高一直线与方程.doc

新希望培训学校资料MATHEMATICS直线与方程倾斜角与斜率1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是.2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.直线的点斜式方程1. 点斜式：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段中点坐标公式.直线的一般式方程1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）；（3）与重合； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.两点间的距离1. 平面内两点，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.点到直线的距离及两平行线距离1. 点到直线的距离公式为.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为典型例题例1 (1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值练习1已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 例2（1）已知直线经过点M（-3，0），N（-15，-6），经过点R（-2，），S（0，），试判断与是否平行？（2）的倾斜角为45，经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？练习2已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程例3经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程 练习3写出过两点A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程例4已知直线l的方程为3x+4y12=0，求与直线l平行且过点（1，3）的直线的方程练习4 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上.例5若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.练习5直线2xy4=0上有一点P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.例6已知点到直线的距离为，求的值；练习6求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.家庭作业一选择题（共55分，每题5分）1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（ ）A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在2过点且平行于直线的直线方程为（ ）A BCD3. 在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（ ） A B C D4若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=（ ）A B C D5.过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线的方程是( )L36、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（ ）L2 A、K1K2K3B、K2K1K3ox C、K3K2K1L1 D、K1K3K2 7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为（ ）A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=08、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=09、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（ ）A.a=2,b=5; B.a=2,b=; C.a=,b=5; D.a=,b=.10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0二填空题（共20分，每题5分）12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _ _；13两直线2x+3yk=0和xky+12=0的交点在y轴上，则k的值是14、两平行直线的距离是 。15空间两点M1（-1,0,3）,M2(0,4,-1)间的距离是 三计算题（共71分）16、（15分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。17、（12分）求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。18.（12分） 直线与直线没有公共点，求实数m的值。19（16分）求经过两条直线和的交点，且分别与直线（1）平行，（2）垂直的直线方程。20、（16分）过点（，）的直线被两平行直线：与：所截线段的中点恰在直线上，求直线的方程2005-2006高中数学必修1第三章直线方程测试题答案1-5 BACAC 6-10 AADBA 11 A 12.y=2x或x+y-3=0 13.6 14、 15.16、解：（1）由两点式写方程得 ，3分即 6x-y+11=04分或 直线AB的斜率为 1直线AB的方程为 3分 即 6x-y+11=04分（2）设M的坐标为（），则由中点坐标公式得 故M（1，1）6分8分(3)因为直线AB的斜率为kAB=（3分）设AB边的高所在直线的斜率为k则有（6分）所以AB边高所在直线方程为（10分）17解：设直线方程为则有题意知有又有此时 18方法（1）解：由题意知方法（2）由已知，题设中两直线平行，当当m=0时两直线方程分别为x+6=0,-2x=0,即x=-6,x=0,两直线也没有公共点，综合以上知，当m=-1或m=0时两直线没有公共点。19解：由，得；.2与的交点为（1，3）。.3（1） 设与直线平行的直线为4则，c1。.6所求直线方程为。7方法2：所求直线的斜率，且经过点（1，3），.5求直线的方程为，. .6即。. 7（2） 设与直线垂直的直线为8则，c7。.9所求直线方程为。.10方法2：所求直线的斜率，且经过点（1，3），.8求直线的方程为，. .9即 。. .1020、解：设线段的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等，得经整理得，又点P在直线上，所以解方程组 得 即点P的坐标（-3，-1），又直线L过点（，）所以直线的方程为，即【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值解：(1) 直线AB的斜率0, 所以它的倾斜角是锐角; 直线BC的斜率0, 所以它的倾斜角是锐角.(2)， . A、B、C三点在一条直线上， ， 即， 解得或.【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 解：如图所示, 直线PA的斜率是, 直线PB的斜率是.当直线由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角增至90，斜率的变化范围是5,；当直线由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是.所以斜率的变化范围是.【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0），N（-15，-6），经过点R（-2，），S（0，），试判断与是否平行？（2）的倾斜角为45，经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？解：（1） =，. /（2） ， ， 【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程解：由已知得与两坐标轴不垂直直线经过点， 可设直线的方程为，即.则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.根据题意得，即.当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，此方程无实数解.故直线的方程为，或.即或.【例5】经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程 解：当截距为时，设，过点，则得，即；当截距不为时，设或过点，则得，或，即，或这样的直线有条：，或 【例6】写出过两点A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程解：两点式方程：；点斜式方程：，即；斜截式方程：，即；截距式方程：；一般式方程：【例7】已知直线l的方程为3x+4y12=0，求与直线l平行且过点（1，3）的直线的方程解：直线l:3x+4y12=0的斜率为， 所求直线与已知直线平行， 所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（1，3），所以，所求直线的方程为：，即.【例8】 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上.解：解方程组得交点().若0，则1.当1时，0，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有10，故0.因为1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上【例9】若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.解：如图，直线2x+3y6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：ykx必过点（0，）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线