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第39次课 第七章：空间解析几何与向量代数第一节：空间直角坐标系； 第二节：向量及其加减数乘运算教学时数：2学时教学目的：1.理解空间直角坐标系，2.理解向量的概念及其表示法，重点、难点：向量的概念及其表示法。主要内容： 7.1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系在空间内作三条相互垂直且相交的数轴,这三条数轴的长度单位相同它们的交点称为坐标原点 称为轴、轴和 轴一般地，取从后向前，从左向右，从下向上的方向作为轴，轴, 轴的正方向（图61） 统称为坐标轴由两个坐标轴所确定的平面，称为坐标平面，简称坐标面 轴，轴, 轴可以确定三个坐标面这三个坐标面可以把空间分成八个部分，每个部分称为一个卦限其中坐标面之上，坐标面之前，坐标面之右的卦限称为第一卦限按逆时针方向依次标记坐标面上的其他三个卦限为第二、第三、第四卦限在坐标面下面的四个卦限中，位于第一卦限下面的卦限称为第五卦限，按逆时针方向依次确定其他三个卦限为第六、第七、第八卦限（图2）图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定用右手握住轴,当右手的四个手指从轴正向以的角度转向轴的正向时，大拇指的指向就是 轴的正向 图1 图2二、空间一点的坐标已知为空间一点过点作三个平面分别垂直于轴，轴和轴，它们与轴、轴、轴的交 点分别为、（图3），这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为于是空间的一点就唯一确定了一个有序数组这组数就叫做点的坐标，并依次称为点的横坐标，纵坐标和竖坐标坐标为的点通常记为 图3 反过来，有一个序数组，我们在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在z轴上取坐标为的点，然后通过、与分别作轴、轴与轴的垂直平面这三个垂直平面的交点即为以有序数组为坐标的点（图3） 我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点和有序数组之间的一一对应关系三、两点间的距离公式设为空间内的两个点，由图4可知两点间的距离为 （是直角三角形），其中是直角三角形），而 ， ， 所以之间的距离为 图4例1 求解 小结： 强调空间直角坐标系、两点间的距离公式作业： P184 1（1）；（2）。7.2. 向量及其加减数乘运算一向量的概念向 量：既有大小，又有方向的量称为向量，常用的表示方法有：，；向量的模：向量的大小或向量的长度，记作，或；单位向量：模为1的向量称为单位向量；零 向 量：模为0的向量称为零向量；通常记作，、或；（注：零向量的方向是任意的）负 向 量：与向量方向相反，模相等的向量称为向量的负向量，记作：；向 径：起点位于坐标原点的向量称为向径，常表示为：，；向量相等：与同向，且模相等，在此意义下，通常的向量都是自由向量。二向量的线性运算1加减法规定： 向量的加、减法遵循平行四边形法则或三角形法则；2数乘（数乘向量） 数量， 向量，则仍然是向量，且当时，/，注：若，取，则是与同方向的单位向量，记作：；与平行的单位向量；将上面的等式变形为：，表明任一非零向量均可用与其同方向的单位向量的数乘来表示，并且所乘的系数就是该向量的模。3线性运算的运算律交换律与结合律（加法） 结合律与分配律（数乘） 定理1、设，为非零向量，则/存在非零常数，使得。 证：如果/，则，即，；反之，由及数乘的定义，可知/。注：定理表明，当两个向量平行时，其中一个向量必然可以用另一个向量的数乘表示，或两个平行的向量可以相互线性表出。讨论、思考、作业：讨论：P374，Ex7-1 ,T2,4思考：P380，Ex7-2,T1-3作业： T1-4第40次课 第三节：向量的坐标教学时数：2学时教学目的：掌握向量的坐标表示式及向量的运算理解极限的概念。重点、难点： 主要内容：一、向量在轴上的投影与投影定理1、空间点在轴上的投影设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影。2、向量在轴上的投影设向量的始点与终点在轴的投影分别为、， 那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影， 记作 ， 轴称为投影轴。这里，的值是这样的一个数值。(1)、即， 数的绝对值等于向量的模。(2)、当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，。3、投影定理【定理】向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦。即【证明】过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有相同的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有故 由上式可知：向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量。当非零向量与投影轴成锐角时， 向量的投影为正；当与投影轴成钝角时，向量的投影为负；当与投影轴成直角时，向量的投影为零。【定理】两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和，即证明：如图所示， 设为投影轴，作折线，使 ， ，不论在轴上的位置如何，总有即 【推广】二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量的研究较复杂，为了沟通向量与数量，需要建立向量与有序数组之间的对应关系，借助向量在坐标轴上的投影可达到此目的。1、向量在数轴上的投影向量及表示法设是一空间向量， 为一条数轴。点、在轴上的投影分别为、，而点、在数轴上的坐标依次为、，则记 ，则 (1)设是与轴的正方向一致的单位向量，那么(2)(1)式是向量在轴上的投影的计算公式，而称为向量在轴上的投影向量，(2)式是它的一种表示法。2、向量在坐标轴上的分向量设是一空间向量，其始点为，终点为，过点、各作垂直于三个坐标轴的平面，这六个平面围成一个以线段为对角线的长方体。从图中可以看出而向量、分别是向量在、轴上的投影向量， 我们称它们分别是向量在、轴上的分向量。若以、分别表示沿、轴正向的单位向量， 并称它们为这一坐标系的基本向量。于是因此 或 此二式称为向量或按基本向量的分解式。3、向量的坐标一方面，由向量可以唯一地定出它在三条坐标轴上的投影； 另一方面，由又可以唯一地定出向量。这样，向量与有序数组之间建立了一一对应的关系。故可以把向量在三条坐标轴上的投影叫做向量的坐标，将表达式称作向量的坐标表示式。注意：向量的坐标表示式是用花括号 表示的，不要与空间点的坐标表示式用圆括号( )表示相混淆。以为始点及为终点的向量的坐标式可表示成 特别地， 空间点对于原点的向径为4、用坐标形式表示向量的运算性质设 ，则，于是最后，我们得到了向量加减与数乘运算的坐标表示式【例1】定比分点公式设和为两已知点，有向线段上的点将它分为两条有向线段和，使它们的值的比等于数()，即求分点的坐标。解：因为与在同一直线上，且同方向，故 ，解得三、向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的。设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为，规定： 称为向量的方向角。因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此(1)公式(1)中出现的称为向量的方向余弦。而 是与向量同方向的单位向量。而 (2)从而向量的方向余弦为(3)并且 (2)、(3)式分别给出了用坐标式给出的向量的模与方向的计算公式。【例2】已知两点和，求与同方向的单位向量。解：讨论、思考、作业：讨论：P391，Ex7-3 ,T2,4思考：P391，Ex7-3 ,T5,6作业： T5-8第41次课 第四节：数量积 向量积教学时数：2学时教学目的：掌握向量的数量积，向量积重点、难点：数量积与向量积的应用 主要内容：一向量的数量积（点积、内积）1引例(1) 作功问题 有一方向、大小都不变的常力作用于某一物体（如图），使之产生了一段位移，求力对此物体所作的功。解：由物理学的知识，可得：且当时，作正功；时，作负功；若，则不作功。(2) 流量问题 某流体流过面积为的平面，其上各点处流速均为（常向量），设是垂直于平面的单位向量，计算单位时间内流过此平面的流体的质量即流量（其中流体的密度为）。解：单位时间内流过此平面的流体即斜柱体内的流体，其质量为 定义1、设有向量，其夹角为，称数量为向量 与的数量积，记作：，也称为与的点积，读作点乘。由此定义，引例中的功可以表示为：，流量为。注：如果，有，若则有，故 由上面讨论可以得到用点积计算投影的公式：，；由定义，2性质 交换律：分配律：结合律： 设为非零向量，则 点积的坐标运算：设，则：因为： 3点积的两个应用 求两个向量的夹角的余弦 求投影 例1在平面上求一向量，使得。其中且。解：设，将条件带入，有在平面上，或： ，： 即 ： 解得：，所求向量：。例2设为单位向量，且满足，求。解： 将上面的三式相加： 二向量的向量积（叉乘积，外积）例1.力矩问题设为杠杆的支点，力作用在杠杆上点处（如图），根据力学知识，力对于支点的力矩为向量，其方向垂直于力与向量所确定的平面，且从到按照右手规则确定，其模为。定义2、设有非零向量，夹角为（），定义一个新的向量，使其满足 ； ，的方向从到按右手系确定。称为与 的向量积，记作：，读作叉乘。注：是一个既垂直于，又垂直于的向量；的几何意义：以、为边的平行四边形的面积。2性质“交换律”： 分配律： 结合律： 例2证明基本单位向量、满足： 证：，表明，是单位向量；由定义，且从到满足右手系，故的方向正是轴的正方向，即的方向与的方向一致；从而证得：。的坐标计算 + 如，则 设为非零向量，则：因为，即，则，即：，整理得：。例3已知三角形的顶点为，求三角形的面积。解：， 例4已知，求一个单位向量，使之既垂直于又垂直于。解：解法 根据向量积的定义，满足既垂直于又垂直于。 满足条件的单位向量为：。解法 设所求向量为：，利用条件，即 : ，即 : 或 : 解此方程组，可得，即。例5求向量在向量方向上的投影。解：，。例6设向量，向量，问满足什么关系，向量与轴垂直。解： 由于，则，即，即。例7设空间三个点为，求解： ， ， 。例8已知某向量模为2，与轴、轴的夹角相等，与轴的夹角是前者的两倍，求此向量。解：设所求向量为，则其方向角，则且有,或，即或，从而或；又所以或。例9设，求向量间的夹角。解：，且：，：， 两式相减：，解得：且， 讨论、思考、作业：讨论：P402，Ex7-4 ,T2,4思考：P402，Ex7-4 ,T5,6作业： T8-1047第42次课 第五节 曲面及其方程 第六节 空间曲线及其方程教学时数：2学时教学目的：1、 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；2、 了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影并会求其方程. 重点、难点：旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，曲线在坐标面上的投影。主要内容：7.5 曲面及其方程空间曲面的一般方程：。一球面 定点，曲面上任意一点，与的距离恒为常数，试给出此曲面的方程。由条件，即所求的曲面方程为：球面特例以原点为中心，以为半径的球面：；球面的一般方程：，特点是方程中没有交叉项、，与平行于坐标轴的平面的截面均为圆；三个平方项，的系数一定相同。二旋转面 设在平面上有一条平面曲线：，将此曲线绕轴旋转一周，所得的曲面称为旋转面，轴称为旋转轴。 设是旋转面上的任意一点，并且是曲线上的点旋转所得，则 又因为，即有或，；而是平面曲线上的点，则，即旋转面上的任意一点满足：；反之，不在旋转面上的点一定不满足此方程，故平面上曲线：绕轴旋转一周，所得的曲面方程为：。注意到此时，不变，而，或；同理，若将上面的曲线绕轴旋转一周，则旋转面的方程为：此时，不变，而，或。特点：总有两个平方项系数相同；垂直于旋转轴的平面与曲面的截口均为圆。例1将面上的椭圆与直线分别绕轴旋转一周，写出旋转面的方程。解：面上的曲线：，旋转轴轴，则旋转面方程 ，或：旋转椭球面面上的曲线：，旋转轴轴，则旋转面方程 或 圆锥面如果将上面的两条曲线分别绕轴旋转一周，则旋转面方程分别为椭球面 或圆锥面例2试问旋转面：是怎样形成的？解：，故可以视为面上的双曲线绕虚轴轴旋转而成的旋转面，或可以视为面上的曲线绕虚轴旋转而成的旋转面，根据其形状也称为单叶旋转双曲面。注：若将面上的曲线绕其实轴轴旋转一周，则旋转面方程为：，或双叶旋转双曲面；三柱面（母线平行于坐标轴的柱面） 空间有一确定的曲线，直线。使直线沿定曲线平移，所形成的曲面称为柱面，其中曲线柱面的准线，而直线柱面的母线。注：一般，给定一柱面后，其母线是确定的，但其准线是不唯一的；即柱面上的任意一条曲线都可能成为柱面的准线。 建立准线为平面上的曲线：，母线平行于轴的柱面的方程。 设是柱面上的任意一点，在平面上的投影点为，则一定在平面曲线：上，故其坐标一定满足方程，即；由在柱面上的任意性，对于柱面上的任意点，其坐标均满足方程；反之如果点不在柱面上，则其投影点一定不在曲线上，坐标必然不满足方程。从而以平面上的曲线：为准线，母线平行于轴的柱面的方程：。注：在空间，二元函数方程均表示空间的柱面；母线平行于轴的柱面；母线平行于轴的柱面；母线平行于轴的柱面；注意母线平行于坐标轴的柱面与平面曲线的区别，一般平面曲线的方程可以表示为：面上的曲线；：平面上的曲线；例3试画出下列柱面的图形：、。解： 圆柱面 平面 抛物柱面 双曲柱面7.6 空间曲线的方程一空间曲线的一般方程（两张曲面的交线形式） ：例1曲线表示圆柱面与坐标平面的交线，是位于平面上的圆；曲线表示圆柱面与坐标平面的交线，是位于平面上的圆。例2球面与与平面的交线为： ： 或 ： 是在平面上的圆；球面与与平面的交线为： 平面上的圆例3画出抛物柱面与平面的交线。解：例4画出上半球面与圆柱面的交线。解：例5画出圆锥面与球面的交线。解：或：或：二空间曲线的参数方程 ：， 如方向向量为，经过点的直线的参数方程 ： 例6一质点位于坐标系的点处，以等角速度绕轴旋转，同时以速度沿轴正方向作匀速直线运动，试写出质点的轨迹方程。解：取时间变量作为参数，从时刻开始到某时刻，质点位于点处，设质点所转过的角度为，则： 质点的轨迹方程螺旋线方程： 若选择参数为，且记，则：，三空间曲线在坐标平面上的投影曲线 设空间曲线的方程通常是曲面的交线形式：（#），求在坐标面上的投影曲线的方程。1从方程组（#）中消去，可得方程：这是一个包含交线的柱面方程，称为投影柱面方程；2柱面与坐标平面即的交线称为空间曲线在 坐标面上的投影曲线；若表示投影曲线，则：。同理，可以写出空间曲线在其他坐标面上的投影曲线。例7写出空间曲线：在坐标面上的投影曲线方程。解：消去：，带入第一个方程中： 投影柱面所以在面上的投影曲线方程为：。例8求曲面与的交线在面上的投影曲线。解：交线位于平行于面的平面上，故求投影曲线也可以采用下面的方法：即首先求出交线所在的平面。 交线方程：，消去，得，或，解得，交线所在的平面，所求投影柱面为，投影曲线为，即面上的单位圆：。四空间区域或空间曲面在坐标平面上的投影区域 在积分的计算中，经常需要确定空间的立体或曲面在坐标平面上的投影区域。下面举例说明求空间区域或空间曲面在面上的投影区域的方法。1将的表面或向面作投影，得到投影柱面，是与的表面或相切的而且母线平行于轴的柱面：；2投影曲线：是闭曲线，且内的点均为空间区域或上点的投影点，则投影区域为：。例9求曲面与所围成的空间区域在面上的投影区域。解：消去：即投影柱面：；投影曲线：，投影区域：例10求空间区域与的公共部分在坐标面上的投影区域。解：由曲面方程与联立，消去，得到投影柱面方程：，即，首先解得，从而投影柱面为：；投影区域：坐标面上的圆域。例11画出旋转抛物面（）在三个坐标面上的投影。解： 讨论、思考、作业：讨论：P410，Ex7-5 ,T2,4思考：P416，Ex7-6,T5,6作业： T10-12第43次课 第七节：平面及其方程教学时数：2学时教学目的：掌握平面方程及其求法，会利用平面的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。会求点到平面的距离。重点、难点：平面方程及其求法主要内容：7.7 平面及其方程称三元函数方程是空间某曲面的方程曲面上的任意一点都满足方程，且满足方程的点一定在曲面上。一平面的点法式方程平面的法向量：与平面垂直的向量称为平面的法向量，记作；其坐标表达式常写为：。注：根据法向量的定义，若是平面的法向量，则（）也是平面的法向量。 由空间几何的知识可知，经过空间一定点垂直于已知直线的平面是唯一确定的。从而过点垂直于已知向量的平面也就是唯一确定的。通常用来表示平面。 设有一平面，是上的一个已知点，是的法向量；在平面上任意取一点，得向量：则有：，即，或；表明：平面上任意一点的坐标满足方程。 反之，若不在平面上，则就不成立，从而推不出，即此时的坐标不满足方程。 综合上面的讨论，得出过点、以为法向量的平面的方程为： 平面的点法式方程注：建立点法式方程的关键是确定平面上的一个点及平面的法向量。例1一平面过点，且与到平面外一点的连线垂直，试写出此平面的方程。解：由条件，向量与平面垂直，故，所求平面方程为：，或。例2某平面过空间的三个点、，试写出平面的方程。解：，则 取，则平面方程为 或 或注：也可以取（）。如上题中，令，则取，建立平面方程为：，整理后可得：。二平面的一般方程 法向量为、经过的平面的一般方程 经过整理可得：。记，则点法式方程被变形为：；注：平面一般方程：中的系数恰好是平面法向量的坐标；平面方程的特点是三元一次线性方程，而且任何一个三元一次的线性方程表示的均是平面；在平面的一般方程中，四个数只有三个是独立的。法向量的坐标不可能同时为零。不妨设，则可将方程改写为：，或记为：。因此建立平面的一般方程只需要三个独立的条件。例3平面经过点和，并且于已知的平面垂直，求平面的方程。解：设平面的一般方程：；在平面上： 在平面上： ， ： 解得：，带入方程可得： 即： 设，由条件，且，即， 可取以及建立平面的点法式方程为：。（注：也可以取，如，则）。几类特殊位置的平面方程 过原点的平面： 平行于坐标轴的平面： 若平面平行于轴，则必有，即，则平面方程为：；同理可得，平行于轴的平面：；平行于轴的平面：； 经过坐标轴的平面若平面过轴，或称轴在平面上，则此平面必然经过坐标原点，故，由克制，过轴平面方程为：；同理可得，过轴的平面：；过轴的平面：； 平行于坐标面的平面： 若平面平行于坐标面，则平面的法向量可以取为：，从而平面的方程为：，或者可以写为：；时为坐标面的方程；同理平行于面的平面：，面：；平行于面的平面：，面：。三平面的截距式方程：其中，依次为平面在轴上的截距（便于作图）。四平面之间的夹角 规定：两平面的夹角：；设：，：， 则，或，从而，注意到，从而，则平面与夹角的余弦为：易知，/； ；五点到平面的距离公式 设平面为：，是平面外的一点，求到平面的距离。设是平面上的任意一点，则 根据，有：；因为，则 （） 又因为是平面上的点，故，或，带入中， 或 其中是平面外的一点。例4确定的值，使平面与坐标原点的距离为3。解：，则 即原点到平面的距离为3。例5求平面的方程，使其平行于平面，且与三个坐标面所围成的四面体的体积等于1。解：平面平行于平面，可设其方程为：在三个坐标轴上的截距分别为、；因为四面体的体积等于1，则，解得：，即。则平面的方程为：问题：两平面平行，其法向量平行；平行的向量其对应坐标应是相等还是成比例？此题中为什么可以直接假设平面的方程为：。例6求过点和且与点的距离为1的平面方程。解：直接由已知条件列方程组求解：设平面方程为：，将已知条件带入：在平面上： 在平面上： 与点的距离为1： 解得：、，或、；所求平面方程为：，或，即 或 讨论、思考、作业：讨论：P423，Ex7-7 ,T1-3思考：P423，Ex7-7 ,T5,6作业： T13-16第44次课 第八节：空间直线及其方程 第九节：二次曲面教学时数：2学时教学目的：1.掌握直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。会求点到直线的距离。2. 了解常用二次曲面的方程及其图形.重点、难点：直线方程及其求法主要内容：7.8 空间直线的方程一直线的点向式方程（对称式）直线的方向向量：与已知直线平行的向量称为直线的方向向量；通常记作。注：由此定义，直线的方向向量不唯一。若是直线的方向向量，则平行于直线，当，由于也平行于直线，故也是直线的方向向量；设空间有一定点，过作平行于向量的直线，则此直线是唯一确定的。，则；其中 对应坐标成比例，有： 反之，若点不在直线上，则不成立，从而其点的坐标不满足方程；故称以上的方程为直线的方程，也称为直线的点向式方程。点向式或对称式方程注：若中有一个为零，如，则或两个平面的交线；若中有两个为零，如，则 平面与的交线；若向量的方向角为，则其方向余弦，此时直线的方向向量也可以取为：，直线方程为：例1求经过两点、的直线的方程。解：直线过、两点，则，故可取，即 取，则直线的方程为： 直线的两点式方程二直线的参数式方程 设直线方程为，令，则 ：直线的参数式方程，为参数。三直线的一般方程（两平面的交线交面式） 直线可以视为两张不平行的平面的交线，故直线的一般方程为： ： （）问题：如何由直线的一般方程确定直线的方向向量以及直线的点向式方程？1确定直线上的一点：在中任意取定一个，如令，带入上式中，解出，即得直线上的一点：；2确定直线的方向向量：直线在平面上，故；直线在平面上，故；既垂直于也垂直于，从而，可取，或；例2将直线：方程改写为点向式及参数式方程。解：确定：取，带入方程，得，解得，即（注：可以不同），取，则： 或 ：注：可以由的一般式通过加减消元法，直接转化为点向式，如 +，消去： ， 即； +2，消去：， 即；所以，：；还可以利用直线的一般方程，确定直线上的两个不同的点，如、，则直线的两点式方程为：即：或：。四两条直线的夹角（）设直线与的夹角为，而两直线方向向量的夹角为，则时，；时，；因为，则如，则与的夹角余弦 从而与的夹角为：。 由此不难得出以下结论：；五直线与平面的位置关系1直线与平面的夹角（） 直线在平面上的投影直线与直线的夹角称为直线与平面的夹角，记作（）。，；2直线与平面的位置时，在上或不在上；例3设：，：，指出直线与平面的位置关系。解：，易知，即，从而； 考查是否在上。任取上的一点，带入平面方程中，不满足平面方程，故不在上，即，但不在上，可以求出与的距离即点到平面的距离：；时，与必有唯一的交点，求出此交点（直线与平面的交点） 设：，：，将的参数方程带入平面的方程，先求出参数，再由直线的参数方程求出交点。例4求在平面：上的投影点。解：过且垂直于平面的直线方程为：，带入平面的方程中：,解得，；再带入直线的参数方程中，可得：，即投影点为。六平面束方程 设，则与有唯一的交线，过此交线的所有平面称为平面束，平面束方程即为此交线的任意一张平面的方程。 设是过交线的任一平面，是上的任意一点，则 常数即，或 记，则有：，或，记，过与交线的平面束方程为： 它代表了除以外的所有过交线的平面。注：过交线的所有平面。例5求直线：在平面：上的投影直线方程。解：过的平面束为：，即 过交线作平面的垂面投影平面，则，并且因为，则即， 由此得到：；从而投影平面： 或 ： 投影直线应当是平面与投影平面的交线，即 ：投影直线的点向式方程为： ：。7.9 二次曲面二次曲面的一般方程：一椭球面：特点：A. ，；B. 与平行于坐标面的平面的交线均为椭圆，即若令，且，则椭球面与平面的截痕为上的椭圆：；.特例：A. 时，球面；B. 当时，旋转椭球面；二抛物面椭圆抛物面，如：时，必有，顶点在原点，开口向上的椭圆抛物面；时，必有，顶点在原点，开口向下的椭圆抛物面；特点：A.与平面的交线均为椭圆，；B.与平面或的交线均为抛物线 C.两个平方项系数的符号总是相同的。特例：当时，或旋转抛物面。双曲抛物面（马鞍面），如：特点：A.与平面的交线是开口向上的抛物线； B.与平面的交线是开口向下的抛物线；C.与平面的交线是双曲线； 三双曲面单叶双曲面：特点：两个平方项的系数为正；特例：当时，单叶旋转双曲面双叶双曲面：特点：两个平方项的系数为负；特例：当时，双叶旋转双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面讨论、思考、作业：讨论：P431，Ex7-8,T2,4思考：P439，Ex7-9 ,T3作业：T16-21第45次课 第七章 空间解析几何与向量代数 习题课教学时数：2学时教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示法，2、掌握向量的坐标表示式及向量的运算（线性运算、数量积及矢量积），3、会求单位向量、方向数及方向余弦，会求两向量的夹角及向量在另一向量上的投影；4、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。5、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，6、会求以坐标轴为旋转周的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；7、了解空间曲线的参数方程和一般方程，8、了解空间曲线在坐标面上的投影并会求其方程。重点、难点：向量的坐标表示式及向量的运算，平面、直线方程及其位置关系，旋转曲面、柱面，空间曲线在坐标面上的投影。向量的矢量积，二次曲面图形的画法及空间图形在坐标轴上的投影。一、主要内容：1、 空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示法，2、 向量的坐标表示式及向量的运算（线性运算、数量积及矢量积），3、 单位向量、方向数及方向余弦，两向量的夹角及向量在另一向量上的投影；4、 平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。5、 曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转周的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；6、 空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影并会求其方程。二、作业题简解：1. 一边长为的立方体放置在面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在轴和 轴上，求它的各顶点的坐标。解 因为底面的对角线的长为, 所以立方体各顶点的坐标分别为 , , , , , , , .2. 求点到各坐标轴的距离。解 点M到x轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即 . 点M到y轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即 . 点M到z轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即 .3. 设 试用表示。解 2u-3v =2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)=2a-2b+4c+3a-9b+3c=5a-11b+7c .4若，它与轴的夹角为，求在轴上的投影。解 .5. 一向量的终点在，它在轴，轴和轴上的投影依次为、和，求此向量起点的坐标。解 设点A的坐标为(x, y, z). 由已知得 , 解得x=-2, y=3, z=0. 点A的坐标为A(-2, 3, 0).6. 设已知两点和，计算的模、方向余弦、方向角以 及和方向一致的单位向量。 解 ; ; , , ; , , .7. 设、，求:（1） （2） （3）的夹角的余弦。解 (1) ab=31+(-1)2+(-2)(-1)=3, . (2) (-2a)3b =-6ab = -63=-18, a2b=2(ab)=2(5i+j+7k)=10i+2j+14k . (3) .8. 求在上的投影。解 .9. 已知、，求与、同时垂直的单位向量。解 , . , , 为所求向量.10. 已知求的面积。解 根据向量积的几何意义, 表示以和为邻边的平行四边形的面积, 于是DOAB的面积为 . 因为, , 所以三角形DOAB的面积为 .11. 一动点与两定点和等距离，求动点的轨迹方程。解 设动点为M(x, y, z), 依题意有 (x-2)2+(y-3)2+(z-1)2=(x-4)2+(y-5)2+(z-6)2, 即 4x+4y+10z-63=0.12方程表示什么曲面？解 由已知方程得 (x2-2x+1)+(y2+4y+4)+(z2+2z+1)=1+4+1, 即 , 所以此方程表示以(1, -2, -1)为球心, 以为半径的球面.13. 将坐标面上的双曲线分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。解 双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x2-9y2-9z2=36. 双曲线绕y轴旋转而得的旋转曲面的方程为 4x2+4z2-9y2=36.14. 求椭圆抛物面与抛物柱面的交线关于面的投影柱面和在面上的投影曲线方程。解 由，消去得曲线关于面的投影柱面方程为， 在面上的投影曲线方程为15. 求与坐标原点及点的距离之比为的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解 设点满足题意，则有：，化简整理得曲面的方程为：； 它表示以为球心，以为