2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理数.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.设集合M=x|x2=x,N=x|lg x0,则MN=() A.0,1B.(0,1C.0,1)D.(-,12.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.167B.137C.123D.933.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.104.二项式(x+1)n(nN+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.75.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3B.4C.2+4D.3+46.“sin =cos ”是“cos 2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b28.根据下边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.28B.10C.4D.29.设f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12(f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是()A.q=rpC.p=rq10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元11.设复数z=(x-1)+yi(x,yR),若|z|1,则yx的概率为()A.34+12B.14-12C.12-1D.12+112.对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上第卷(非选择题,共90分)二、填空题:把答案填写在横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.14.若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.15.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.()求A;()若a=7,b=2,求ABC的面积.18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2.()证明:CD平面A1OC;()若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.19.(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟)25303540频数(次)20304010()求T的分布列与数学期望ET;()刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.(本小题满分12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.()求椭圆E的离心率;()如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=52的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.21.(本小题满分12分)设fn(x)是等比数列1,x,x2,xn的各项和,其中x0,nN,n2.()证明:函数Fn(x)=fn(x)-2在12,1内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=12+12xnn+1;()设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,AB切O于点B,直线AO交O于D,E两点,BCDE,垂足为C.()证明:CBD=DBA;()若AD=3DC,BC=2,求O的直径.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+12t,y=32t(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=23sin .()写出C的直角坐标方程;()P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.()求实数a,b的值;()求at+12+bt的最大值.答案一、选择题1.A由已知得,M=0,1,N=x|0x1,则MN=0,1.2.B初中部女教师的人数为11070%=77,高中部女教师的人数为150(1-60%)=60,则该校女教师的人数为77+60=137,故选B.3.C因为函数y=3sin6x+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.评析在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(x+)+k的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.4.C因为(x+1)n的展开式中x2的系数为Cnn-2,所以Cnn-2=15,即Cn2=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).5.D由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=21212+12+22=3+4.评析本题考查三视图的概念和性质以及圆柱的表面积,考查运算及推理能力和空间想象能力.由三视图确定几何体的直观图是解题的关键.6.A由sin =cos ,得cos 2=cos2-sin2=0,即充分性成立.由cos 2=0,得sin =cos ,即必要性不成立.故选A.7.B|ab|=|a|b|cos|a|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确;当b=-a0时,|a-b|a|-|b|,B错误.故选B.评析本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力.8.B因为x所有的值构成首项为2 006,公差为-2的等差数列.结合题意可知,当x=-2时,输出y的值,此时y=32+1=10.故选B.9.C由题意得p=lnab,q=lna+b2,r=12(ln a+ln b)=lnab=p,0aab,lna+b2lnab,p=r0)的准线方程为x=-p2(p0),故直线x=-p2过双曲线x2-y2=1的左焦点(-2,0),从而-p2=-2,得p=22.15.答案(1,1)解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=1x的导函数为y=-1x2,曲线y=1x(x0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02,则有k1k2=-1,即1-1x02=-1,解得x02=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=1x(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).16.答案1.2解析建立直角坐标系,如图.过B作BEx轴于点E,BAE=45,BE=2,AE=2,又OE=5,A(3,0),B(5,2).设抛物线的方程为x2=2py(p0),代入点B的坐标,得p=254,故抛物线的方程为y=225x2.从而曲边三角形OEB的面积为05 225x2dx=2x37505=103.又SABE=1222=2,故曲边三角形OAB的面积为43,从而图中阴影部分的面积为83.又易知等腰梯形ABCD的面积为6+1022=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1616-83=1.2.三、解答题17.解析()因为mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=3,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sin B=217,又由ab,知AB,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos3+cos Bsin3=32114.所以ABC的面积为12absin C=332.18.解析()在题图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC.即在题图2中,BEOA1,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.()因为平面A1BE平面BCDE,又由()知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC=2.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为A1B=A1E=BC=ED=1,BCED,所以B22,0,0,E-22,0,0,A10,0,22,C0,22,0,得BC=-22,22,0,A1C=0,22,-22,CD=BE=(-2,0,0).设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD夹角为,则n1BC=0,n1A1C=0,得-x1+y1=0,y1-z1=0,取n1=(1,1,1);n2CD=0,n2A1C=0,得x2=0,y2-z2=0,取n2=(0,1,1),从而cos =|cos|=232=63,即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.评析本题主要考查线面垂直的判定、面面垂直的性质以及平面与平面的夹角的求解.考查学生的空间想象能力以及运算求解能力.正确利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系是求解的关键.19.解析()由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟).()设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T230)=0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91.解法二:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故P(A)=1-P(A)=0.91.评析()用频率估计概率求解;()将问题转化为求“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”的概率,可直接求解也可间接来求.20.解析()过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得离心率ca=32.()解法一:由()知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=10.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故椭圆E的方程为x212+y23=1.解法二:由()知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12.因此直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故椭圆E的方程为x212+y23=1.评析本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的标准方程等基础知识,巧妙利用根与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关键.考查学生的运算求解能力及方程思想的应用能力.21.解析()证明:Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2,则Fn(1)=n-10,Fn12=1+12+122+12n-2=1-12n+11-12-2=-12n0,故Fn(x)在12,1内单调递增,所以Fn(x)在12,1内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点,所以Fn(xn)=0,即1-xnn+11-xn-2=0,故xn=12+12xnn+1.()解法一:由题设,gn(x)=(n+1)(1+xn)2.设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+xn-(n+1)(1+xn)2,x0.当x=1时, fn(x)=gn(x).当x1时,h(x)=1+2x+nxn-1-n(n+1)xn-12.若0xxn-1+2xn-1+nxn-1-n(n+1)2xn-1=n(n+1)2xn-1-n(n+1)2xn-1=0.若x1,h(x)xn-1+2xn-1+nxn-1-n(n+1)2xn-1=n(n+1)2xn-1-n(n+1)2xn-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,所以h(x)h(1)=0,即fn(x)gn(x).综上所述,当x=1时, fn(x)=gn(x);当x1时, fn(x)0.当x=1时, fn(x)=gn(x).当x1时,用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x).当n=2时, f2(x)-g2(x)=-12(1-x)20,所以f2(x)g2(x)成立.假设n=k(k2)时,不等式成立,即fk(x)gk(x).那么,当n=k+1时, fk+1(x)=fk(x)+xk+10),则hk(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1).所以当0x1时,hk(x)1时,hk(x)0,hk(x)在(1,+)上递增.所以hk(x)hk(1)=0,从而gk+1(x)2xk+1+(k+1)xk+k+12.故fk+1(x)gk+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由和知,对一切n2的整数,都有fn(x)