 这样本来是高考中大题目 可是抓到了长方体 一角 做起 来就变得很轻松了 例 2 直二面角DABE 中 ABCD 是边长为 2 的正方形 见图 AE BE 求 B 点到面 ACE 的距离 分析 这是一道高考中的大题 因为 D AB E 是直 二面角 BC 面 ABE 当然面 ABCD 面 ABE 又因 为 ABCD 是正方形 BC 要垂直于面 ABE 在 ABE 中 AE 就是面内的一条线 而 BE 就是 BF 在该面内的射影 而 AE 是垂直于 BF 这是因为 BF 垂 直面 ACE 的 所以 AE 是垂直于面 ACE 的 所以 AE 垂 直于 BF 又有 AE BE 所以 ABE 是等腰直角三角形 这一小段是熟悉几何环 境的过程 图形中特殊的位置关系约束 ABE 的形状 补充图形 在正方体 1111 ABCDA B C D 看问题 在这 里看直二面角的局部图形 问题就转化为 求 D 到面 ACE 的距离 就是求 O 点到面 AB1C 的距离 因为 O B 到面 ACB1的距离相等 所以只须求 B 到面 ACB1的距离即可 考虑三棱锥 B ACB1 它是模型 2 3 1 4 223 2 3 23 BCBABBBF 所以 D 到面 ACE 的距离为 23 3 点评 比起高考评分标准给的答案那要简单得多了 这儿要注意 一个是把 局部的直二面角根据它的AEB是以 E为直角的等腰直角三角形和 ABCD是正方 形的图形特征 补足正方体 这就是一种扩大的几何环境 而正方体也就是长方 体模型 另一方面又抓到这正方体的一个角 B ACB1 那么这个角的模型更高 O D1 C1 B1A1 F E D C BA E D C B A 3 这就使我们在运算过程中得以简化 所以说一道看起来很复杂的几何题 用典型几何模型做就显得轻松 例 3 底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截 AB 4 BC 2 CC1 3 BE 1 见图 求 C 点到面 AEC1F 的距离 分析 这也是一道高考题 在评分标准 中给出了很多的辅助线 现在我们用典型的 空间模型 再对这道题解解看 解 延长 C1E 交 CB 延长线于 M 延长 CD 交 C1F 延长线于 N C C1NM 是模型 2 因为 1 3 3 21 C CCMCM CM CNBCBECM 同理 1 3 12 42 C CCNCN CN CNCDDFCN 所以 C 到面 C1MN 的距离为 3312433 119991449144 2 公式 公式 12 coscoscos 的几何模型的几何模型 PBPA 平面 是的斜线 B AB 是 PB 在 内的射影 BC 是 内一条 直线 12 PBCPBAABC 则有 12 coscoscos 大家要注意搞清楚那个是 那个是 1 那个是 2 实际上只要搞清那个是 另外两个就是 12 特别的 内的直线不一定过 B 如上面的右图所示 N M E D C1 F C B A D 2 1 P C B A 2 1 P C B A 4 在直线 AB 上有一点 D 过 D 在 画一直线 DC 则 是直线 PB 与 DC 所 成的角 12 PBAADC 则 12 coscoscos 那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角 PB 和 DC 的成角 例 4 EA 面 ABCD ABCD 是边长为2的正方形 EA 1 在 AC 上是 否存在 P 点 使 PE BC 成60 角 分析 1 2 EPA APM EPM coscoscosEPAAPMEPM 即 2 12 22 1 AP AP 所以 1 1 2 APAC 可见 AC 中点即是要找的点 P 例 5 长方体 1111 ABCDA B C D 中 AB 2 AA1 1 BD 与面 AA1B1B 成 30 角 AE BD 于 E F 为 A1B1的中点 求 AE BF 成角 解 12 coscoscoscos 45 cos 9030 212 224 所以 AE BF 成角为 2 arccos 4 这样的一个题目 最重要的是位 在高考评分标 准中 都要有很长的解题过程中 这些结论在高考中 教材中有的可以直接用 有的可以先用 然后把结论来 源说明 这样可以减少思考的时间与计算量 这就相当于电脑中的集成块一样 减 少空间 3 双垂四面体 双垂四面体模型模型 如图 3 四面体 A BCD AB 面 BCD CD 面 BCA 这种四面体构成 许多简单多面体的基本图形 不妨称为双垂四面体 主要性质 P N M D C B A E D1 C1 B1 A1 F E D C B A 5 coscoscosADCADBBDC 以 BD BC和 AC为棱的二面角都是直二面角 以 AB BC 为棱的二面角的平面角 分别是DBC 与ACB 以 AD 为棱的二面角为 则cos AB CD ACBD 对棱 AB 与 CD 垂直 且 BC 是它们的公垂线 对棱 AD 与 BC 为异面直线 它们夹角为 则cos BC AD 例3 如图4 ABCD是上下底长分别为2和6 高为3 的等腰梯形 将它沿对称轴 OO1拆成直二面角 如图 5 1 证明 AC BO1 2 求二面角 O AC O1的大小 解 1 略 2 平面 AOO1 平面 OO1C 又 AO O1C AO 平面 OO1C 同理 CO1 平面 AOO1 四面体 AOO1C 是一个 双垂四面体 若二面角 O AC O1的平面角为 则 1 1 c o s A OC O O CA O 根据条件 从图 5 中可知 AO 3 OC 2 1 23AO CO1 1 即可自得 3 cos 4 例 4 如图 6 直二面角 D AB E 中 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 AE EB F 为 CE 上的点 且 BF 平 面 ACE 1 求证 AE 平面 BCE 2 求二面角 B AC E 的大小 3 求点 D 到平面 ACE 的距离 分析 当 1 证明后 我们很容易识别四面体 A EBC 是一个双垂四面体 若二面角 B AC E 的平面角为 则 cos CBAE AB CE 由 条 件 可 以 计 算 出 AB CB 2 AE 2 6CE 图3 D C B A O1 O 图4 DC BA O1 O 图5 D C B A 图6 F E D C B A 6 3 arccos 3 值得注意的是此题的 3 并不需要用等积变换 根据平面斜线上两点到平 面的距离等于它们的斜线长的比 点 D 到平面 ACE 的距离等于 B 点到平面 ACE 的距离 也就是线段 BF 的长为 2223 36 E BB C EC 利用典型立体几何模型解高考题利用典型立体几何模型解高考题 1 本小题满分 13 分 如图 已知三棱锥OABC 的侧棱OAOBOC 两两垂 直 且1OA 2OBOC E是OC的中点 1 求O点到面ABC的距离 2 求异面直线BE与AC所成的角 3 求二面角EABC 的大小 解 显然三棱锥OABE 和OABC 都是长方体一脚 模型 1 设O点到面ABC的距离为h 则由结论 1 222222 6 3 OA OB OC h OAOBOBOCOAOC 2 设BE与AC所成的角为 则由模型二coscoscosOEBACO 由勾股定理5ABACBE 所以 2 cos 5 ACO 1 cos 5 OEB 故 2 cos 5 2 arccos 5 3 设二面角EABO CABO EABC 的大小分别为 则 由结论 1 22 tan5 OCOAOB OA OB 22 5 tan 2 OEOAOB OA OB 所以 tantan5 tan 1tantan7 2 本小题满分 13 分 7 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PD 底面 ABCD E 是 AB 上一点 PE EC 已知 2 1 2 2 AECDPD 求二面角 E PC D 的大小 解 过 E 点作EGCDG 于 G过点作 FGCDGEF 于 连结 则显然三棱锥 GCEF 是长方体一角模型 设二面角 E PC D 的 大小为 则由结论 1 可知 22 tan EGCGFG CGFG 下面就只剩下计算问题了 因为 PD 底面 故 PD DE 又因 EC PE 且 DE 是 PE 在面 ABCD 内的 射影 故由三垂直线定理的逆定理知 EC DE 设 DE x 因为 DAE CED 故1 1 2 xx x CD AE x 即 负根舍去 从而 DE 1 故 有勾股定理 3 2 ADEG 3 2 CGCDDG 又因为 CGFG CDDP 所以 32 4 CG DP FG CD 故 22 tan1 EGCGFG CGFG 二面角 E PC D 的大小为 4 3 本小题满分 13 分 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 侧面 BB1C1C E 为棱 CC1上异于 C C1的一点 EA EB1 已知 AB 2 BB1 2 BC 1 BCC1 3 求 异面直线 AB 与 EB1的距离 二面角 A EB1 A1的平面角的正切值 解 显然四面体 1 ABEB 是双垂四面体模型 由结论 3 BE 是异面直线 AB 与 EB1的公垂线 在平行四边形 BCC1B1中 设 EB x 则 EB1 2 4x P DC BEA G F C B A E B C A 8 作 BD CC1 交 CC1于 D 则 BD BC 2 3 3 sin 在 BEB1中 由面积关系得0 3 1 2 3 2 2 1 4 2 1 222 xxxx即 3 1 xx解之得 负根舍去 3 3 cos21 3 22 CECEBCEx中