高考数学一轮复习 62 等差数列及其前n项和课件 新人教A版.ppt

最新考纲1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数 二次函数的关系 第2讲等差数列及其前n项和 1 等差数列的定义如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 数学语言表达式 an 1 an d n n d为常数 或an an 1 d n 2 d为常数 知识梳理 2 同一个常数 公差 2 等差数列的通项公式与前n项和公式 1 若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an 通项公式的推广 an am m n n 2 等差数列的前n项和公式 a1 n 1 d n m d 3 等差数列及前n项和的性质 1 若a a b成等差数列 则a叫做a b的等差中项 且a 2 若 an 为等差数列 且m n p q 则am an ap aq m n p q n 3 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为 的等差数列 4 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 5 s2n 1 2n 1 an 若n为奇数 则s奇 s偶 a中 中间项 md 4 等差数列的前n项和公式与函数的关系数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 5 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则sn存在最 值 若a1 0 d 0 则sn存在最 值 大 小 1 判断正误 在括号内打 或 精彩ppt展示 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 满足an 1 an n 则数列 an 是等差数列 诊断自测 2 2014 福建卷 等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6等于 a 8b 10c 12d 14 答案c 3 2013 新课标全国 卷 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6 答案c 4 2014 北京卷 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 解析因为数列 an 是等差数列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 当n 8时 其前n项和最大 答案8 5 人教a必修5p68a8改编 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 则a2 a8 解析由等差数列的性质 得a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 a5 90 a2 a8 2a5 180 答案180 考点一等差数列的性质及基本量的求解 例1 1 设sn为等差数列 an 的前n项和 s8 4a3 a7 2 则a9 a 6b 4c 2d 2解析法一 常规解法 设公差为d 则8a1 28d 4a1 8d 即a1 5d a7 a1 6d 5d 6d d 2 所以a9 a7 2d 6 法二 结合性质求解 根据等差数列的定义和性质可得 s8 4 a3 a6 又s8 4a3 所以a6 0 又a7 2 所以a8 4 a9 6 答案a 2 2014 浙江卷 已知等差数列 an 的公差d 0 设 an 的前n项和为sn a1 1 s2 s3 36 求d及sn 求m k m k n 的值 使得am am 1 am 2 am k 65 解 由题意知 2a1 d 3a1 3d 36 将a1 1代入上式解得d 2或d 5 因为d 0 所以d 2 从而an 2n 1 sn n2 n n 由 得am am 1 am 2 am k 2m k 1 k 1 所以 2m k 1 k 1 65 规律方法 1 一般地 运用等差数列性质 可以化繁为简 优化解题过程 但要注意性质运用的条件 如m n p q 则am an ap aq m n p q n 只有当序号之和相等 项数相同时才成立 2 在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想 要注意公式使用时的准确性与合理性 更要注意运算的准确性 在遇到一些较复杂的方程组时 要注意整体代换思想的运用 使运算更加便捷 训练1 1 设数列 an bn 都是等差数列 且a1 25 b1 75 a2 b2 100 则a37 b37等于 a 0b 37c 100d 37 2 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 a 13b 12c 11d 10 3 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且s10 10 s20 30 则s30 解析 1 设 an bn 的公差分别为d1 d2 则 an 1 bn 1 an bn an 1 an bn 1 bn d1 d2 an bn 为等差数列 又a1 b1 a2 b2 100 an bn 为常数列 a37 b37 100 2 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 答案 1 c 2 a 3 60 规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种 一是定义法 证明an an 1 d n 2 d为常数 二是等差中项法 证明2an 1 an an 2 若证明一个数列不是等差数列 则只需举出反例即可 也可以用反证法 训练2 2015 西安模拟 已知公差大于零的等差数列 an 的前n项和为sn 且满足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求数列 an 的通项公式 解 1 设等差数列 an 的公差为d 且d 0 由等差数列的性质 得a2 a5 a3 a4 22 所以a3 a4是关于x的方程x2 22x 117 0的解 所以a3 9 a4 13 易知a1 1 d 4 故通项为an 1 n 1 4 4n 3 考点三等差数列前n项和的最值问题 例3 等差数列 an 的首项a1 0 设其前n项和为sn 且s5 s12 则当n为何值时 sn有最大值 深度思考解决此类问题你首先想到的是哪种方法 在这里提醒大家 本题可用四种方法 请大家先思考 规律方法求等差数列前n项和的最值 常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 3 将等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质求最值 训练3 1 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当sn取最大值时 n的值是 a 5b 6c 7d 8 2 2014 望江中学模拟 设数列 an 是公差d 0的等差数列 sn为前n项和 若s6 5a1 10d 则sn取最大值时 n的值为 a 5b 6c 5或6d 11 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和sn的最大值为 解析 1 依题意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又数列 an 是等差数列 因此在该数列中 前6项均为正数 自第7项起以后各项均为负数 于是当sn取最大值时 n 6 选b 2 由题意得s6 6a1 15d 5a1 10d 所以a6 0 故当n 5或6时 sn最大 选c 3 因为等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 代入求和公式得 又因为n n 所以n 10或n 11时 sn取得最大值 最大值为110 答案 1 b 2 c 3 110 思想方法 1 判断数列为等差数列的方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 2 方程思想和化归思想 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量 通过建立方程 组 获得解 3 在遇到三个数成等差数列问题时 可设三个数为 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可视具体情况而定 易错防范 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n