高考数学 10.4 随机事件的概率课件.ppt

第四节随机事件的概率 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 基本概念 必然事件 在条件s下 发生的事件 叫做相对于条件s的必然事件 不可能事件 在条件s下 发生的事件 叫做相对于条件s的不可能事件 确定事件 事件与 事件统称为相对于条件s的确定事件 一定会 一定不会 必然 不可能 随机事件 在条件s下 的事件 叫做相对于条件s的随机事件 频数 频率 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的 为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 概率 对于给定的随机事件a 如果随着试验次数的增加 事件a发生的频率fn a 稳定在 把这个常数记作p a 称为事件a的概率 可能发生也可能不发生 次数na 某个常数上 2 事件的关系与运算 包含 包含于 b a且a b a b 或a b a b 或ab 不可能 不可能 3 概率的几个基本性质 概率的取值范围 必然事件的概率为 不可能事件的概率为 概率的加法公式 如果事件a与事件b互斥 则p a b 对立事件的概率 若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b p a 0 p a 1 1 0 p a p b 1 p b 1 2 必备结论教材提炼记一记 1 由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集 则事件互斥 2 事件a的对立事件所含的结果组成的集合 是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 近似代替法 正难则反法 转化法 2 数学思想 数形结合思想 转化与化归思想 3 记忆口诀 不可能随机与必然概率介于0与1间对立含于互斥中正难你就求反面 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 事件发生的频率与概率是相同的 2 随机事件和随机试验是一回事 3 在大量重复试验中 概率是频率的稳定值 4 两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生 解析 1 错误 频率是在相同的条件下重复n次试验 频数与试验次数的比值 它是概率的一个近似值 频率是随机的 概率是一个客观存在的确定的数值 2 错误 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件 条件每实现一次 叫做一次试验 如果试验结果无法确定 叫做随机试验 3 正确 由概率的定义可知 在大量重复试验中 概率是频率的稳定值 4 正确 两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修3p123t1改编 若a b为互斥事件 则p a p b 1 解析 由互斥事件概率的性质可知 p a p b 1 答案 2 必修3p124t6改编 袋中装有9个白球 2个红球 从中任取3个球 则 恰有1个红球和全是白球 至少有1个红球和全是白球 至少有1个红球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个红球 在上述事件中 是对立事件的为 解析 至少有1个红球和全是白球不同时发生 且一定有一个发生 所以 中两事件是对立事件 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 广东高考 从0 1 2 3 4 5 6 7 8 9中任取7个不同的数 则这7个数的中位数是6的概率为 解析 6之前6个数中取3个 6之后3个数中取3个 所求概率为p 答案 2 2014 上海高考 为强化安全意识 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练 则选择的3天恰好为连续3天的概率是 结果用最简分数表示 解题提示 选择的3天恰好为连续的3天共有8种选法 而总的选法120种 根据古典概型概率公式易得 解析 基本事件总数为120 3天恰好连续共有8种选法 所以所求的概率为p 答案 3 2015 哈尔滨模拟 若a b为互斥事件 p a 0 4 p a b 0 7 则p b 解析 因为a b为互斥事件 所以p a b p a p b 所以p b p a b p a 0 7 0 4 0 3 答案 0 3 考点1随机事件及其频率和概率 典例1 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等 为了解它们的使用寿命 现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试 结果统计如图所示 1 估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率 2 这两种品牌产品中 某个产品已使用了200小时 试估计该产品是甲品牌的概率 解题提示 1 根据统计图分析甲品牌产品寿命小于200小时的频率 利用频率估计概率 2 分析寿命大于200小时的甲 乙品牌的产品数 计算甲产品的频率 从而估计概率 规范解答 1 甲品牌产品寿命小于200小时的频率为所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为 2 根据抽样结果 寿命大于200小时的产品共有75 70 145 个 其中甲品牌产品是75个 所以在样本中 寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是所以估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为 规律方法 1 概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度 频率是随机的 而概率是一个确定的值 通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小 有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 2 随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率 即通过大量的重复试验 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数 这个常数就是概率 变式训练 1 给出下列命题 其中正确命题有个 有一大批产品 已知次品率为10 从中任取100件 必有10件是次品 做7次抛硬币的试验 结果3次出现正面 因此正面出现的概率是 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 解析 错 不一定是10件次品 错 是频率而非概率 错 频率不等于概率 这是两个不同的概念 答案 0 2 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点 指纵 横直线的交叉点以及三角形的顶点 处都种了一株相同品种的作物 根据历年的种植经验 一株该种作物的年收获量y 单位 kg 与它的 相近 作物株数x之间的关系如表所示 这里 两株作物 相近 是指它们之间的直线距离不超过1米 1 完成下表 并求所种作物的平均年收获量 2 在所种作物中随机选取一株 求它的年收获量至少为48kg的概率 解析 1 所种作物的总株数为1 2 3 4 5 15 其中 相近 作物株数为1的作物有2株 相近 作物株数为2的作物有4株 相近 作物株数为3的作物有6株 相近 作物株数为4的作物有3株 列表如下 所种作物的平均年收获量为 2 由 1 知 p y 51 p y 48 故在所种作物中随机选取一株 它的年收获量至少为48kg的概率为p y 48 p y 51 p y 48 加固训练 a地到火车站共有两条路径l1和l2 现随机抽取100位从a地到火车站的人进行调查 调查结果如下 1 试估计40分钟内不能赶到火车站的概率 2 分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间内的概率 3 现甲 乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们如何选择各自的路径 解析 1 由已知共调查了100人 其中40分钟内不能赶到火车站的有12 12 16 4 44人 因此用频率估计相应的概率为0 44 2 选择路线l1的有60人 选择路线l2的有40人 故由调查结果得出的频率为 3 设a1 a2分别表示甲选择l1和l2时 在40分钟内赶到火车站 b1 b2分别表示乙选择l1和l2时 在50分钟内赶到火车站 由 2 知 p a1 0 1 0 2 0 3 0 6 p a2 0 1 0 4 0 5 p a1 p a2 所以甲应选择l1 又因为p b1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 p b2 0 1 0 4 0 4 0 9 p b1 p b2 所以乙应选择l2 考点2随机事件间的关系 典例2 1 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球 以下给出了三组事件 至少有1个白球与至少有1个黄球 至少有1个黄球与都是黄球 恰有1个白球与恰有1个黄球 其中互斥而不对立的事件共有 a 0组b 1组c 2组d 3组 2 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 判断下列各对事件是否是互斥事件 并说明理由 恰有1名男生和恰有两名男生 至少有1名男生和至少有1名女生 至少有1名男生和全是男生 至少有1名男生和全是女生 解题提示 1 对立事件是在互斥的基础之上 在一次试验中两个事件必定有一个要发生 根据这个定义 对各选项依次加以分析 不难得出符合题意的答案 2 判断两个事件是否为互斥事件 就是考虑它们能否同时发生 如果不能同时发生 就是互斥事件 否则就不是互斥事件 规范解答 1 选a 对于 至少有1个白球 发生时 至少有1个黄球 也会发生 比如恰好一个白球和一个黄球 故 中的两个事件不互斥 对于 至少有1个黄球 说明有黄球 黄球的个数可能是1或2 而 都是黄球 说明黄球的个数是2 故这两个事件不是互斥事件 恰有1个白球 与 恰有1个黄球 都表示取出的两个球中 一个是白球 另一个是黄球 故不是互斥事件 故选a 2 是互斥事件 理由是 在所选的2名同学中 恰有1名男生 实质选出的是 1名男生和1名女生 它与 恰有两名男生 不可能同时发生 所以是一对互斥事件 不是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 两名都是男生 两种结果 至少有1名女生 包括 1名女生 1名男生 和 两名都是女生 两种结果 当事件 有1名男生和1名女生 发生时两个事件都发生了 不是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 两名都是男生 这与 全是男生 可同时发生 是互斥事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 两名都是男生 两种结果 它和 全是女生 不可能同时发生 互动探究 第 1 题条件不变 根据摸出的结果写出三对对立事件 解析 至少有1个白球与2个全是黄球 至多有1个白球与2个全是白球 1个白球1个黄球与两个都是白球或黄球 规律方法 1 准确把握互斥事件与对立事件的概念 1 互斥事件是不可能同时发生的事件 但可以同时不发生 2 对立事件是特殊的互斥事件 特殊在对立的两个事件不可能都不发生 即有且仅有一个发生 2 判别互斥 对立事件的方法判别互斥事件 对立事件一般用定义判断 不可能同时发生的两个事件为互斥事件 两个事件 若有且仅有一个发生 则这两事件为对立事件 对立事件一定是互斥事件 变式训练 口袋里装有1红 2白 3黄共6个形状相同的小球 从中取出2球 事件a 取出的两球同色 b 取出的2球中至少有一个黄球 c 取出的2球至少有一个白球 d 取出的两球不同色 e 取出的2球中至多有一个白球 下列判断中正确的序号为 a与d为对立事件 b与c是互斥事件 c与e是对立事件 p c e 1 p b p c 解析 当取出的2个球中一黄一白时 b与c都发生了 故 错 当取出的2个球中恰有一白球时 c与e都发生了 故 错 p b p c 故 错 和 都是正确的 答案 加固训练 从6个男生 2个女生中任选3人 则下列事件中必然事件是 a 3个都是男生b 至少有1个男生c 3个都是女生d 至少有1个女生 解析 选b 因为只有2个女生 任选3人 则至少有1人是男生 考点3互斥事件 对立事件的概率知 考情互斥事件 对立事件概率的求解是高考考查概率的一个重要考向 常以选择题 填空题的形式出现 明 角度命题角度1 互斥事件的概率 典例3 2015 长沙模拟 经过统计 在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下 1 求至多2人排队等候的概率是多少 2 求至少3人排队等候的概率是多少 解题提示 至多2人排队等候 包含0人排队等候 1人排队等候与2人排队等候3个互斥事件 至少3人排队等候包含3人排队等候 4人排队等候与5人及以上排队等候3个互斥事件 规范解答 设 至多2人排队等候 为事件b 至少3人排队等候 为事件c 1 p b 0 1 0 16 0 3 0 56 2 p c 0 3 0 1 0 04 0 44 命题角度2 对立事件的概率 典例4 2015 唐山模拟 已知甲 乙两人下棋 和棋的概率为 乙胜的概率为 则甲胜的概率和甲不输的概率分别为 解题提示 甲胜 的对立事件是 和棋或乙胜 甲不输 可看作是 甲胜 与 和棋 这两个互斥事件的和事件或 乙胜 的对立事件 规范解答 甲胜 是 和棋或乙胜 的对立事件 所以 甲胜 的概率为方法一 设 甲不输 为事件a 则a可看作是 甲胜 与 和棋 这两个互斥事件的和事件 所以p a 方法二 设 甲不输 为事件a 则a可看作是 乙胜 的对立事件 所以p a 答案 易错警示 解答本题有两点容易出错 1 甲胜 的对立事件为 乙胜 从而造成错解 2 甲不输 的对立事件为 乙不输 从而造成错误 悟 技法求复杂的互斥事件的概率的两种方法 1 直接求解法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 运用互斥事件的概率求和公式计算 2 间接求法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式p a 1 p 即运用逆向思维 正难则反 特别是 至多 至少 型题目 用间接求法就显得较简便 通 一类1 2015 合肥模拟 从一箱产品中随机地抽取一件 设事件a 抽到一等品 事件b 抽到二等品 事件c 抽到三等品 且已知p a 0 65 p b 0 2 p c 0 1 则事件 抽到的不是一等品 的概率为 a 0 7b 0 65c 0 35d 0 3 解析 选c 事件 抽到的不是一等品 与事件a是对立事件 由于p a 0 65 所以由对立事件的概率公式得 抽到的不是一等品 的概率为p 1 p a 1 0 65 0 35 2 2015 日照模拟 在一次随机试验中 彼此互斥的事件a b c d的概率分别是0 2 0 2 0 3 0 3 则下列说法正确的是 a a b与c是互斥事件 也是对立事件b b c与d是互斥事件 也是对立事件c a c与b d是互斥事件 但不是对立事件d a与b c d是互斥事件 也是对立事件 解析 选d 因为a b c d彼此互斥 且a b c d是一个必然事件 故其事件的关系可由如图所示的venn图表示 由图可知 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件 故选d 3 2015 威海模拟 围棋盒子中有多粒黑子和白子 已知从中取出2粒都是黑子的概率为 都是白子的概率是 则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 解析 设 从中取出2粒都是黑子 为事件a 从中取出2粒都是白子 为事件b 任意取出2粒恰好是同一色 为事件c 则c a b 且事件a与b互斥 所以p c p a p b 即任意取出2粒恰好是同一色的概率为 答案 4