2014年北京市中学生数学竞赛(初二).doc

2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题一、 选择题（每小题5分，共25分）1.若，则=（ ）A5 B. C. D. 2.已知一个面积为S且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A的小正六边形的顶点. 则=（ ）A B. C. D. 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）A30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 9984.已知A（，），B（，）是反比例函数在平面直角坐标系的第一象限上图象的两点，满足，. 则（ ）A B. C. D. 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008二、填空题（每小题7分，共35分）1.在110 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.2. （表示不超过实数的最大整数）.3.在四边形ABCD中，已知BC=8，CD=12，AD=10，A=B=60.则AB= .4.已知M是连续的15个自然数1，2，15的最小公倍数.若M的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M的“好数”.则M的好数有 个.5.设由18的自然数写成的数列为，.则+的最大值为 .三、（10分）已知.证明：，三个数中至少有两个相等.四、（15分）在凸四边形ABCD中，已知BAC=30，ADC=150，且AB=DB.证明：AC平分BCD.五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？参考答案一、 选择题（每小题5分，共25分）题号12345答案ABCBD5.设2 015个整数为，.记+=M.不妨设M-=（=1，2，2014），M-=A.则2014M=1+2+2014+A.故A除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当=1008-（=1，2，2014），=1时取到.二、填空题（每小题7分，共35分）题号12345答案9 8834324.M=，则M的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即、.5.由题意记S=+.该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由14取负，由58取正，于是，S=2（8+7+6+5）-（4+3+2+1）=32.如+=32.三、由左边进行因式分解得到即可.四、提示：作点B关于AC的对称点E，连接AE、BE、DE.则ABE为正三角形，下面证明E、D、C三点共线即可.可设DBE=，可得到EDA=30.五、设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为.依题意知.对任意均有.于是，.故.由于为整数，从而，为2013的约数.注意到，2013=31161不超过45的最大约