2014《概率论与数理统计辅导讲义》练习题二.pdf

请关注新浪微博 金榜图书官方微博 7 7 7 练习题二 一 填空题 1 详解 P X 2 1 P X 1 P X 1 F 1 F 1 0 F 1 F 1 0 313 10 488 2 详解 由密度函数 f x 满足 1f x dx 可得 01 10 1Cx dxCx dx 积分得 1 2 1 2 C 从而 C 1 可以验证 C 1 满足 f x 0 的条件 因此常数 C 1 3 详解 因 P X a 1 34 d41 aa f xxx dxa P Xa P X a 于是有 44 1 aa 得 4 1 2 a 又 a 0 1 所以 4 1 2 a 4 详解 由题意知 X的密度函数 2 2 2 1 2 x f xe 则 2 2 2 3 1 2 x fxex 22 22 2 22 35 11 22 xx fxeex 2 2 22 2 5 1 2 x ex 令f x 0 得 x 且f x 在x 两边符号相反 因此f x 的两个拐点为x 5 详解 由 X 服从参数为5的 Poisson 分布有 P X k 5 5 k e k k 0 1 2 概率论与数理统计辅导讲义练习题详解 8 8 8 5 1 P Xk P Xkk 1 5 15 k k 由此可知 当 k 2 时 P X k 取到最大 注 一般地 若 X 服从参数为 的 Poisson 分布有 P X k k e k k 0 1 2 则比值 1 1 1 1 k P Xk k P Xkk k 即当 k 时 P X k 单调增加 当 k 时 P X k 单 调减少 由此可知 当 不是正整数时 k 即k为不超过 的最大整数时 P X k 取到 最大 当 是正整数时 k 及 k 1 均使得 P X k 取到最大 二 选择题 1 详解 A 中由于 F 2 0 1 F 2 1 3 因此 F x 不能作为分布函数 B 中由于 F 0 1 因此 F x 不能作为分布函数 D 中 F x 在 0 上不满足单调不减的性质 C 符合分布函数的四条性质 能够作为分布函数 所以选 C 2 详解 由题意知 随机变量 X 服从标准正态分布 因此 P X 1 F 1 2 1 2 11 d 2 t et 由于 2 2 1 0 2 t e 因此 P X 1 随着 的增加而减小 于是正确答案为 D 3 详解 由 f x f x 可知 d d d aa a Faf xxfxxf xx 1 F a 因此应选 D 4 详解 由 X 服从指数分布 可知随机变量 X 的分布函数为 1 0 0 0 x ex F x x 请关注新浪微博 金榜图书官方微博 9 9 9 Y 的分布函数为 2 min 1 2 min yXPyXPyYPyFY 1 2 P Xyy 考虑 y 2 和 y 2 两种情况 当 y 2 时 1 yXPyXPyFY 0 0 20 1 y ye y 当 y 2 时 FY y 1 故 2 1 20 1 0 0 y ye y yF y Y 可见 FY y 只在 y 2 处有一个间断点 故正确选项为 B 5 详解 因 a b c 且 f a f c f b 由 N 2 的密度函数 f x 性质知 a c b c 解得 a c 2 b c 于是 22 cbca 故选 A 三 解答题 1 详解 由题意知 X 的可能取值为 2 1 3 且 P X 2 F 2 F 2 0 11 0 55 P X 1 F 1 F 1 0 711 1052 P X 3 F 3 F 3 0 73 1 1010 即 X 分布律的表格形式为 213 113 5210 X P 2 详解 由题意知 X 的可能取值为 3 4 5 其中 3 3 3 5 1 3 10 C P X C 2 3 3 5 3 4 10 C P X C 2 4 3 5 3 5 5 C P X C 即 X 分布律为 233 113 10105 X P 概率论与数理统计辅导讲义练习题详解 1 1 10 0 0 3 详解 设系统由工作状态相互独立的 6 个相同元件按 T1与 T2 T3与 T 4 T5与 T6两两串 联再并联而成 令随机变量 T 表示系统的正常工作时间 T i表示 第 i 个元件正常工作时 间 i 1 2 3 4 5 6 则 T1 T2 T3 T4 T5 T6 相互独立 且均服从 E 当 t 10 11 2 55 10 10 1 5 xx edxee 由题意知 Y 服从 B 5 p 分布 即 Y 的分布律为 5225 55 1 1 kkkkkk P YkC ppC ee k 0 1 2 3 4 5 于是 P Y 1 1 P Y 0 2 5 1 1 e 5 详解 用随机变量 X 表示抽取次数 则 X 的可能取值为 1 2 3 4 且 5 1 8 P X 369 2 8832 P X 32721 3 888256 P X 3213 4 888256 P X 于是抽取次数 X 的分布律为 1234 592 13 83 22 5 62 5 6 X P 6 请关注新浪微博 金榜图书官方微博 1 1 11 1 1 详解 方程 x2 Y x 3 4 Y 1 0 没有实根充分必要条件为 Y 2 4 3 4 Y 1 0 即 1 Y 4 于是 P 1 Y 4 41 54 a a 解得 11 3 a 7 详解 1 由分布函数的性质有 a F 0 d F 1 F 1 0 F 1 知 c 1 0 即 c 1 F e 0 F e 得 b e c e 1 1 即 b 1 故所求常数 a 0 b 1 c 1 d 1 2 由 1 知道 F x 0 1 ln1 1 1 x xxxxe xe 因 F x 连续 且只有两个不可导点 故为连 续型随机变量的分布函数 因此密度函数 ln 1e 0 xx f xF x 其他 8 详解 Y min X X 2 2 01 XX X 其他 FY y P Y y P min X X 2 y 0 01 1 P Xyy P Xyy P Xyy 所以 fY y F Y y 1 0 1 2 X X fyy y fy 其他 9 详解 FY y P Y y P X 2 2 X 5 y P X 1 2 6 y 由 x 1 2 6 y 将密度函数的分段点 x 1 0 4 代入 再加上 6 y 0 可得 y 的分界点为 6 5 2 3 当 y 6 时 FY y 0 当 6 y 5 时 FY y P X 1 2 6 y P 1616yXy 1616 1616 1 dd 8 yy X yy fxxx 6 4 y 当 5 y 2 时 FY y P X 1 2 6 y P 1616yXy 概率论与数理统计辅导讲义练习题详解 1 1 12 2 2 16016 16160 11 ddd 28 yy X yy fxxxx 563 88 y 当 2 y 3 时 FY y P X 1 2 6 y P 1616yXy 16016 1610 11 ddd 28 yy X y fxxxx 65 88 y 当 y 3 时 FY y 1 所以 Y 的密度函数为 0