初中数学中求变式取值范围的几种常用方法.pdf

分的平均数和方差 图 5 2 根据图形和 1 中的计算结果对两人的 成绩做一评价 考点分 析 阅读 图形能力 平均数及方 差的概念 计算和用途 数据处理能力和评价水 平 解 1 甲 乙两人 五次测试的成绩分别为 甲 10分 13分 12 分 14 分 16 分 乙 13分 14分 12 分 12 分 14 分 甲 乙两人的平均成绩都是 13分 方差 s2甲 4 s2乙 0 8 2 因 s2 甲 s2 乙可知 乙的成绩较稳定 从折线图看 甲的成绩基本上呈上升状态 而乙 的成绩则在平均线附近上 下波动 可知甲的成绩在 不断提高 而乙的成绩则无明显提高 注 在新课程标准中 对概率统计有了较高的 地位要求 所以在初中数学教学中 应改变以前不为 人知的地位 重新认识其作用 统计的内容具有非常 丰富的实际背景 在现实世界中有着广泛的应用 要 接受统计观念 最有效的方法是投入到统计的全过 程中去 提出问题 考虑抽样 收集 整理数据 分析 数据 作出数据 作出决策 进行交流 评价与改进 等 并在此过程中学习统计中的思想方法 例6 图6是某舞厅的营业额p 与售票数n之间 的关系图 请对此图像做出至少两点合理的解释 考点分析 阅读图形能力 一次函数图像 分 段函数图像 利润问题 对实际生活的观察与思考 解 图像由两条线段组成 由端点坐标可得 p n 2n 200 0 n 150 3n 400 150 n 200 图 6 可对此图像做出如 下一些解释 1 n 0 时 舞厅 正常开放 需要支付水 电 器材等各种费用 200 元 2 n 100 时 可 保本 n 100时 能盈利 3 100 150时 舞厅须增加投入 所以当150 n 166 时 利润会小于 n 150时的 100元 n 166 时 利润将超过 100 元 5 当150 n 200时 利润随售票数呈第二直 线上升 当 n 200时 利润达到第二最大值200元等 等 图像图表是一种直观 形象 简捷的语言 它浓 缩了许多信息 让图像图表说话 是中考题的新视 角 要善于根据不同的问题情境 选择适当的概念和 方法 把杂乱无章的数据精心整理 从中找到简捷 概括 美观和富有个性的问题特征 促使问题的解 决 初中数学中求变式取值范围的几种常用方法 王 玲 兰州铁道学院附中 甘肃 730070 求变式的取值范围 或最值 是初中数学竞赛 的热点问题 由于其涉及的知识面广 技巧性强 思 路灵活多变 学生普遍感到难以掌握 本文试图通过 实例 归纳总结出这类问题的一些常见规律 以期对 学生能有所帮助 1 局部配方法 通过对变式的局部进行配方 再利用 x y 2 0 来求变式的取值范围 或最值 例 1 1998 年全国初中联赛试题 设 a b 为实 数 那么 a2 ab b2 a 2b 的最小值是 212002年第 10 期 数 学 教 学 研 究 解 a2 ab b2 a 2b a2 b 1 a b2 2b a b 1 2 2 3 4 b 1 2 1 a b 1 2 2 0 b 1 2 0 a2 ab b2 a 2b 1 故原式的最小值为 1 此时 a 0 b 1 2 引参化归法 通过引入参数 将变式化归为关于某一变量的 一元二次方程 利用该方程有实根的充要条件是 0 即可求得变式的取值范围 或最值 例2 1997年 五羊杯 要使 6 5 y2 2y 1有最值 只须 y 2 2 6 5 5 6 时 有最小值 4 6 5 1 22 4 6 5 1 6 将 y 5 6 代入 x 3 3 5 y 中 得 x 5 2 所以 当 x 5 2 y 5 6 时 原式有最小值 1 6 注 对于无约束条件的变式 基本上都可用上 述三种方法求其取值范围 或最值 局部配方法虽 然简捷 但对配方的技巧要求较高 引参化归法对二 元变式具有极佳的效果 二次函数顶点法是对课本 中一元二次函数求最值方法的推广 它每求一次最 值便减少一个变元 因此适用于多元变式的求解 4 消元化归法 对于有约束条件的某些变式问题 我们可以利 用题设条件 消去变式中的部分变元 将问题转化为 我们熟知的一元变式问题求解 例 4 1991年江苏省初中竞赛试题 若实数 x y 满足条件 2x2 6x y2 0 求 x2 y2 2x 的最 大值 解 由 2x2 6x y2 0 得 y2 6x 2x2 y2 0 6x 2x2 0 解得 0 x 3 x2 y2 2x x2 6x 2x2 2x x2 8x x 4 2 16 显然 当0 x 3时 变式的值随x 值的增大而 增大 所以 x 3 y 0时 x2 y2 2x 取得最大值 15 注 用消元化归法求变式取值范围 在消元前 先须注意对变量取值范围的讨论 否则极易发生错 误 例如本题就易出现最大值为 16 的错解 5 变量代换法 有些问题若能根据问题特征 合理引入新变元 来替代问题中的旧变元 从而改变问题的结构 达到 求解之目的 例 5 1996年黄冈地区初中竞赛试题 已知 x y z 为实数 且满足x2 xy y2 2 则 x2 xy y2 的取值范围是 解 由条件得 x y 2 xy 2 所以可设 x y t1 则 xy t2 1 2 x2 xy y2 x y 3xy t2 1 3 t 2 1 2 2t 2 1 6 6 又由条件可得 x y 2 3xy 2 所以设 x y t2 则 xy 2 t2 2 3 x2 xy y2 x y 2 xy t2 2 2 t2 2 3 2 3 t2 2 2 3 2 3 综上知 x2 xy y2的取值范围是 2 3 6 22数 学 教 学 研 究 2002 年第 10 期 例6 加拿大第10届中学生竞赛试题 已知x y z 为实数 且 x y z 5 xy yz zx 3 试求 z 的最大值与最小值 解 设 x 5 z 2 t y 5 z 2 t 代入 xy yz zx 3中 化简并整理得 3z2 10z 13 4t2 4t 2 0 3z2 10z 13 0 解得 1 z 13 3 所以 z 的最大值为13 3 最小值为 1 例 7 1995 年 希望杯 例 6 利用均值换元法也达到了消元目的 该方法 特别适用于变量之和为定值的情形 例7用的是和差 换元法 该方法虽不能消元 但能消去乘积项 从而 有利于问题的解决 上述三种方法是较常用到的换 元技巧 它们各有利弊 解题时应根据题目特征灵活 选用 6 构造法 通过对问题条件和结论的分析 类比 联想 构 造出一个我们熟悉的数学模型 利用该模型来沟通 已知与未知间的联系 促使问题得到解决 例 8 第31届IMO国家集训队试题 实数x y z 满足 x y z 1 xy z2 7z 14 问 z 为何值时x2 y2取得 最大值 并求出这个最大值 解 由条件可知 x y 是方程t2 1 z t z2 7z 14 0 的两根 所以有 0 即 1 z 2 4 z2 7z 14 0 整理得 3z2 26z 55 0 解得11 3 z 5 而 x2 y2 x y 2 2xy z 1 2 2 z 2 7z 14 z 6 2 9 所以当 z 5 时 x2 y2取得最大值 8 例 9 第 7届美国数学竞赛试题 已知 a b c d e 为实数 且满足 a b c d e 8 a2 b2 c2 d2 e2 16 求 e 的最大值 解 由条件式得 a b c d 8 e a2 b2 c2 d2 16 e2 构造一元二次函数 y 4x2 2 a b c d x a2 b2 c2 d2 x a 2 x b 2 x c 2 x d 2 0 由一元二次函数的性质知 4 a b c d 2 16