6.2 多元函数的偏导数和全微分.doc

62 多元函数的偏导数和全微分621 偏导数的概念与计算 1偏导数定义对于二元函数，如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数对于x的偏导数。定义：设函数在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量如果极限 存在, 则称此极限为函数在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作：，或。即：. 类似地，函数在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为：, 记作：，或。 偏导函数：如果函数在区域D内每一点处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数对自变量的偏导函数, 记作， ， ， 或。偏导函数的定义式：. 类似地, 可定义函数对y的偏导函数, 记为 , , ，或。 偏导函数的定义式：.2偏导数的计算 求时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时, 只要把x暂时看作常量而对y求导数。 讨论：下列求偏导数的方法是否正确？ ， ，。 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为 , 其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题. 例1 求z=x2+3xy+y2在点(1, 2)处的偏导数. 解 , ., . 例2 求z=x2sin 2y的偏导数。 解 ；。 例3 设, 求证: . 证 , . 例4 求的偏导数。 解 ；。 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证: . 证 因为, ; , ; , ; 所以. 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商。3偏导数的几何意义一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率，那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢？我们知道，二元函数在空间中表示一曲面，在处对求偏导时把看成常量，这时是关于的一元函数，所以表示曲面与平面的交线在处沿轴正向的切线斜率(如图)同理，表示曲面在该点处沿轴正向的切线斜率4偏导数与连续性对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如 在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.提示： , ; , . 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, 有 ; 当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 . 因此, 不存在, 故函数f(x, y)在(0, 0)处不连续. 622 全微分 1全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分：，为函数对x的偏增量, f x(x, y)Dx为函数对x的偏微分; ，为函数)对y的偏增量，为函数对y的偏微分。全增量：计算全增量比较复杂, 我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 可表示为 , 其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D内可微分. 2可微与连续可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),于是 , 从而 . 因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 3可微条件 定理1(必要条件) 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导数、必定存在, 且函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为：。 证 设函数z=f(x, y)在点P(x, y)可微分. 于是, 对于点P的某个邻域内的任意一点P (x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特别当Dy=0时有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|) 上式两边各除以Dx，再令Dx0而取极限，就得 , 从而偏导数存在, 且. 同理可证偏导数存在, 且. 所以：. 偏导数、存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如，函数在点(0, 0)处虽然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即Dz-fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy不是较r高阶的无穷小. 这是因为当(Dx, Dy)沿直线y=x趋于(0, 0)时, . 定理2(充分条件) 如果函数z=f(x, y)的偏导数、在点(x, y)连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数. 按着习惯, Dx、Dy分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的微分, 则函数z=f(x, y)的全微分可写作 . 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u=f (x, y, z) 的全微分为 . 例1 计算函数z=x2y +y2的全微分. 解 因为, , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 计算函数z=exy在点(2, 1)处的全微分. 解 因为, , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 计算函数的全微分. 解 因为, , , 所以 . *二、全微分在近似计算中的应用 当二元函数z=f (x, y)在点P (x, y)的两个偏导数f x (x, y) , f y (x, y)连续, 并且|Dx|, |Dy|都较小时, 有近似等式Dz dz= f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy , 即 f (x+Dx, y+Dy) f(x, y)+f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算. 例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化的近似值. 解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V, 则有 V=p r 2h . 已知r=20, h=100, Dr=0. 05, Dh=-1. 根据近似公式, 有 DVdV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh =2p201000. 05+p202(-1)=-200p (cm3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200p cm3. 例5 计算(1. 04)2. 02的近似值. 解 设函数f (x, y)=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x=1.04, y=2.02时的函数值f(1.04, 2.02). 取x=1, y=2, Dx=0.04, Dy=0.02. 由于f (x+Dx, y+Dy) f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y+yxy-1Dx+x yln x Dy , 所以(1.04)2. 0212+212-10.04+12ln10.02=1.08. 例6 利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是 .现测得单摆摆长l与振动周期T分别为l=1000.1cm、T=20.004s. 问由于测定l与T的误差而引起g的绝对误差和相对误差各为多少？ 解 如果把测量l与T所产生的误差当作|l|与|T|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数的全增量的绝对值|g|. 由于|l|, |T|都很小, 因此我们可以用dg来近似地代替g. 这样就得到g的误差为 ,其中dl与dT为l与T的绝对误差. 把l=100, T=2, dl=0.1, T=0.004代入上式, 得g的绝对误差约为 . . 从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z=f(x, y), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为dx、dy, 即 |x |dx, |y |dy, 则z的误差 ;从而得到z的绝对误差约为 ;z的相对误差约为 .623 方向导数 1方向导数的定义现在我们来讨论函数z=f(x, y)在一点P沿某一方向的变化率问题. 设l是xOy平面上以P0(x0, y0)为始点的一条射线, el=(cos a, cos b)是与l同方向的单位向量. 射线l的参数方程为 x=x0+t cos a, y=y0+t cos b (t0). 设函数z=f(x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域U(P0)内有定义, P(x0+t cos a, y0+t cos b)为l上另一点, 且PU(P0). 如果函数增量f(x0+t cos a, y0+t cos b)-f(x0, y0)与P到P0的距离|PP0|=t的比值 当P沿着l趋于P0(即tt0+)时的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方向l的方向导数, 记作, 即. 从方向导数的定义可知, 方向导数就是函数f(x, y)在点P0(x0, y0)处沿方向l的变化率. 2方向导数的计算 定理 如果函数z=f(x, y)在点P0(x0, y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有 , 其中cos a, cos b是方向l 的方向余弦. 简要证明: 设Dx=t cos a, Dy=t cos b, 则 f(x0+tcosa, y0+tcosb)-f(x0, y0)=f x(x0, y0)tcosa+f y(x0, y0)tcosb+o(t). 所以 . 这就证明了方向导数的存在, 且其值为 .提示: . Dx=t cos a, Dy=t cos b, . 讨论: 函数z=f (x, y)在点P 沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示： 沿x轴正向时, cosa=1, cosb=0, ; 沿x轴负向时, cosa=-1, cosb=0, . 例1 求函数z=xe2y在点P(1, 0)沿从点P(1, 0)到点Q(2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l即向量的方向, 与l同向的单位向量为. 因为函数可微分, 且, ,所以所求方向导数为 . 对于三元函数f(x, y, z)来说, 它在空间一点P0(x0, y0, z0)沿el=(cos a , cos b , cos g)的方向导数为 . 如果函数f(x, y, z)在点(x0, y0, z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el=(cos a , cos b , cos g)的方向导数为 例2求f(x, y, z)=xy+yz+zx在点(1, 1, 2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分别为60, 45, 60. 解 与l同向的单位向量为 el=(cos60, cos 45, cos60). 因为函数可微分, 且 fx(1, 1, 2)=(y+z)|(1, 1, 2)=3, fy(1, 1, 2)=(x+z)|(1, 1, 2)=3, fz(1, 1, 2)=(y+x)|(1, 1, 2)=2,所以 . 3梯度 设函数z=f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0, y0)D, 都可确定一个向量fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j, 这向量称为函数f(x, y)在点P0(x0, y0)的梯度, 记作grad f(x0, y0), 即 grad f(x0, y0)= fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j. 梯度与方向导数: 如果函数f(x, y)在点P0(x0, y0)可微分, el=(cos a , cos b )是与方向l同方向的单位向量, 则 , = grad f(x0, y0)el =| grad f(x0, y0)|cos(grad f(x0, y0), el). 这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量el与grad f(x0, y0)的夹角q=0, 即沿梯度方向时, 方向导数取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0, y0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论: 的最大值; 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 4等值线我们知道, 一般说来二元函数z=f(x, y)在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线L的方程为 . 这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L*, 它在xOy平面上的方程为 f(x, y)=c. 对于曲线L*上的一切点, 已给函数的函数值都是c, 所以我们称平面曲线L*为函数z=f (x, y)的等值线. 若f x, f y不同时为零, 则等值线f(x, y)=c上任一点P0(x0, y0)处的一个单位法向量为 . 这表明梯度grad f(x0, y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数就等于|grad f(x0, y0)|, 于是 . 这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系. 这就是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数. 梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f(x, y, z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0(x0, y0, z0)G, 都可定出一个向量 fx(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k, 这向量称为函数f(x, y, z)在点P0(x0, y0, z0)的梯度, 记为grad f(x0, y0, z0), 即 grad f(x0, y0, z0)=fx(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k. 结论: 三元函数的梯度也是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 如果引进曲面 f(x, y, z)=c为函数的等量面的概念, 则可得函数f(x, y, z)在点P0(x0, y0, z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x, y, z)=c在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数. 例3 求. 解 这里. 因为 , , 所以 . 例4 设f(x, y, z)=x2+y2+z2, 求grad f(1, -1, 2). 解 grad f=(fx, fy, fz)=(2x, 2y, 2z), 于是 grad f(1, -1, 2)=(2, -2, 4). *5。数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等). 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定, 如果与点M相对应的是一个向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等). 一个向量场可用一个向量函数(M)来确定, 而 F (M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k, 其中P(M), Q(M), R(M)是点M的数量函数. 利用场的概念, 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场梯度场, 它是由数量场f(M)产生的. 通常称函数f(M)为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不