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挖掘隐含条件 破解函数综合题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样。在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用。综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能，而抽象函数又是函数综合问题中的难点。 抽象函数是指没有明确给出解析式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手，因此，必须全面掌握有关的函数知识，严谨审题，分清题目的已知条件，挖掘题目中的隐含条件。为此，本文拟通过数例进行分类剖析，供学习和复习时参考。一、求解有关定义域1、已知函数的定义域为（或），求的定义域是指求满足的的取值范围。 例1、设函数的定义域为，求函数的定义域。分析：一般地说，对于含有参数的题，应对参数进行讨论，解：由（A）因为，所以当时，不等式组（A）的解集为；当时，不等式组（A）的解集为；当时，不等式组（A）的解集为。综上所述：所求函数的定义域为中小学教育库 高考库 中考库 教案库 试卷库 课件库 作文库 论文库 学前家教 电脑库2、已知函数的定义域为（或），求函数定义域是指求时，的值域，即是函数的定义域。例2、已知函数的定义域为，求函数的定义域。分析：注意对函数和复合函数的定义域的概念要理解清楚。解：由，所以函数的定义域为。从而由。因此，所求函数的定义域为二、有关奇偶性和单调性的判断和应用 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质以及已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系，画出函数的示意图，以形助数，从而才能使问题迅速获解。例3、已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；分析：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)变形为是解决问题的关键.解：（1）因为对x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)=0, x0,1又因为f(1)=f(+)=f()f()=f()2f()=f(+)=f()f()=f（）2又f(1)=a0 f()=a,f()=a(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.将上式中x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.例6、设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.证明：(1)不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x). f(x)是奇函数.(2)要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.四、求函数的某些特殊值和最值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”。同时，紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例7、已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，从而得解。解：显然，于是 ， 所以 故是以8为周期的周期函数，从而 例8、设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时f(x)0,f(x1)f(x2)=f(x1x2)+x2f(x2)=f(x1x2)+f(x2)f(x1)=f(x2x1)因为x0时f(x)0,f(x1)f(x2)0f(x)在9，9上是减函数故f(x)的最大值为f(9),最小值为f(9).而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=12,f(9)=f(9)=12.f(x)在区间9，9上的最大值为12，最小值为12.五、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，脱掉“”符号，转化为代数不等式组求解解，但要特别注意函数定义域的作用。例9、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围分析：（1）欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明(2)根据函数的性质。f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次不等式k3-3+9+2对于任意xR恒成立，再用分离系数法求解(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函数(2)分离系数由k3-3+9+2得例10、已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0,都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.分析：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：f(x)是R上的奇函数，且在0，+)上是增函数，f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20.设t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在0，1上的最小值为正.当0,即m0m1与m042m4+2,421,即m2时，g(1)=m10m1.m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42.六、解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性脱掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例11、已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0.(1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式：f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围.分析：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+1，1，1，1必不可少(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数.(2)解：f(x)在1，1上为增函数， 解得：x|x1，xR(3)解：由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2.t的取值范围是：t|t2或t=0或t2.七、讨论方程根的问题例12、 对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(ax)。(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.分析：数形结合、等价转化.(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函数的图象上，而=a,点(x0,y0)与(2ax