高考数学 7.7 立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系课件.ppt

第七节立体几何中的向量方法 一 证明空间中的位置关系 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 或 则称此向量a为直线l的方向向量 平面的法向量 直线l 取直线l的 向量a 则向量a叫做平面 的法向量 平行 重合 方向 2 空间位置关系的向量表示 n1 n2 n1 n2 0 n m 0 n m n m n m 0 2 必备结论教材提炼记一记 1 直线的方向向量的确定 l是空间一直线 a b是l上任意两点 则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量 2 平面的法向量的确定 设a b是平面 内两不共线向量 n为平面 的法向量 则求法向量的方程组为 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 基向量法 坐标法证明垂直 平行的方法 2 数学思想 数形结合 转化与化归 函数与方程思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1 1 0 1 v2 2 0 2 则l1和l2的位置关系是平行 3 平面的单位法向量是唯一确定的 4 若两平面的法向量平行 则两平面平行 5 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 6 若空间向量a平行于平面 则a所在直线与平面 平行 解析 1 错误 与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量 2 错误 v1 v2 则l1与l2平行或重合 3 错误 由于法向量的方向不同 所以平面的单位法向量不唯一 4 正确 由平面平行的转化定理可知 5 正确 由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确 根据等价命题可知 6 错误 若a 则向量a所在直线与平面平行或在平面 内 答案 1 2 3 4 5 6 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 1p104t2改编 设 v分别是平面 的法向量 2 2 5 当v 3 2 2 时 与 的位置关系为 当v 4 4 10 时 与 的位置关系为 解析 当v 3 2 2 时 v 2 3 2 2 5 2 0 所以 当v 4 4 10 时 v 2 所以 答案 2 选修2 1p111t3改编 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面正方形abcd的中心 m是d1d的中点 n是a1b1的中点 则直线on am的位置关系是 解析 以d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设da 2 则a 2 0 0 m 0 0 1 o 1 1 0 n 2 1 2 所以 2 0 1 1 0 2 2 0 2 0 所以am on 答案 垂直 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 珠海模拟 若直线l 平面 直线l的方向向量为s 平面 的法向量为n 则下列结论正确的是 a s 1 0 2 n 1 0 1 b s 1 0 1 n 1 2 1 c s 1 1 1 n 1 2 1 d s 1 1 1 n 2 2 2 解析 选c 由已知需s n 0 逐个验证知 只有c符合要求 故选c 2 2015 绵阳模拟 若直线l的方向向量e 2 1 m 平面 的法向量n 1 2 且l 则m 解析 因为l 所以e n 即e n 0 亦即 2 1 m 1 2 所以则m 4 答案 4 3 2015 长沙模拟 已知 1 5 2 3 1 z 若 x 1 y 3 且bp 平面abc 则实数x y z分别为 解析 由已知得解得答案 考点1利用空间向量证明平行问题 典例1 2015 兰州模拟 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 解题提示 建立空间直角坐标系 证明mn与平面a1bd的法向量垂直 规范解答 如图所示 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为2 则d 0 0 0 b 2 2 0 a1 2 0 2 m 0 2 1 n 1 2 2 1 0 1 2 2 0 2 0 2 设n x y z 是平面a1bd的一个法向量 所以即解得令x 1 则y 1 z 1 所以n 1 1 1 因为 n 1 0 1 0 所以 n 又因为mn 平面a1bd 所以mn 平面a1bd 一题多解 用向量法解答本题 你知道几种解法 解答本题 用向量法还有以下两种解法 方法一 因为 2 0 2 1 0 1 所以又da1 平面a1bd mn 平面a1bd 所以mn 平面a1bd 方法二 所以又因为mn与da1不共线 所以mn da1 又因为mn 平面a1bd a1d 平面a1bd 所以mn 平面a1bd 易错警示 解答本题有一点容易出错 只证明 n 而忽视mn 平面a1bd的情况就下结论mn 平面a1bd 而造成步骤不规范的失误 互动探究 本例的条件不变 若e为c1d1的中点 证明平面a1bd 平面mne 证明 由例题知e 0 1 2 所以 0 1 1 设m a b c 是平面mne的一个法向量 则即 解得令c 1 则a 1 b 1 所以m 1 1 1 而平面a1bd的一个法向量n 1 1 1 所以m n 即m n 所以平面a1bd 平面mne 规律方法 用向量法证平行问题的类型及常用方法 提醒 用向量结论还原几何结论时 要注意书写规范 说明定理的条件 变式训练 如图 在四棱锥o abcd中 底面abcd是边长为1的菱形 abc oa 底面abcd oa 2 m为oa的中点 n为bc的中点 利用向量方法证明 直线mn 平面ocd 证明 作ap cd于点p 连接op 如图 分别以ab ap ao所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则o 0 0 2 m 0 0 1 设平面ocd的一个法向量为n x y z 则即取z 解得n 0 4 因为且mn 平面ocd 所以mn 平面ocd 加固训练 1 2015 天津模拟 如图在四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是平行四边形 e f g分别是a1d1 d1d d1c1的中点 用向量方法证明平面efg 平面ab1c 证明 设由题干图可知因为无公共点 所以eg ac 因为ac 平面ab1c 所以eg 平面ab1c 又因为 a c 因为无公共点 所以fg ab1 因为ab1 平面ab1c 所以fg 平面ab1c 又因为fg eg g 所以平面efg 平面ab1c 2 如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 证明 因为平面pad 平面abcd且abcd为正方形 所以ab ap ad两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系axyz 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 2 0 2 0 1 0 1 1 1 设即 2 0 2 s 0 1 0 t 1 1 1 所以解得s t 2 所以又因为与不共线 所以与共面 因为pb 平面efg 所以pb 平面efg 考点2利用空间向量证明垂直问题 典例2 2015 济南模拟 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 若点m是线段ap上一点 且am 3 试证明平面amc 平面bmc 解题提示 建立空间直角坐标系 1 证明 2 由 1 知只需证明 0即可 规范解答 如图所示 以o为坐标原点 以射线op为z轴的正半轴 以射线od为y轴正半轴建立空间直角坐标系 1 o 0 0 0 a 0 3 0 b 4 2 0 c 4 2 0 p 0 0 4 于是 0 3 4 8 0 0 所以 0 3 4 8 0 0 0 所以 即ap bc 2 由 1 知 ap 5 又 am 3 且点m在线段ap上 所以又 4 5 0 所以则 所以 即ap bm 又根据 1 的结论知ap bc 所以ap 平面bmc 于是am 平面bmc 又am 平面amc 故平面amc 平面bcm 规律方法 利用向量法证垂直问题的类型及常用方法 变式训练 2015 厦门模拟 在四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 pd 平面abcd e f分别为棱ad pb的中点 且pd ad 求证 平面cef 平面pbc 证明 由题意 建立如图所示的空间直角坐标系 设a 1 0 0 则p 0 0 1 c 0 1 0 b 1 1 0 设平面cef的一个法向量为n1 x y z 则取x 1 则n1 同理 求得平面pbc的一个法向量为n2 因为n1 n2 1 0 0 所以n1 n2 所以平面cef 平面pbc 加固训练 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 2bc e f e1分别是棱aa1 bb1 a1b1的中点 1 求证 ce 平面c1e1f 2 求证 平面c1e1f 平面cef 证明 以d为原点 da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设bc 1 则c 0 1 0 e 1 0 1 c1 0 1 2 f 1 1 1 e1 1 2 1 设平面c1e1f的法向量为n x y z 因为 1 0 1 所以即 令x 1 得n 1 2 1 因为 1 1 1 n 1 2 1 0 所以又因为ce 平面c1e1f 所以ce 平面c1e1f 2 设平面efc的法向量为m a b c 由 0 1 0 1 0 1 所以即令a 1 得m 1 0 1 因为m n 1 1 2 0 1 1 1 1 0 所以平面c1e1f 平面cef 考点3利用向量法解决与垂直 平行有关的探索性问题知 考情利用空间向量解决与垂直 平行有关的探索性问题 是近几年高考考查空间向量应用的一个重要考向 常以是否存在点或参数使线面垂直 平行的形式在解答题中出现 明 角度命题角度1 线 面平行的探索性问题 典例3 2015 成都模拟 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 解题提示 建立空间直角坐标系 1 证明 2 假设存在点p 0 0 z0 根据dp 平面b1ae构建方程 求解并判断 规范解答 以a为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设ab a 1 a 0 0 0 d 0 1 0 d1 0 1 1 e 1 0 b1 a 0 1 故因为所以b1e ad1 2 假设在棱aa1上存在一点p 0 0 z0 使得dp 平面b1ae 此时 0 1 z0 再设平面b1ae的一个法向量为n x y z 因为n 平面b1ae 所以n n 得 取x 1 则y z a 得平面b1ae的一个法向量n 1 a 要使dp 平面b1ae 只要n 有 az0 0 解得又dp 平面b1ae 所以存在点p 满足dp 平面b1ae 此时ap 命题角度2 线 面垂直的探索性问题 典例4 2015 烟台模拟 如图 在四棱锥p abcd中 平面pac 平面abcd 且pa ac pa ad 2 四边形abcd满足bc ad ab ad ab bc 1 点e f分别为侧棱pb pc上的点 且 1 求证 ef 平面pad 2 是否存在实数 使得平面afd 平面pcd 若存在 试求出 的值 若不存在 请说明理由 解题提示 1 用传统几何法 根据线面平行的判定定理证明 2 建立空间直角坐标系 设出f点坐标 求出平面afd和平面pcd的法向量 利用数量积为0求解 规范解答 1 由已知 所以ef bc 因为bc ad 所以ef ad 而ef 平面pad ad 平面pad 所以ef 平面pad 2 因为平面abcd 平面pac 平面abcd 平面pac ac 且pa ac 所以pa 平面abcd 所以pa ab pa ad 又因为ab ad 所以pa ab ad两两垂直 如图所示 建立空间直角坐标系 因为ab bc 1 pa ad 2 所以a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 2 0 p 0 0 2 设f x0 y0 z0 则由已知所以 x0 y0 z0 2 1 1 2 所以所以 2 2 设平面afd的一个法向量为n1 x1 y1 z1 因为 0 2 0 所以即令z1 得n1 2 2 0 设平面pcd的一个法向量为n2 x2 y2 z2 因为 0 2 2 1 1 0 所以令x2 1 则n2 1 1 1 若平面afd 平面pcd 则n1 n2 0 所以 2 2 0 解得 所以当 时 平面afd 平面pcd 悟 技法向量法解决与垂直 平行有关的探索性问题的思维流程 1 根据题设条件中的垂直关系 建立适当的空间直角坐标系 将相关点 相关向量用坐标表示 2 假设所求的点或参数存在 并用相关参数表示相关点 根据线 面满足的垂直 平行关系 构建方程 组 求解 若能求出参数的值且符合该限定的范围 则存在 否则不存在 通 一类1 2013 北京高考 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1c1c是边长为4的正方形 平面abc 平面aa1c1c ab 3 bc 5 1 求证 aa1 平面abc 2 证明 在线段bc1上存在点d 使得ad a1b 并求的值 解析 1 因为aa1c1c为正方形 所以aa1 ac 因为平面abc 平面aa1c1c 且aa1垂直于这两个平面的交线ac 所以aa1 平面abc 2 由 1 知aa1 ab aa1 ac 由题知ab 3 bc 5 ac 4 所以ab ac 如图 以a为原点建立空间直角坐标系axyz 则b 0 3 0 a1 0 0 4 b1 0 3 4 c1 4 0 4 设d x y z 是直线bc1上的一点 且 0 1 所以 x y 3 z 4 3 4 解得x 4 y 3 3 z 4 所以 4 3 3 4 由 0 即9 25 0 解得 因为 0 1 所以在线段bc1上存在点d 使得ad a1b 此时 2 2015 开封模拟 如图 四棱锥p abcd中 pa 平面abcd pb与底面所成的角为45 底面abcd为直角梯形 abc bad 90 pa bc ad 1 1 求证 平面pac 平面pcd 2 在棱pd上是否存在一点e 使ce 平面pab 若存在 请确定e点的位置 若不存在 请说明理由 解析 1 因为pa 平面abcd 所以pb与平面abcd所成的角为 pba 45 所以ab 1 由 abc bad 90 易得cd ac 由勾股定理逆定理得ac cd 又因为pa cd pa ac a 所以cd 平面pac 又因为cd 平面pcd 所以平面pac 平面pcd 2 分别以ab ad ap所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 所以p 0 0 1 c 1 1 0 d 0 2 0 设e 0 y z 因为 所以y 1 2 z 1 0 因为 0 2 0 是平面pab的一个法向量 又 所以 1 y 1 z 0 2 0 0 所以y 1 将y 1代入 得z 所以e是pd的中点 所以存在e点使ce 平面pab 此时e为pd的中点 加固训练 2015 沈阳模拟 如图所示 四棱锥s abcd的底面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的倍 p为侧棱sd上的点 1 求证 ac sd 2 若sd 平面pac 则侧棱sc上是否存在一点e 使得be 平面pac 若存在 求se ec的值 若不存在 试说明理由 解析 连接bd 设ac交bd于o 则ac bd 由题意知so 平面abcd 以o为坐标原点 分别为x轴 y轴 z轴正方向 建立空间直角坐标系 如图所示 设底面边长为a 则高于是 1 则故oc sd 从而ac sd 2 棱sc上存在一点e使be 平面pac 理由如下 由已知条件知是平面pac的一个法向量 且 设 则而 0 所以解得t 即当se ec 2 1时 而be不在平面pac内 故be 平面pac 规范解答13利用空间向量解决线面垂直 平行问题 典例 12分 2